2020年高中数学 3.1.2柯西不等式(3)学案(无答案)新人教版选修4-5

选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式(3)
☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明;
2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题
?知识情景：
1. 柯西主要贡献简介：
柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定
了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中
值
定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.
2.二维形式的柯西不等式： 若
a,b,c,d?R
，
则 .
当且仅当 时, 等号成立.
变式1.若
a,b, c,d?R
，则
a
2
?b
2
?c
2
?d< br>2
0
0
|ac?bd|
或
a
2
?b< br>2
?c
2
?d
2
ac?bd
；
变式2 .若
a,b,c,d?R
，则
a
2
?b
2
?c2
?d
2
0
(a?c)
2
?(b?d)
2 ；
变式3.（三角形不等式）设
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
,x
3
,y
3
为任意实数， 则：

(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(x
2
?x
3
)
2
?(y
2
?y
3
)
2
?
3. 一般形式的柯西不等式：设
n
为大于1的自然数，
a
i
,b
i

?R
(
i?
1,2,…,
n
)，
则： .
当且仅当 时, 等号成立.
(若
a
i
?0
时，约定
b
i
?0
，
i?
1,2,…,
n
).
2
n
(
?
a
i
)
2
a
i
0
变式1. 设
a
i
?R,b
i
?0(i?1,2,L,n),
则：
?
b
?
b
.
i?1
i
?
i
当且仅当 时, 等号成立.
2
a
i
(
?
a
i
)
?
变式2. 设
a
i
?b
i
?0(i?1,2,L,n),
则：
?
.
i?1
b
i
?
a
i
b
i
n
0
当且仅当
b
1
?b
2
???b
n
时,等号成立.
变式3. (积分形式)设
f(x)
与
g(x)
都在
[a,b]
可积，
bbb
则
?
?
f(x)g(x)dx?
?
?
f
2
(x)dx?
?
g
2(x)dx
，
??
aa
?
a
?
2
0
当且仅当
f(x)?t?g(x)
时,等号成立.

如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重
要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方

面
都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！
☆ 柯西不等式的应用：
例1. 已知实数
a,b,c
,d
满足
a?b?c?d?3
， a
2
?2b
2
?3c
2
?6d
2
?5
. 试求
a
的最值





9
?
222
?
x?y?z?
例2 在实数集内 解方程
?

4
?
?
?8x?6y?24y?39





例3 设
P
是三角形
ABC
内的一点，
x,y,z
是
p
到三边
a,b,c
的距 离，
R
是
VABC
外接圆
的半径， 证明






例4 (证明恒等式) 已知
a1?b
2
?b1?a
2
?1,
求证：
a?b?1
。





22
x?y?z?
1
2R
a
2
?b
2
?c
2

1111
??????0

例5 (证明不等式 )设
a
1
?a
2
???a
n
?a
n?1< br>,
求证:
a?aa?aa?aa?a
1223nn?1n?11