《微积分基本定理》微课教学设计

《微积分基本定理》微课教学设计
项目
讲课内容所属学科
讲课内容所属专业
内容
数学
理工类专业及经管类
专业
讲课内容所属课程 《高等数学》、《微积
分》
讲课内容所属适用
对象
讲课内容类型
理工类专业及经管类
专业的一年级本科生
新授课

讲授类

基础课
备注
一级


1

1. 教学目标
?
1
?
1) 知识层面：理解并掌 握重要极限公式的初始型
lim
?
1?
?
?e
、标准型n??
?
n
?
?
1
?
?
1
?
lim
?
1?
?
?e
以及推广型
lim
?
1?
?
?
(x)??
x??
?
(x)
?< br>x
?
??
x
n
?
(x)
?e
的结果 及形式，并利用
重要极限解决连续复利等实际问题。
2) 能力层面：理解重要极限的条件并 能够利用重要的极限公式求解一类函
数的极限问题。通过解决连续复利问题，培养学生将实际问题加以抽 象，
建立一般模型的能力。学习利用数学知识，分析和解决模型，并最终回
到实际问题。
3) 认知层面：体会重要极限三种形式（初始型、标准型和推广型）实际是
解决未定式
1
?
型的极限，认识到从这种分析角度打开了求一类幂指函数
的极限一个新的视野。
2． 教学内容
1) 重要极限公式的初始型、标准型及推广型。
2) 重要极限公式初始型和标准型的证明。
3) 未定式
1
?
型的极限问题的解法。
4) 重要极限公式在经济学连续复利数学模型中的应用。
3． 教学重点与难点
1) 教学重点：重要极限公式的形式及其内涵；连续复利模型。
处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。
2) 教学难点：重要极限公式初始型及标准型的证明；重要极限公式的推广
型的内涵；利用重要极限推广型求极限。
处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒 体课件；利用提问
方式，随堂检验学生掌握程度。
4． 教学方法

2

1) 动态多媒体课件和板书相结合，采用启发式教学。
2) 通过师生互动激发学生的学习兴趣。
5． 教材分析
微积分（Calculus）是高等数 学中研究函数的微分（Differentiation）、积
分(Integration)以及有关 概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。
其主要内容是微分学和积分学。微分学包括求导数的 运算，是一套关于变化
率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符
号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供
一套通用的方法。
微积分的主要内容包括极限理论，而极限思想至始至终贯穿于微积分之
中，微积分中许多重要的概念都 是用极限来定义的，如连续、导数、积分、
级数等。可以说微积分就是应用极限和极限思想研究函数变量 间依赖关系和
函数变化规律的数学分支，极限和极限思想在微积分中扮演着核心的地位。
微积分 建立在初等数学之上．能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因
在于它引进了一个新的思想方法，即 极限的思想方法。极限思想方法揭示了
常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动等一 系列对立
统一及矛盾相互转化的辩证关系。极限思想方法，是微积分中一个重要的内
容．是应用 微积分解决实际生活问题的重要思想来源。
6． 学生能力分析
本课程是针对我校经济管理 类专业大一学生开设的一门基础必修课。
经济学与数学是有着十分密切关系的两个学科，经济学中的很多 经济现象经
济理论都能够用数学知识去解释。现代化经济理论已经从过去的经济定性分
析发展成 为定量分析和定性分析相结合。微积分作为数学知识的基础，是学
习经济学的必备知识。而经济学中的许 多问题．也是用微积分来解决的。极
限概念是微积分中最基本的概念，微积分中大量的其它基本概念都是 用极限
概念来表达的。因此，用极限思想方法指导经济学中相关概念的学习，对于
掌握经济学中 的重要概念有很大的帮助。所以在微积分的第一章就介绍函数

