2019版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式专题检测试卷新人教A版选修4_5

第三讲 柯西不等式与排序不等式
专题检测试卷(三)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．设
a
1
≤
a
2
≤
a
3
…≤
a
n
，
b
1
≤
b
2
≤
b
3
…≤
b
n
为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，
乱序和的大小关 系为( )
A．反序和≥乱序和≥顺序和
B．反序和＝乱序和＝顺序和
C．反序和≤乱序和≤顺序和
D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定
答案 C
2．已知
m
＋
n
＝2，
t
＋
s
＝8，则|
mt
＋
ns
|的最大值为( )
A．2B．4
C．8D．16
答案 B
解析 ∵(
m
＋
n
) (
t
＋
s
)≥(
mt
＋
ns
)，
∴(
mt
＋
ns
)≤2×8＝16，
∴|
mt
＋
ns
|≤4.
当且仅当
ms
＝
nt
时，等号成立．
3．已知
a
，
b
，
c
为正数，则(
a
＋
b
＋
c
)
?
A．1B.3C．3D．4
答案 D
解析 (< br>a
＋
b
＋
c
)
?
2
2
22 222
2222
?
1
＋
1
?
的最小值为( )
?
?
a＋bc
?
?
1
＋
1
?
?
?
a＋bc
?
2
??
＝[(a＋b)＋( c)]
??
??
1
??
1
??
?
2＋??
2
?

a＋b
??
c
??
?a＋b·
1
＋c·
1
?
22
≥
??
＝ 2＝4，
a＋bc
??
当且仅当
a
＋
b
＝
c
时取等号．
4．设
a
，
b
，
c
为正 数，
a
＋
b
＋4
c
＝1，则a＋b＋2c的最大值是( )

A.5B.3C．23D.
答案 B
3

2
解析 1＝
a
＋
b
＋4
c
＝(a)＋(b)＋(2c)
1
222222
＝[(a)＋(b)＋(2c)]·(1＋1＋1)
3
1
2
≥(a＋b＋2c)·，
3
∴(a＋b＋2c)≤ 3，即当且仅当
a
＝
b
＝4
c
时等号成立．
5． 函数
f
(
x
)＝1－cos2x＋cos
x
，则
f
(
x
)的最大值是( )
A.3B.2C．1D．2
答案 A
解析 由
f
(
x
)＝1－cos2x＋cos
x
，
得
f
(
x
)＝2sin2x＋cos
x

≤?2＋1??sin
x
＋cos
x
?＝3.
当且仅当cos
x
＝
3
时取等号.
3
的最大值为( )
a2＋2b2＋3c2
a＋b＋c
222
222
6．设
a
，
b
，
c
均为实数 ，则
1166611
A.B.C.D.
6626
答案 B
11
?
2
11
?
?
222
?
解析 由(
a
＋2
b
＋3
c
)
?
1＋＋
?
≥
?
a·1＋2b·＋3c·
?
，
?
23?
?
23
?
11
2222
即(
a
＋2
b
＋3
c
)·≥(
a
＋
b
＋
c< br>)，
6
?
a
＋
b
＋
c
?11∴
2
.
22
≤
a
＋2
b
＋3
c
6
∴
66
≤.
6
a2＋2b2＋3c2
a＋ b＋c
2
7．已知
a
，
b
，
x
1
，
x
2
∈R
＋
，
ab
＝1，
x
1
＋
x
2
＝2，则
M
＝(
ax
1
＋
bx
2
)(
bx
1
＋
ax
2
)与 4的大小关系
是( )
A．
M
＞4B．
M
＜4C．M
≥4D．
M
≤4
答案 C
解析 (
ax
1
＋
bx
2
)(
bx
1
＋
ax
2
)

＝[(ax1)＋(bx2)]·[(bx1)＋(ax2)]
≥[ab(
x
1
＋
x
2
)]＝(
x
1＋
x
2
)＝4.
8．已知
x
＋
y
＋
z
＝1，则2
x
＋3
y
＋
z
的最小值为( )
2356
A.B.C.D.
11111111
答案 D
22 2
22
2222
?
11
?
2222
解析 ∵(2< br>x
＋3
y
＋
z
)·
?
＋＋1
?≥(
x
＋
y
＋
z
)＝1，
?
23< br>?
6
222
∴2
x
＋3
y
＋
z≥.
11
当且仅当
2x3yz
＝＝时，等号成立．
111
23
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．函数
y
＝5x－1＋10－2x的最大值为__________．
答案 63
解析 由柯西不等式，得
y
＝5x－1＋2·5－x
≤52＋2·x－1＋5－x＝27×2＝63，
当且仅当55－x＝2?
x
－1?，
127
即
x
＝时，等号成立．
27
10．如图，在矩形< br>OPAQ
中，
a
1
≤
a
2
，
b1
≤
b
2
，则阴影部分的矩形面积之和________空白部分
的矩形面积之和．

答案 ≥
解析 由题图可知，阴影部分的面积等于
a
1
b
1
＋
a
2
b
2
，而空白部 分的面积等于
a
1
b
2
＋
a
2
b
1
，根
据顺序和≥反序和可知，答案为≥.
11．已知0＜
x
＜1 ,0＜
y
＜1，则函数
f
(
x
)＝x2＋y2＋?1－x
?＋?1－
y
?的最小值是________．
答案 2
22
解析 由三角不等式，得
x2＋y2＋?1－
x
?＋?1－
y
?
≥[x－?
x
－1?]＋[
y
－?
y
－1?]＝2.
22
22

