2020秋高中数学1.1.1不等式的基本性质课堂演练含解析人教A版选修4_5

第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.1 不等式的基本性质

A级 基础巩固
一、选择题
11
1．已知
m
，
n
∈R，则>成立的一个充要条件是( )
mn
A．
m
>0>
n

C．
m
<
n
<0
B．
n
>
m
>0
D．
mn
(
m
－
n
)<0
1111n
－
m
解析：>
?
－>0?>0?
mn
(n
－
m
)>0?
mn
(
m
－
n
)<0.
mnmnmn
答案：D
2．已知
a
，
b，
c
，
d
为实数，且
c
>
d
，则“< br>a
>
b
”是“
a
－
c
>
b
－
d
”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
?
?
a
－
c
>
b
－
d
，
解析：由
?
?
a
>
b
；
?
c
>
d
?
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
而当
a
＝
c
＝2，
b
＝
d
＝1时，满足
?
－
d
”的必要不充分条件．
答案：B
?
a
>
b
，
?
?
?< br>c
>
d
，
但
a
－
c
>
b< br>－
d
不成立，所以“
a
>
b
”是“
a
－
c
>
b
3．已知实数
a
，
b
，
c
满足
c
<
b
<
a
且
ac
<0 ，那么下列选项中一定成立的是( )
A．
ab
>
ac

C．
ab
>
cb

22
B．
c
(
b
－
a
)<0
D．
a
(
a
－
c
)<0
解析：由题意， 知
a
>0，
c
<0，
b
的符号不确定．不等式两端同乘以一 个正数，不等号的
方向不改变．
答案：A
11
4．设
a
，
b
为正实数，则“
a
<
b
”是“
a
－<
b
－”成立的( )
ab
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件
解析：若
a
<
b
且
a
>0，
b
>0，
1111
则>
?－
<－，
abab
11
所以
a
－<
b
－.
ab
11
若
a
－<
b
－，
ab
且
a
>0，
b
>0?
ab
－
b
<
ab
－
a
?
ab
－
ab
－
b
＋< br>a
<0，
ab
(
a
－
b
)＋(
a< br>－
b
)<0?(
a
－
b
)(
ab
＋
1)<0?
a
－
b
<0?
a
<
b
.
答案：C
5．已知
x
，
y
∈R，且
x
＞
y
＞0，则( )
11
A.－＞0
2222
xy
x
B．sin
x
－sin
y
＞0
?
1
??
1
?
C.
??
－
??
＜0
?
2
??
2
?
x
y
D．ln
x
＋ln
y
＞0
?
1
??
1
??
1
??
1
?
解析：函数
y
＝
??在(0，＋∞)上为减函数，所以当
x
＞
y
＞0时，
??
＜
??
，即
??
－
?
2
??
2
??
2
??
2
?
?
1
?
＜0，故C正确； 函数
y
＝
1
在(0，＋∞)上为减函数，所以由
x
＞
y
＞0?
1
＜
1
?
1
－
1
＜0 ，
?
2
?
xxyxy
??
故A错误；函数
y
＝sin
x
在(0，＋∞)上不单调，当
x
＞
y
＞0时 ，不能比较sin
x
与sin
y
的大小，故B错误；
x
＞
y
＞0
答案：C
二、填空题
1
2
6．已知0＜
a
＜1，则
a，，
a
的大小关系是________．

xy
＞1 ln(
xy
)＞0 ln
x
＋ln
y
＞0，故D错误．
xyx
y
a
1（
a
＋1）（
a
－1）解析：因为
a
－＝＜0，
aa
1
所以
a
＜.
a
又因为
a
－
a
＝
a
(1－
a< br>)＞0，
1
22
所以
a
＞
a
，所以
a
＜
a
＜.
2
a
1
2
答案：
a
＜
a
＜ a
7．若1＜
a
＜3，－4＜
b
＜2，那么
a
－|
b
|的取值范围是______．