3

极 限的基本概念以及求极限的方法，本次课是第一章关于函数极限理论中对
一类幂指函数的极限求解提出了 一个重要的方法，即一个重要极限。为了让
经管类的学生直接感受到微积分中极限理论在经济学中的重要 性，同时也为
了让理论应用用于现实生活，更容易让学生把握住问题方法及其本质，我们
采用有 趣的例题（一个关于利滚利的例子）引入新课，设立悬念，激发学生
学习的主动性，在讲解完理论之后又 回归到现实生活。时刻理论联系实际的
授课方法会消除文字公式的生硬感，更易于学生理解，同时也培养 了学生多
从问题的本质来分析问题解决问题的能力。
本部分的内容中的重要极限的结果是我们 熟知无理数
e
的由来，在讲
解无理数
e
的时候可以穿插数学史，增加 授课的趣味性和生动性，同时提高
学生学习数学的热情。
7． 设计思路
1) 设计要点一 —— 问题的引入
通过介绍复利（利滚利）问题引入本课内容，一方面有助于引起学习兴
趣，让学生认识到今天所讲的重要极限非常有意义，从而激发其求知欲望。
这时恰当把握时机， 将求知欲望转为学习动力，完成从“现实问题”到“数
学理论”的升华，从而引入重要的极限公式。另一 方面通过介绍复利问题，
使学生初步体会认识重要极限在经济学中的应用。
设计依据： 创设问题情境，引起注意和好奇心理，是激发学习动机，进行有效学习
的重要因素。适当情景下的转 折是提升课堂内容水平的关键。
2) 设计要点二 —— 重要极限初始型的证明
?
1
?
对重要极限公式
lim
?
1?
?
?e
，通过对
n
取一些特殊值，让学生体会数
n??
?
n
?< br>?
1
?
列
?
1?
?
取值的变化趋势，引导学 生自主分析这种趋势并进行归纳，然后通
?
n
?
过准则Ⅱ完成重要极限初始型 的证明，从而完成从直观感觉到认知水平的升
华。
设计依据：

4 n
n

学习的过程不仅仅简单掌握方法，更重要的是原有知识的重新体认，是
认知结构的重塑和提升。
3) 设计要点三 —— 重要极限推广型的推导
?1
?
利用对例题
lim
?
1?
?
的极限求解推 导出重要极限的推广型，从认知层
x??
?
x
?
面启发学生重要极限 实质是解决未定式
1
?
型的极限，完成从“具体问题”到
“数学理论”的升华 。通过这种方式的教学，在潜移默化中培养学生“透过
现象看本质”的能力。
设计依据：
授课过程不仅要传授知识，而且要注重能力的培养。
4) 设计要点四 —— 重要极限的应用
利用例题3推广出经济学中连续复利的数学模型，这与本节课问题的引
入呼应 ，把引入的问题进行归纳和提升。
设计依据：
连续复利问题的解决过程遵循了“实际问题— 建立模型—分析模型—解
决问题”的思维方式。通过这种方式的教学，在潜移默化中培养学生利用已有知识解决现实问题的能力。
x
8． 教学模式
问题导入——启发思考——共同分析——构建知识——知识应用。
9． 板书设计，参考文献
见附件。
10． 教学过程
教学步
骤






教学内容
表达方式
设计意图


我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金


再生利息，也就是利滚利。但是本利和的多寡，要看计息周期而

一、引例：复利问题(3分钟)
5

教学步
教学内容
骤
1．提出
定。以1元人民币本金为例，假设年利率为100%，以一年来说，问题，导
入本课
可以一年只计息一次，那么一年之后的本利和就是1(本金)+1（利内容。
息）=2（元）；但是，也可以每半年计息一次，在保证年利率为100%
的情况 下，根据复利的计算公式，可得一年之后的本利和为：
表达方式
设计意图
?
1
?
；或者一月一次，同理可得一年之后的本利和
?
1?
?
?2.25
（元）
2
??
1
??
为：
?
1 ?
?
?2.61
（元）；甚至一天一次等等。当然计息周期愈
?
12
?
短，本利和就会愈高。
提问：如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次 ，
甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利
和会无限制地加大吗？即：
12
2
利用多
媒体课
件，介
绍问题
的背
景 ，用
现实生
活中的
实际问
题激发
学生兴
趣。



?
1
?
lim
?
1?
??+?.
n??
?
n
?
n

二、重要极限初始型的结果及其证明(12分钟)
1． 考察极限
2．分析
问题特
征，在介
绍准则
Ⅱ的基
础上解
决重要
极限初
始型的
证明。
将极限
过程图
表化，
在此过
程中注
意提醒
学生数
列的变
化趋
势。

课件演
示。

?
1
?
观察当
n??
时数列
?
1?
?
的变化趋势：
?
n
?
n
n

n
1 2 10 1000
.
10000 100000 1000000 .
.
2.71828
.
.
.
?
1
?
2 2.25 2.594 2.717 2.7181 2.7182
?
1?
?

