高中数学5.4几个著名的不等式5.4.3算术_几何平均不等式自我小测苏教版选修4_5

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者， 凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无 钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
5. 4.3 算术—几何平均不等式
自我小测
1若实数
x
，
y
满足
xy
＞0，且
xy
＝2，则
xy
＋
x
的最小值是________．
22
?
1
??
1
??< br>1
?
2设
a
，
b
，
c
∈R
＋
，且
a
＋
b
＋
c
＝1，若
M
＝
?
－1
??
－1
??
－1
?
，则必有__ ______．
?
a
??
b
??
c
?
?
abc
??
bca
?
3已知
a
，
b
∈R
＋
，则
?
＋＋
??
＋＋
?
≥___ _____.
?
bca
??
abc
?
4若记号“*”表示 求两个实数
a
与
b
的算术平均值的运算，即
a
*
b
＝
a
＋
b
2
，则两边均含
有运算“*”和“＋”， 且对任意3个实数
a
，
b
，
c
都能成立的一个等式可以是< br>____________________．
5求证：
4
＋
a
≥7(其中
a
＞3)．
a
－3
3322
6如果
a
，
b
∈R
＋，且
a
≠
b
，求证：
a
＋
b
＞
ab
＋
ab
.
111
7已知
a
，
b< br>，
c
同号且互不相等，
a
＋
b
＋
c
＝1，求证∶＋＋＞9.
abc
8若正数
a
，
b
满足ab
＝
a
＋
b
＋3，则
ab
的取值范围是__ ____．
1
x
＋2
x
＋5
9下列命题：①
x< br>＋的最小值是2；②
2
的最小值是2；③
2
的最小值是2；
x
x
＋1
x
＋4
4
④2－3
x
－的最小值是 2，其中正确命题的个数是________．
22
x
10若
a
、
b
、
c
∈R
＋
，且
a
＋
b
＋
c
＝1，求证：
1119
＋＋≥.
a
＋
bb
＋
cc
＋
a
2
2
11设
a
，b
，
c
均为正数，证明(
ab
＋
a
＋
b
＋1)(
ab
＋
ac
＋
bc
＋
c
)≥16
abc
.
12求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大．

参考答案
11
22
1．3 解析：
xy
＋x
＝
xy
＋
xy
＋
x
≥
22
3
1
3
11
2
3
xy
×
xy
×
x
＝3
x
2
y
224
2．
M
≥8
2
3
4
＝3＝3.
4
解析：
M
＝
?
?
a
＋
b
＋
c
－1
??
a< br>＋
b
＋
c
－1
??
a
＋
b
＋
c
－1
?
＝
??
b
??
c
?< br>?
a
?????
b
＋
ca
＋
c
ab c
a
＋
b
8
abbcac
1
≥＝8，当且仅当a
＝
b
＝
c
＝时取等号．
abc
3