解析：因为－4＜
b
＜2，
所以0≤|
b
|＜4，
所以－4＜－|
b
|≤0.
又1＜
a
＜3，
所以－3＜
a
－|
b
|＜3.
答案：(－3，3) b
2
a
2
8．设
a
＞0，
b
＞0，则 ＋与
a
＋
b
的大小关系是________．
ab
222
b
2
a
2
（
a
＋
b
）（
a
－
ab
＋
b
）（
a
＋
b
）（< br>a
－
b
）
解析：＋－(
a
＋
b
)＝ －(
a
＋
b
)＝.
ababab
因为
a
＞0，
b
＞0，所以
a
＋
b
＞0，
ab
＞ 0，(
a
－
b
)≥0.
2
b
2
a
2
所以＋≥
a
＋
b
.
ab
b
2
a
2
答案：＋≥
a
＋
b

ab
三、解答题
9．已知1≤
a
＋
b
≤5，－1 ≤
a
－
b
≤3，求3
a
－2
b
的取值范围 ．
解：设3
a
－2
b
＝
x
(
a
＋
b
)＋
y
(
a
－
b
)，
则3
a
－2
b
＝(
x
＋
y
)
a
＋(
x
－
y
)
b
.
1
x
＝，
?
?
2
?
x
＋
y
＝3，
?
从而
?
解得
?

?
x
－
y
＝－ 2，5
?
?
?
y
＝
2
.
15
所以 3
a
－2
b
＝(
a
＋
b
)＋(
a
－
b
)．
22
因为1≤
a
＋
b
≤5，－1≤
a
－
b
≤3，
1155515
所以≤(a
＋
b
)≤，－≤(
a
－
b
)≤，
222222
所以－2≤3
a
－2
b
≤10.
1 0．已知
a
＞
b
＞0，比较与
解：－
aa
＋1的大小．
bb
＋1
aa
＋1
a
（
b
＋1）－
b
（
a
＋1）
a
－
b
＝＝. < br>bb
＋1
b
（
b
＋1）
b
（
b＋1）
因为
a
＞
b
＞0，
所以
a
－
b
＞0，
b
(
b
＋1)＞0.
所以
a
－
b
＞0.
b
（
b
＋1）

所以＞
aa
＋1
.
bb
＋1
B级 能力提升 < br>1．(2016·全国卷Ⅰ)若
a
＞
b
＞1，0＜
c
＜1，则( )
A．
a
＜
b

C．
alog
b
c
＜
b
log
a
c

c
cc
B．
ab
＜
ba

D．log
a
c
＜log
b
c

cc
cc
解析：法一 由0＜
c
＜1知
y
＝
x
在(1，＋∞)上单调递增，故由
a
＞
b
＞1知
a＞
b
，A
错；
因为0＜
c
＜1，所以－1＜－
c
＜0，所以
y
＝
x
＞
a
c
－1
c
－1
在
x
∈(0，＋∞)上是减函数，所以
b
c
c
－1
，又
ab
＞0，所以
ab
·
b
c
－1
＞
ab
·
a
c
－1
，即
ab
＞
ba
，B错；
c
易知
y
＝log
c< br>x
是减函数，所以0＞log
c
b
＞log
c
a，所以log
b
c
＜log
a
c
，D错；
由 log
b
c
＜log
a
c
＜0，得－log
bc
＞－log
a
c
＞0，又
a
＞
b
＞ 1＞0，所以－
a
log
b
c
＞－
b
log
a
c
＞0，所以
a
log
b
c
＜
blog
a
c
，故C正确．
1
法二 依题意，不妨取
a
＝10，
b
＝2，
c
＝.易验证A、B、D均是错误的，只有C正确 ．
2
答案：C
2．若
a
，
b
∈R，且
a
＞
b
，下列不等式：
①＞
bb
－1
2222< br>；②(
a
＋
b
)＞(
b
＋1)；③(
a－1)＞(
b
－1).
aa
－1
其中不成立的是________．
解析：①－
bb－1
ab
－
b
－
ab
＋
aa
－
b
＝＝.
aa
－1
a
（
a
－1）
a< br>（
a
－1）
因为
a
－
b
＞0，
a< br>(
a
－1)的符号不确定，①不成立；
②取
a
＝2，
b
＝－2，则(
a
＋
b
)＝0，(
b
＋1)＝1 ，②不成立；
③取
a
＝2，
b
＝－2，则(
a
－ 1)＝1，(
b
－1)＝9，③不成立．
答案：①②③
3．已知＞，
bc
＞
ad
，求证：
ab
＞0. < br>22
22
cd
ab
cdcd
?
?
＞，
?
?
－＞0， ①
证明：
?
ab
?
?
ab

?
?
bc
＞
ad
?
?
bc
－
ad
＞0 . ②
又
bc
＞
ad
，则
bc
－
ad< br>＞0.
由②得
bc
－
ad
＞0.
故
ab
＞0.