?
n
?
n
?
1
?
结论： 当
n< br>无限增大时，
?
1?
?
是逐渐增大的，但是不论
n
?
n
?
?
1
?
如何大，
?
1?
?< br>的值总不会超过3。
?
n
?

n

6

教学步
骤
教学内容
表达方式
设计意图

2． 解决问题的准备——准则Ⅱ


准则Ⅱ：单调有界数列必有极限。

如果数列
?
x
n
?
满足：
x
1
?x
2
???x
n
??
，就称之为单调增加


数列；若满足：
x
1
?x
2
???x
n
??
，就称之为单调减少数列。同

启发学
理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。
生理解
准则Ⅱ
如果
?M
，使得：
x
n
?M(n?1,2,?)< br>，就称数列
?
x
n
?
有上界；
的思
想。 < br>若
?M
，使得：
x
n
?M(n?1,2,?)
，就称 数列
?
x
n
?
有下界。


准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。
课件演
准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。
示。


（以单调上升且有上界为例从几何意义上说明。）
说明：1）由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就
有极限；
2）根据准则只能判断极限存在, 无法求出极限值；
3）准则Ⅱ、Ⅱ′、Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此
不一一陈述了。

3． 重要极限初始型的证明：




7

教学步
骤
教学内容
表达方式
设计意图



n1n(n?1)1n(n?1)
?
(n?n?1)1

?1????
2
????
n


1!n2!nn! n
11112n?1
启发学
?1?1?(1?)???(1?)(1?)?(1?)< br>
生思考
2!nn!nnn
类似地， 重要极
11112n?1
限证明
x
n?1
?1?1?(1?)?
?
?(1?)(1?)?
(1?)

方法。
2!n?1n!n?1n?1n?1
利用准
112n
?(1?)(1?)
?
(1?)

则Ⅱ，
(n?1)!n?1n?1n?1
分别证
明数列
比较
x
n
, x
n?1
的展开式，可以看到除了前两项以外，
x
n
的每一
的单调
性和有
项都小于
x
n?1
的每一项，且还多了最后一项，其值 大于零，所以，
界性，
最后得
x
n
?x
n?1
，由 此说明数列
?
x
n
?
是单调增加的，又因：
出数列
极限的
1
1?
n
1111
存在
2

x< br>n
?1?1??
?
??1?1??
?
?
n?1
?1?
1
性。
2!n!22
1?
2

1

?3?
n?1
?3

课件演
2
示。
这说明数列
?
x
n
?是有界的，由极限准则Ⅱ，知数列
?
x
n
?
的极
?1
?
设
x
n
?
?
1?
?

?
n
?
n

限存在，以数
e
表示，即：
?
1
?
lim
?
1?
?
?e

n??
?
n
?

说明：1）关于重要极限初始型存在性的证 明，有多种不同
的方法，希望同学自己看参考书《数学分析》(第
一册)（徐森林、薛春华）；
2）指数函数
y?e
x
及自然对数
y?lnx
中的底就是这
个常数
e
。

n

8

教学步
骤
4． 知识扩展：
教学内容
表达方式
设计意图
上面的极限是一个无理数，我们把它记为
e
。无 理数
e
和无理延伸课
堂内
数
?
是两个非常传奇的常数，对这 方面有兴趣的同学可以在课后
容，供
进行学习和研究。详细资料可参见《
e
的 故事——一个常数的传奇》学有余
力的同
（作者Eli Maor，人民邮电出版社）和《
?
：世界上最神秘的数学》
学拓展
（作者 A Ifred S. Posamentier和Ingmar Lehmann，吉林出版集团知识
面。
有限责任公司）。


三、重要极限的标准型(13分钟)


1． 重要极限标准型的建立：

将重要极限里面的正整数
n
改为实数
x
，即得到重要极限 的标


准型，即：

x

?
1
?
lim
?
1?
?
?e


x??
?
x
?