11
当且仅当
x
＝1－
x
，
y
＝1－
y
，即
x
＝，
y
＝时，等号成立．故
f
(
x
)的最小值为2.
22
12．设
a
＝( －2,1,2)，|
b
|＝6，则
a·b
的最小值为______，此时b
＝________.
答案 －18 (4，－2，－4)
解析 根据柯西 不等式的向量形成，有|
a·b
|≤|
a
||
b
|，
∴|
a·b
|≤?－2?＋1＋2×6＝18.
当且仅当存在实数
k
，使
a
＝
kb
时，等号成立．
∴－18≤
a·b
≤18.
∴
a·b
的最小值为－18， 此时
b
＝－2
a
＝(4，－2，－4)．
三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)
222
13．设
a
，
b
，
c
是正实数，且
a
＋
b
＋
c
＝9，求＋＋的最小值．
abc
222
?
222
?
解 ∵(
a
＋< br>b
＋
c
)
?
＋＋
?

?
a bc
?
＝[(a)＋(b)＋(c)]·
??
≥
?
a·222
??
??
2
??
?
2＋
?
a< br>??
2
??
?
2＋
?
b
??
2??
?
2
?

c
??
?
?
2
＋b·
a
2
＋c·
b
2
?
2
?< br>＝18，当且仅当
a
＝
b
＝
c
＝3时等号成立．
c
?
222
∴＋＋≥2，
abc
222
∴＋＋的最小值为2.
abc
14．(2017·江 苏)已知
a
，
b
，
c
，
d
为实数，且a
＋
b
＝4，
c
＋
d
＝16，证明：
ac
＋
bd
≤8.
证明 由柯西不等式，得(
ac
＋bd
)≤(
a
＋
b
)(
c
＋
d
)，
因为
a
＋
b
＝4，
c
＋
d
＝16，
所以(
ac
＋
bd
)≤64，
因此
ac
＋
bd
≤8.
15．已知二次三项式
f
(
x
)＝
ax
＋
bx
＋
c
的所有 系数均为正数，且
a
＋
b
＋
c
＝1，求证：对于
任 何正数
x
1
，
x
2
，当
x
1
x< br>2
＝1时，必有
f
(
x
1
)
f
(< br>x
2
)≥1.
证明
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)＝(
ax
21＋
bx
1
＋
c
)·(
ax
2＋
bx
2
＋
c
)
≥[
a
(x1x2)＋
b
x1x2＋
c
]
＝
f
(x1x2)＝
f
(1)＝1.
故
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)≥1.
18
222
16．已知
x
＋2
y
＋3
z
＝ ，求3
x
＋2
y
＋
z
的最小值．
17
2 2
22
2
2
2222
22222
2222

< br>??
1
?
2
??
3x＋2y·2＋3z·
1
?
222
解 (
x
＋2
y
＋3
z
)·?
32＋?2?＋
???
≥
??
＝(3
x
＋2
y
＋
z
)，
3
???
3
???
222
??
1
?
2
?
2
∴(3
z
＋2
y
＋
z
)≤(
x
＋2
y
＋3
z
)·
?
32＋?2?＋
???
＝12，
??
3
??
2222
∴－23≤3
x
＋2
y
＋
z
≤23，
当且仅当
x
＝9
y
＝81
z
，
93333
即
x
＝－，
y
＝－，
z
＝－时 取“＝”．
171717
∴3
x
＋2
y
＋
z的最小值为－23.

17．求三个实数
x
，
y
，< br>z
，使得它们同时满足下列方程：2
x
＋3
y
＋
z< br>＝13,4
x
＋9
y
＋
z
－2
x
＋
15
y
＋3
z
＝82.
解 将两个方程相加，得
(2
x
)＋(3
y
＋3)＋(
z
＋2)＝108，① < br>又第一个方程可变形为2
x
＋(3
y
＋3)＋(
z
＋ 2)＝18，②
1
2222
由①②及柯西不等式，得(2
x
)＋( 3
y
＋3)＋(
z
＋2)≥[2
x
＋(3
y
＋3)＋(
z
＋2)]，
3
1
2
即108≥×18＝108，即柯西不等式中的等号成立．
3
所以2
x
＝3
y
＋3＝
z
＋2＝6，故
x
＝3，
y
＝1，
z
＝4.
x2y2z2
18． 设
x
，
y
，
z
∈R，且＋＋＝1，求
x
＋
y
＋
z
的取值范围．
1654
解 由柯西不等式，得 < br>yz
?
2
?
?
x
?
?
y
?
?
z
?
??
x
2222
[4＋(5)＋2]·?
??
2＋
??
2＋
??
2
?
≥?
4×
4
＋5×＋2×
2
?
＝(
x
＋
y
＋
z
)，
5
?
?
4
?
?
5
?
?
2
?
???
即25×1≥(
x
＋
y
＋
z
).
∴|
x
＋
y＋
z
|≤5，∴－5≤
x
＋
y
＋
z
≤ 5.
∴x＋y＋z的取值范围是[－5,5]．
222
222
222
2