新版高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案：第三讲第2节一般形式的柯西不等式

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。




新版高中数学人教A版选修4-5创新应用 教学案：第三
讲第2节一般形式的柯西不等式



1．三维形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则

(a＋a＋a)(b＋b＋b) ≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i
＝1，2，3)或存在一个数k，使得 ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成
立．

2．一般形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则

(a＋a ＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋…＋anbn)2，当且仅当
bi＝0(i＝1，2，… ，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，
n)时，等号成立．

[问题思考]

1．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝
世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之 间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其 真无马邪？其真不知马也！

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每览昔人兴感之由，若合一 契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列 叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。

1，2，3，…，n)，可以吗？

提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．

2．在一般形式 的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i
＝1，2，3，…，n)，可以吗？

提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．

设a，b，c为正数，且不全相等．

求证：＋＋>.

[精讲详析] 本题 考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题
需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决．

构造两组数，，

c
＋
a
；，，，

则由柯西不等式得

(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①

即2(a＋b＋c)≥9，

于是＋＋≥.

由柯西不等式知，

①中有等号成立?＝＝?a＋b＝b＋c＝c＋a?a＝b＝c.

因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，

于是＋＋>.

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柯西不等式的结构特征可以记为( a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2
＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2，其中ai，bi∈R＋(i＝ 1，2，…，n)，在
世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶 人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰 ：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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