问题：标准型极限过程
x??
与
n??
有什么不同？

3．提出
结论：1）
x
为实数，而
n
为正整数；
重要极
2）
x??
包含
??
和
??
两个方向，而< br>n??
只包含
??
限的标
准型，并
一个方向。
分析此

重要极
限所包
含的条
2． 重要极限标准型的证明：
件、目的

和结果，
设
n?x?n?1,
则
并给出
重要极
nxn?1
111
??????
限标准
?
1?
?
?
?
1?
?
?
?
1?
?
,

n?1
???
x
??
n
?
型的证
明。利用
且
n
与
x
同时趋于
??
，因为
典型例
题巩固
学生对




上面的极限中
的正整
数
n
改
为实数
x
会有
同 样的
结论
吗？






证明重
要极限
的标准
型之前
先复习
上节课
9

教学步
骤
标准型
条件的
理解和
掌握。
教学内容
1
??
1?
n
??
1
?
n?1
?
?
?

lim
?
1??
?lim
n??
n?1
??
n??
1?
1< br>n?1
?
1
?

lim
?
1?
?
n??
?
n
?
n?1
表达方式
设计意图
n?1
?e,

?
?
1
?
n
?< br>1
?
?
?lim
?
?
1?
?
??
1?
?
?
?e,

n??
?
?n
??
n
?
?
?
?
应用夹逼准则，即得
?
1
?

lim
?
1?
?
?e.

x???
?
x
?
令
x??(t?1),
则
x???
时，
t???
.从而
x
1
??
1
??

lim
?1?
?
?lim
?
1?
?
x???
?
x
?
t???
?
t?1
?
?
1
?
?lim
?
1?
?
t???
?
t
?
t?1
x?(t?1)
?
t
?
?lim
??
t???t?1
??
?(t?1)

的准则
Ⅰ（夹
逼定
理）然
后利用
准则Ⅰ
证明
之。
这部分
内容稍
显枯
燥，注
意结合
课件演
示和板
书。
?
?
1
?
t
?
1
?
?
?lim
?
?1?
?
?
?
1?
?
?
?e.

t???
?
?
t
??
t
?
?
?
?
?
1
?
综上可得：
lim
?
1?
?
?e
.
x??
?
x
?
?
1
?
小结：重要极限标准型的证明利用了
lim< br>?
1?
?
?e
以及上节
n??
?
n
?
课所学的准则Ⅰ，证明具有一定的难度！

3． 重要极限标准型所包含的条件和目的：

条件：
1）极限形式
x??
；
2）括号里面是
1?
1
；
x
n
x
3）括号外面即里面分式之分母。
目的：求极限
结果：
e

摆脱实
际问题
背景，
转化为
幂 指函
数的极
限问
题。

课件演
示。

10

教学步
骤
教学内容
表达方式
设计意图
4．详细
分析例
题1，从
而得出
重要极
限的推
广型公
式。并提
升重要
极限的
真正内
涵。

4． 典型例题：
学会利
用重要
x
1
??
极限的
例题1. 求
lim
?
1?
?

x??
?
x
?
标准型
求极
x
1
??
限。在
解：原式 =
lim
?
1?
?

x??
?x
??讲解此
例题时
?x?
?
?1
?
1
??
注意重

?lim
?
1?
?
x??
?
?x
?
要极限
标准型
?x
?1
?
?
1
?
?
的三个
?
?
lim
?
1?
?
?

x??
?x
?
??
?
?
?
必 备条
件。
t
?1
令?x?t
??
?
1
?

=
?
lim
?
1?
?
?
=
e
?1
.

t??
?
?
?
t
?
?
?
课件演
说明：在讲解此题时要详细讲解重要极限标准型的三个条示。
件，并且在 讲解变量替换方法的时候，要放慢速度，
让学生明白此法的实质，并由此引出重要极限推广
型公 式。
由例题
四、重要极限的推广型(8分钟)
1思考
出重要
1. 重要极限推广型的建立：
极限的
推广
?x
1
??
型。要
思考： 我们在求解 例题1的时候，在求解中得出
lim
?
1?
?
x??
??x
?
让学生
为
e
。采用的是一种高等数学一种重要的方法—— 变量替换法，即
明白推
广型只
令
-x?t
，因为当
x??< br>时，有
t??
，所以上面的极限可以化为
要采取
适当的
t1
??
lim
?
1?
?
，根据重要极限标准型的结论， 我们可知极限为
e
。这
变量替
t??
?
t
?
换之后
其实就
里面可以给我提供一个什么样的思考？
可以变
结论：其实我 们知道，
-x
是
x
的一个函数，上面的极限也可
成重要
极限 的
?x
1
??
以写成
lim
?
1?
??e
，也就是说，只要关于
x
函数
?
(x)??
，标准
?x??
?
?x
?
型。这
利用变量替换的方法，将 其化成重要极限的标准型，可得极限为
e
，
部分内
容是课
11

