最新人教版高中数学选修4-4《直线的参数方程》知识讲解

三 直线的参数方程

1．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．
2．能用直线的参数方程解决简单问题．

1．直线的参数方程的标准形式
π
过定点M
0
(x
0
，y
0
)，倾斜角为α(α ≠)的直线l的普通方程为y－y
0
＝(x－x
0
)tan α，它
2
的参数方程为____________，这种形式称为直线参数方程的标准形式．
其中参数t的几何意义是：________________，即|M
0
M|＝|t |.
??????
若______，则
M
0
M
的方向向上；
??????
若______，则
M
0
M
的方向向下；
若______，则M与M
0
重合．
?
x＝－2－2t，
【做一做1－1】 直线
?
(t为参数)上与点 P(－2,3)的距离等于2的点的
?
y＝3＋2t
坐标是( )．
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)
1
?
?
x＝t＋
t
，
【做一做1－2】 参数方程
?
(t是参数)表示的曲线是( )．
?
y＝2
?
A．一条直线 B．两条直线
C．一条射线 D．两条射线
2．根据直线的参数方程判断直线的倾斜角
根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形 式是不是标准形式，如果是标准形式，
?
，
?
x＝2＋tcos 20°根据方程就可以判断出倾斜角，例如
?
(t为参数)，可以直接判断出直线的
?< br>y＝－4＋tsin 20°
?



倾斜角是20°.如果 不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了，例如判断直线
?
x＝tsin 20°＋3，
?
?
(t为参数)的倾斜角，有两种方法：
?
y＝－tcos 20°
?

第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．
?
，
?
x－3＝tsin 20°
?
把参数方程改写成
?
－y＝tcos 20°，
?

x－3
消去t，有y＝－，
tan 20°
即y＝(x－3)tan 110°，所以直线的倾斜角为110°.
?
，
?
x＝3＋?－t?cos 110°
?
第二种方法： 化参数方程为直线的标准参数方程令－t＝t′，则
?
.
?
y＝?－t?si n 110°
?
，
?
x＝3＋t′cos 110°
?

?
y＝t′sin 110°，
?


所以直线的倾斜角为110°.
?
x＝－2＋tcos 60°，
?
【做一做2－1】 直线
?
(t为参数)的倾斜角α等于( )．
?
?
y＝3＋tsin 60°

A．30° B．60° C．－45° D．135°
4
【做一做2－2】 过点(5，－4)，倾斜角α满足tan α＝－的直线l的参数方程是( )．
5
??
?
x＝5＋5t，
?
x＝5－5t，
?
A.(t为参数) B.
?
(t为参数)
?
y＝－4－9t
?
??
y ＝－4＋4t
??
?
x＝5＋5t，
?
x＝5－5t，
C.
?
(t为参数) D.
?
(t为参数)
?
y＝－4＋4t
?
??
y＝－4－4t


3．直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法
?
?
x＝x
0
＋at，
给出直线的非标准式参数方程
?
(t为参数)，根据标准式的特点， 参数t的
?
?
y＝y
0
＋bt

系数应分别是倾斜 角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质知其平方和为1，所以可以化为
?
?
?
?
?
y＝y＋
x＝x
0
＋
0
a
2222
×a＋bt，
a＋b
b
22
2
×a＋bt
a＋b
2

(t为参数)，再进一步令cos α＝
ab
，sin α＝，
a
2
＋b
2
a
2
＋b
2
根 据直线倾斜角的范围让α在[0，π)范围内取值，并且把a
2
＋b
2
t看成 相应的参数t′，即
?
?
x＝x
0
＋t′cos α，
得标准式的参数方程
?
(t′为参数)．
?
y＝y
0
＋t′sin α
?


?< br>x＝x
0
＋at，
?
由转化的过程可以看出，在一般参数方程
?
(t为参数)中，a
2
＋b
2
t具有标
?
?y＝y
0
＋bt

准式参数方程中参数的几何意义．所以有些较简单的问 题可以不必转化为标准形式，而直接
求出相应的t，再乘a
2
＋b
2
即可继续使用标准形式中参数的几何意义．
【做一做3】 写出直线2x－y＋1＝0的参数方程的标 准形式，并求直线上的点M(1,3)
到点A(3,7)，B(8,6)的距离．

?
?
x＝x
0
＋tcos α，
答案：1.
?
(t为参数) |t|是直线上任一点M(x，y)到M
0
(x
0
，y
0
)的距离 t
?
y＝y
0
＋tsin α
?

＞0 t＜0 t＝0
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 D y＝2表示一条平行于x轴的直线．
1
①当t＞0时x＝t＋≥2
t
1②当t＜0时x＝t＋≤－2
t
1
t·＝2；
t
1
t·＝－2，
t
即x≥2或x≤－2，所以表示两条射线．
【做一做2－1】 B
【做一做2－2】 B
【做一做3】 解：根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tan α
5
x＝1＋t，
?
5
255
＝2，sin α＝，cos α＝，所以直线的参数方程是
?
55
25
y＝3＋t
?
5< br>易知，点A(3，7)恰好在直线上，所以由1＋

(t为参数)．经验证
5< br>t＝3得t＝25，即点M到点A的距离是25.
5
而点B(8,6)不在直线上，所以 不能使用参数t的几何意义，根据两点之间的距离公式得
?1－8?
2
＋?3－6?< br>2
＝58.
综上，点M(1,3)到点A(3,7)的距离为25，到点B(8,6)的距离为58.

1．直线的参数方程
→
剖析：首先，参数t可以理解为直线l上有向线段M
0
M的数量．参数t的几何意义可以
与数轴上点A的坐标a的意义作类比，即a＝±|OA|， 当A在O的右侧时取“＋”；当A在
→
O的左侧时取“－”，所以，数轴上点A的坐标就是有向 线段OA的数量．同样，当点M在
M
0
的上方时，t＞0；当点M在M
0的下方时，t＜0；当点M与点M
0
重合时，t＝0.
其次，如果把直线的普通方程y－y
0
＝tan α(x－x
0
)写 为
y－y
0
x－x
0
值为t，即＝＝t，由此即得直线的参数方程．
sin αcos α
另外，在得到直线的参数方程后，应当注意α，x
0
， y
0
都是常数，t是参数．
2．直线的参数方程的其他形式
剖析：对于同 一直线的普通方程选取的参数不同，会得到不同的参数方程．例如，对于
?
?
x＝t，
t
直线普通方程y＝2x＋1，如果令x＝t，可得到参数方程
?
(t为参数 )；如果令x＝，
2
?
y＝2t＋1
?
y－y
0
x －x
0
＝，令上述比例式的比
sin αcos α