新版高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案：第三讲章末小结与测评

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。







新版高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案：第三
讲章末小结与测评



(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．

(3)可以利 用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理
解柯西不等式的几何意义．


世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈 死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马 ！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！
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每览昔人兴感之由，若合一 契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列 叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。

若n是不小于2的正整数，求证：

4
＜1－＋－＋…＋－＜.

7
[证明] 1－＋－＋…＋－
2n

＝－2＝＋＋…＋，

所以求证式等价于＜＋＋…＋＜.

由柯西不等式，有

?
1
＋
1
＋
…
＋
1
?
?
n
＋
1n
＋
2
2n
?
[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n] ≥n2，

??
1
于是＋＋…＋
2n

≥＝＝≥＝，

又由柯西不等式，有＋＋…＋＜

??
（< br>12
＋
12
＋
…
＋
12
）
?
（
n
＋
1
）
2
＋
（
n
＋
2
）
2
＋
…
＋
（
2n
）
2?
＜ ＝.

??
111
1
设a，b，c，d为不全相等的正数．

求证：＋＋＋>.

[证明] 记s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于

s
s
－
d
＋＋＋>.

构造两组数

s
－
d
，，，；，，，，由柯西不等式得

[()2＋()2＋()2＋()2]·[＋＋＋]≥(1＋1＋1＋1)2.

即[4s－(a＋b＋c＋d)]·(＋＋＋)≥16，

于是＋＋＋≥，

等号成立?s－d＝s－a＝s－b＝s－c?a＝b＝c＝d.

因题设a，b，c，d不全相等，故取不到等号，

世有伯乐，然后有千里马。千里马 常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不 能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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