教学步
骤
?
1
?
也就是
lim
?
1?
?
?
(x)??
?
?
(x )
?
?
(x)
教学内容
表达方式
设计意图
堂内容
?e
。而在我们写极限的时候极限过程往
的升
华。
往是自变量
x
的变化过程，所以由上式可得重要极限的推广型：
?
1
?
lim
?
1?
?
某过程
?
?
(x)
?
?
(x)
?e
，其中
lim
?
( x)??
.
某过程

推广型
2. 重要极限推广型的真正内涵：
的本质
?
(x)
是求解
?
1
?
?e
，其中
lim
?
(x)??
，这个推
一类幂
提问：
lim
?
1?
?
某过程
某过程
?
( x)
??
指函数
广型真正的内涵到底是求哪一类函数的极限？ 的极
限。
内涵：1）
1
?
未定式的极限；

2）内外互为倒数（括号里面的分式与括号外的指数
课件演
示。
互为倒数，且括号里面的分式之前为“1+”）。


3. 典型例题：
例题2. 求
limx
x?1
2
x?1
.

2
x?1
解：原式=
lim
?
?
1?
?
x?1
?
?
?
x?1

1
?2
x?1
?
1
?

?lim
?
1?
?
x?1
?
1(x?1)
?

?e
2
.







利用重
要极限
求
1
?< br>未
定式极
限。从
此例让
学生领
会“透
过现象
看本
质”。

课件演
示。

点评：通过上面的例题再次 强调重要极限内涵以及在做题时
怎么凑成内外（强调括号里面是“1+”的情况下内外
的具体含 义）互为倒数。
1
?
1
?
提问：
lim
?
1?
?
?e
和
lim
?
1?x
?
x?e
，对吗？
x?0
x??
?
x
?
x
结论：都不对！它们两个都是未定式
?
0
型，与我们这里所学
的重要极限的 内涵完全不一致！所以上面是两种错误

12

教学步
骤
的形式。

x
教学内容
表达方式
设计意图









5．进一步学习
重要极
限在经
济学中
连续复
利的应
用。从而得出一
般的连
续复利
数学模
型，并简
单介绍
连续复利模型
通过及
时练
习，巩
xx
4
??
x?2? 4
??
固学生
解：原式
?lim
??
?lim
?
1?
?

x??x??
x?2x?2
????
对重要
极限内
x?2
4
2
??
4
44
?
涵的理
???
?
?lim
?
?
1?1?
??

x??
?
?
x?2
?
解。
?
?
?
x?2
?

??

4
?e.
课件演
示。
点评：真正利用重要极限的推广型求未定式
1
?
的极限时的关

键是一个字“凑”，即怎么使得“内外互为倒数”。

五、重要极限在经济学中的应用(8分钟)

例题3. 老张在银行存入本金
P
为1万元，复利率
r
为每年


3.5%，试计算1年后老张在银行的存款额。

分析：在解题之前反问学生此题是不是非常容易？然后引导学


生回忆此节课的引例使其较深入的思考此题。


解：一年一次，
1?r?1?3.5%?1.035
（万）；
与引例
22
呼应，< br>?
r
??
3.5%
?
每半年复利一次，
?
1?
?
?
?
1?
（万）；
?1.0353
?
强调重
2
??
2
??
要 极限
每月复利一次，每天复利一次，……
在经济
学中的
n
?rn
??
r
重要应
r1
??
r3.5%
???e?e.

P1?
?
?lim
总
=lim
?
1?
用！
n??n??
n
??
?
n
?
?r?
并介绍
连续复
小结：由上例得出
t
年后连续复利的数学模型。即：
利模型
nt
?rt
在现实
r
n
??
r
?
1
?
?
生活中
?
P=limP1??limP1??Pe
r t
.

??
总
n??
?
nt
?
n ??
?
nt
?
的应
?r?
用。
点评：连续复利问题的数学模型在人口增长、林木增长、细

13
?
x?2
?
课堂练习：求
lim
??
.

x??
x?2
??

