高中数学函数解题思想-高中数学易错题教学设计
每览昔人兴感之由,若合一契,未尝不临文嗟悼,不能喻之于怀。固知一死生为虚诞,齐彭殇为妄
作。后之视今,亦犹今之视昔。悲夫!故列叙时人,录其所述,虽世殊事异,所以兴怀,其致一也。后之览者,亦
将有感于斯文。
新版高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案:第四
讲章末小结与测评
设数列{an}满足an+1=a-nan+1,n=1,2,3,…
(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出数列{an}的一个
通项公式.
(2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有①an≥n+2;
世有伯乐,然后有
千里马。千里马常有,而伯乐不常有。故虽有名马,祇辱于奴隶人之手,骈死于槽枥之间,不以千里称也。策之不
以其道,食之不能尽其材,鸣之而不能通其意,执策而临之,曰:天下无马!呜呼!其真无马邪?其真不知马也!
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每览昔人兴感之由,若合一契,未尝不临文嗟悼,不能
喻之于怀。固知一死生为虚诞,齐彭殇为妄作。后之视今,亦犹今之视昔。悲夫!故列叙时人,录其所述,虽世殊
事异,所以兴怀,其致一也。后之览者,亦将有感于斯文。
②++…+≤.
[解] (1)由a1=2,得a2=a-a1+1=3;
由a2=3,得a3=a-2a2+1=4;
由a3=4,得a4=a-3a3+1=5.
由此猜想:an=n+1(n∈N+).
(2)①用数学归纳法证明:
当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立;
假设当n=k时,不等式成立,即ak≥k+2,
那么当n=k+1时,ak+1=a-kak+1=ak(ak-k)+1
≥(k+2)(k+2-k)+1=2(k+2)+1≥k+3=(k+1)+2,
也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2.
综上可得,对于所有n≥1,有an≥n+2.
②由an+1=an(an-n)+1及①,对k≥2,有
ak=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak-1(k-1+2-k+1)+1
=2ak-1+1≥2·(2ak-2+1)+1=22ak-2+2+1
≥23a
k-3+22+2+1≥…∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=
2k-1a1+2k-1-
1
=2k-1(a1+1)-1,
于是1+ak≥2k-1(a1+1),≤·,k≥2.
∴++…+
≤+
1
+
an
1
1
?
1
+
1
+
…
+
1
?
?
222
?
2n
-
1
?
1
+
a1
?
世有伯乐,然后有千里马。千里马常有,而伯乐不常有。故虽有名马,祇辱于奴隶人之手,骈
死于槽枥之间,不以千里称也。策之不以其道,食之不能尽其材,鸣之而不能通其意,执策而临之,曰:天下无马
!呜呼!其真无马邪?其真不知马也!
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