补货量公式海伦公式的推导和应用

2020年10月7日发(作者：郑之文)

海伦公式

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王 希伦
（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris
Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代
的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)2
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注1：Metrica(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
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由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。 比如
说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：
与海伦在他的着作Metrica(《度量论》)中的原始证明不 同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设
三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为
cosC = (a^2+b^2-c^2)2ab
S=12*ab*sinC
=12*ab*√(1-cos^2 C)
=12*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^24a^2*b^2]
=14*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=14*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=14*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=14*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)2
则p=(a+b+c)2, p-a=(-a+b+c)2, p-b=(a-b+c)2,p-c=(a+b-c)2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
）：2证明（
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《》中，已经有 求三
角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来 并非易
事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三 边的长
度来求三角形的面积？直到南宋，我国着名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上
大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的
那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、
中斜、小斜，所以
q=14[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 22) 2]
当P＝1时，△ 2＝q,
S△=√{14[c 2a 2-(c 2+a 2-b 22) 2]}
得
116[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]
=116(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=18S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=12(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=c2*根号下a^-{(a^-b^+c^)2c}^ .其中c>b>a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）
代入解得s=8√ 3
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、 B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内
切圆的半径，p = (a+b+c),则
S△ABC
=12 aha
=12 ab×sinC
=12 r p
2R2sinAsinBsinC =
= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是着名的海伦公式，在希腊数学家海伦的着作《测地术》中有记
载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
如右图

勾股定理证明海伦公式

。
证二：斯氏定理?
如右图。?

斯氏定理证明海伦公式

证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式

恒等式证明(1)
恒等式证明(2)

证五：半角定理
∵由证一，x = = －c = p－c
y = = －a = p－a
z = = －b = p－b
∴ r3 = ∴ r =
∴S△ABC = r·p = 故得证。
二、 海伦公式的推广
由于在 实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，
所以猜想 海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA = e EB = f
∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○
∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD
= = = ∴
解得： e = ① f = ②
由于S四边形ABCD = S△EAB
将①，②跟b = 代入公式变形④，得：
∴S四边形ABCD =
所以，海伦公式的推广得证。
三、 海伦公式的推广的应用
海伦公式的推 广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用
海伦公式的推广 往往事倍功半。
例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.
求：四边形可能为等腰梯形。
解：设BC = x
由海伦公式的推广，得：
(4－x)(2＋x)2 =27
x4－12x2－16x＋27 = 0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0
(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0
x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0
当x = 1时，AD = BC = 1
∴ 四边形可能为等腰梯形。
在程序中实现(VBS):
dim a,b,c,p,q,s
?湩異扴硯尨请输入三角形第一边的长度)
?湩異扴硯尨请输入三角形第二边的长度)
?湩異扴硯尨请输入三角形第三边的长度)
a=1*a
b=1*b
c=1*c
p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)
q=sqr(p)
s=(14)*q
獭执硯尨三角形面积为&s), 尬三角形面积
在VC中实现
#include<>
#include<>
main()
{
int a,b,c,s;
n);
输入第一边牰湩晴尨
scanf(%d,&a);
牰湩晴尨输入第二边n);
scanf(%d,&b);
牰湩晴尨输入第三边n);
scanf(%d,&c);
s=(a+b+c)2;
牰湩晴尨面积为:%fn,sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));
}

海伦公式