教学步
骤
的现实
生活中
的应用。

教学内容
表达方式
设计意图
菌繁殖、物体冷却、放射性元素的衰变等许多实际问
课件演
示
题中都会遇到，因此有很重要的实际意义。
例题4. 一机器原价值100000元，不断变旧，每年减少价值
0.9％，求其10年后的价值。
中学做法:

10年后机器价值为：
100000(1?0.9%)
10?
91355.89
（元），未考虑连续复利，不科学。


大学做法：
解：根据连续复利数学模型，由题知：
P?100000,r??0.9%,

t?10
。
故10年后机器价值为：
rt?0.9%10?
P
总
?Pe?100000e
1
??91393.48
（元）
0.09
e1.09417

小结：利用连续复利数学模型求解例题4更加符合实际，
也更科学。


?
六、课堂小结和课下作业(1分钟)

1. 小结：
本节课通过 复利问题引入了重要极限的初始型，然后分别得
通过课
堂总
出重要极限的标准型和推广 型，并且给出重要极限初始型和标准
结，让
学生对
型的证明。重要极限的重要性主要体 现在以下三个方面：
本节课
1）重要常数无理数
e
的由来；
内容形
成整体
2）未定式
1
?
求极限的方法；
认识。

3）重要极限在连续复利数学模型的应用。
课件演

示。
2. 作业和预习要求：
课后复习回顾本节内容，掌握有关概念，作业题：
P
57
2。
< br>6．通过
小结，概
述本课
内容，并
布臵作
业和预
习任 务。


14

教学步
骤
教学内容
并预习第七节：无穷小的比较。
表达方式
设计意图


附件：
1． 板书设计


参考文献：
1) 同济大学数学系编. 《高等数学》（第六版）.高等教育出版社.2007年.
2) 徐森林、薛春华编著.《数学分析》(第一册).清华大学出版社.2005年.
3) 金圣才主编.《复利数学》.中国石化出版社.2009年.
4)
[以] Eli Maor著. 《e的故事——一个常数的传奇》.人民邮电出版
社.2011年.

5)
张青山主编.《站在大学讲台上》.北京理工大学出版社.2010年.











15

一个重要极限的练习与测试题
一、 填空题
1、
lim
?
1?x
?
?

x?0
?cosx)
2、
lim(1
?
x?
2< br>1
cosx
2
x
?


2x?1
?x
)?

2x
2
?)
x
?
4、
lim (1
x??
x
1
?)
4x?1
?
5、
lim(1
x??
3x
3、
lim(
x??
1
??
1?
6、
lim
??
?

x??
?
x
?
x?1
3x
)?

x
x??
3?x
2x
)?
8、
lim(
x??
2?x
x
2
7、
lim(
二、 计算题
?2
3?x
1
x
)

2、
limn[ln(n?2)?lnn]
1、
lim(
x?0< br>n??
3
x
x
?1
2
2
x
lim( )
lim(1?)
3、 4、
x??
x
2
?1
x??
x
2
三、 应用题
某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利
息,10年后每份债券一次 偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格
应定为多少元？


16

练习与测试题参考答案
一、 填空题
1、
e
?2
2、
e
3、
e
?
1
2
4、
e
?2

4
1
5、
e
3
6、
e
2
7、
e
3
8、
e
2

二、 计算题
1、解
lim(
3+x
1
)
x
+2
=l im(1+
x
1
)
x
+2
=lim(1+
x
1
)
x
x
333
(1+
3
)
2
x?x?x?
=lim[(1+
x
3
1
x?
3
)< br>x
]
3
lim
x
x?
(1+
3
)< br>2
3
1

=[lim(1+
x
)
x
]
3
[lim(1+
x
)]
2
x?
3
x?
3
1
=e
3
? 1
2
=
3
e
2、解
lim
n??
n[ln(n?2)?lnn]

?lim
2
n
n??
2ln(1?
n
)
2

?2lne?2
.
3、解
x
2

lim(1?
2
x
)
2
?1

u??
x
lim(1
?
1
?1
u?0
? u)
u
x??

?
1
1

lim[(1
u
u?0
?u)(1?u)]

17

?
1
e


4、解
lim(
x
2
x
x
2
?1
)

x??
?lim
1
x??
?
1

(1?< br>1
x
1
x
1
x
x
2
)lim[(1
x??
?
x
)(1?
x
)]
lim(1?
1
)
?x

?
x??
x
?
e
e< br>?1
lim(1
x??
?
1
x
)
x
.
三、 应用题
解：
设
A
0
为发行时每份债券的价格,年利率为
r?6.5%
,
k?10
年后每份债券一次偿还本息
A
k
?1000
元,
若以连续复利计算利息,则
A
k
?A
0
e
kr,
即
1000?A
10?0.065
0
e
,
得
A
0.065
0
?1000e
?10?
?5 52.05
(元).



18