2017_2018学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1-2-1绝对值不等式训练北师大版选修4_5

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者， 凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无 钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
1. 2.1 绝对值不等式
一、选择题
1.对任意
x
，
y
∈ R，|
x
－1|＋|
x
|＋|
y
－1|＋|
y＋1|的最小值为( )
A.1
C.3
解析 利用三角不等式直接求解.
∵
x
，
y
∈R，∴|
x
－1|＋|
x
|≥|(
x
－1)－
x
|＝1，
|
y
－1|＋|
y
＋1|≥|(
y
－1)－(
y< br>＋1)|＝2，
∴|
x
－1|＋|
x
|＋|
y－1|＋|
y
＋1|≥3.
∴|
x
－1|＋|
x|＋|
y
－1|＋|
y
＋1|的最小值为3.
答案 C 2.若函数
f
(
x
)＝|
x
＋1|＋|2
x< br>＋
a
|的最小值为3，则实数
a
的值为( )
A.5或8
C.－1或－4
B.－1或5
D.－4或8
B.2
D.4
解析 利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求
a
.
(1)当－1≤－，即
a
≤2时，
2
a
?
a?
－
x
－
a
＋1，－1<
x
<－，
2

f
(
x
)＝
?
a
3
x
＋
a
＋1，
x
≥－.
?
?
2
易知函数f
(
x
)在
x
＝－处取最小值，即1－＝3.
22
所以
a
＝－4.
(2)当－1>－，即
a
>2时，
2
－3
x
－< br>a
－1，
x
≤－1，
aa
a
?
?
a
f
(
x
)＝
?

x
＋
a
－1，－<
x
<－1，
2
?
?
3
x
＋a
＋1，
x
≥－1.
－3
x
－
a
－1 ，
x
≤－，
2
易知函数
f
(
x
)在
x
＝－处取最小值，即－1＝3，故
a
＝8.综上
a
＝－4或8.
22
答案 D
a
aa
x
1
3.如果存在实数
x
，使cos α＝＋成立，那么实数
x
的集合是( )
22
x

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲 也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰： “童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
A.{－1，1}
C.{
x
|
x
>0，或
x
＝－1}
B.{
x
|
x
<0，或
x
＝1}
D.{
x
|
x
≤－1，或
x
≥1}
?
x
1
?
解析 由|cos α|≤1，所以
?
＋
?
≤1.
?
22
x
?
1
?
x
1
?
|
x
|
又
?
＋
?
＝＋≥1.
?
22
x
?
22|< br>x
|
∴
|
x
|1
＋＝1，当且仅当|
x|＝1时成立，即
x
＝±1.
22|
x
|
答案 A
4.正数
a
、
b
、
c
、
d
满足< br>a
＋
d
＝
b
＋
c
，|
a
－
d
|＜|
b
－
c
|，则( )
A.
ad
＝
bc

C.
ad
>
bc

解析 ∴
a
＋
d
＝
b
＋
c
，
∴
a
＋2
ad
＋
d
＝
b
＋2
bc
＋
c
，
2222
B.
ad
<
bc

D.
ad
与
bc
大小不定
a
2
＋
d
2
－
b
2
－
c
2
＝2
bc< br>－2
ad
，
∵|
a
－
d
|<|
b
－
c
|，
∴
a
－2
ad
＋
d
<
b
－2bc
＋
c
，
2222
a
2
＋
d2
－
b
2
－
c
2
<2
ad
－ 2
bc
，
∴3
bc
－2
ad
<2
ad< br>－2
bc
，
即
ad
>
bc
.
答案 C
5.已知定义在[0，1]上的函数
f
(
x
)满足：
①
f
(0)＝
f
(1)＝0；
1
②对所有
x
，
y
∈[0，1]，且
x
≠
y
，有|
f
(
x
)－
f
(
y
)|<|
x
－
y
|.
2
若对所有
x
，
y
∈[0，1] ，|
f
(
x
)－
f
(
y
)|<
k
恒成立，则
k
的最小值为( )
1
A.
2
1
C.
2π
1
B.
4
1
D.
8
解析 先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解.
11
取
y
＝0，则|
f
(
x
)－
f
(0)|<|
x
－0|，即 |
f
(
x
)|<
x
，
22
1
取
y
＝1则|
f
(
x
)－
f
(1)|<|< br>x
－1|，
2
111111
即|
f
(
x< br>)|<(1－
x
).∴|
f
(
x
)|＋|
f
(
x
)|<
x
＋－
x
＝，∴|
f
(
x
)|<.不妨取
f
(
x
)≥0，则
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