新版高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案：第三讲第1节二维形式的柯西不等式

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。




新版高中数学人教A版选修4-5创新应用 教学案：第三
讲第1节二维形式的柯西不等式



1．二维形式的柯西不等式

(1)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)( c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
当且仅当ad＝bc时，等号成立．

(2)二维形式的柯西不等式的推论：

(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；

a2
＋
b2
·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；

a2
＋
b2
·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．

2．柯西不等式的向量形式

设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当 且仅当β是
零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．

3．二维形式的三角不等式

(1)＋y)＋＋y)≥(x1，y1，x2，y2∈R)．

(2)推论：

世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之 间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其 真无马邪？其真不知马也！

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每览昔人兴感之由，若合一契 ，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙 时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。

（
x1
－
x3
）
2
＋（
y1
－
y3
）
2
＋≥

（
x1
－
x2
）
2
＋（
y1
－
y2
）
2
，

(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．

[问题思考]

1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以
写成＝吗？

提示：不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．

2．不等式＋y) ＋＋y)≥
（
x1
－
x2
）
2
＋（
y1< br>－
y2
）
2
(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？

提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线，

且P1，P2在原点两旁时，等号成立.·≥a＋c，

设a，b，c为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．

[精讲详析] 本题考查柯西不等式的 应用．解答本题需要根据不
等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由
柯西不等式：·≥a＋b，

即·≥a＋b，

同理：·≥b＋c，·≥a＋c，

将上面三个同向不等式相加得：

2
(＋＋)≥2(a＋b＋c)，

∴＋＋≥·(a＋b＋c)．

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世有伯乐，然后有千里马。千里马 常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不 能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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