专题椭圆的切线方程

专题：椭圆的切线方程
“椭圆的切线方程”教学设计
马鞍山二中 刘向兵
一、教学目标
知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；

2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。

过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。

情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的
学习精神。

二、教学重点与难点
教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。

教学难点：椭圆的切线方程的探究。

三、教学流程设计
(一）创设情境
复习：怎样定义直线与圆相切？

设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆 相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，
都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析 法中联立方程组，消元，一
元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二）探究新知
基础铺垫：
x
2
y
2
??1
与直线
l
只有一个公共点 问题1、已知椭圆
C:
82
（1）请你写出一条直线
l
的方程； < br>（2）若已知直线
l
的斜率为
k??1
，求直线
l
的 方程；
O
（3）若已知切点
P(2,1)
,求直线
l
的方程； < br>（4）若已知切点
P(3,
5
)
,求直线
l
的方程。
2
设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如
x??22,y?? 2
。先由
特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。
1 10

专题：椭圆的切线方程
（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。 利用斜截式设直线，联立方程组，消
元，得到一元二次方程，判别式
??0
。切线斜率 确定，切线不确定。
（3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元， 得到一元
二次方程，判别式
??0
。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确 定。可总结由
（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元 二
次方程，判别式
??0
。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点， 运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切
点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化： < br>x
2
y
2
猜想：椭圆
C:
2
?
2< br>?1
与直线
l
相切于点
P(x
0
,y
0)
，则切线
l
的方程？
ab
（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）
设计意图：类比
经过圆 上一点P(x
0
，y
0
)的切线的方程为
x
0
x? y
0
y?r
2
进行猜想，培养
学生合情推理的能力。由于具体的求解 过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花
费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解 决。



探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？























2 10

专题：椭圆的切线方程













例：已知圆的方程是x
2
+ y
2
= r
2
，求经过圆上一点P(x
0
，y
0
)的切线的方程。
y
P
O
x

经过圆上一点P(x
0
，y< br>0
)的切线的方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
，且直线OP垂直于切线，
所以，
k
op
?k
切线
=-1
，

1.点与圆
设点
P(x
0
，y
0
)
，圆
(x?a)?(y?b)?r
则
222
点在圆 内
(x
0
?a)?(y
0
?b)?r
，
222
点在圆上
(x
0
?a)?(y
0
?b)?r
，
222点在圆外
(x
0
?a)?(y
0
?b)?r

222
由圆
C
方程及直线
l
的方程，消去一个未知数，得一元二次方 程，设一元二次方程的根的判
别式为Δ，则
l
与圆
C
相交
???0
，
l
与圆
C
相切
???0
，
l
与圆
C
相离
???0


类比到圆中：
3 10

专题：椭圆的切线方程
已知圆
C:x?y?r
与直线
l
相切于点
P(x
0
,y
0
)，且点
P(x
0
,y
0
)
在第一象限，若直线
l
与
222
x
轴、
y
轴分别交于点
B、A
.

y
A
P
B
O
x

2
结论（1）过点P的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
；
（2）
QOP?AB?
k
OP
?k
AB
??1；（
可以用极限的思想理解，当椭圆中的
a?b

时，椭圆
?
圆，所以
k
OP
?k
AB

b
2
??
2
??1
）
a
2
r< br>2
（3）过点P的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r< br>与
x
轴、
y
轴分别交于点
B、A
,
A(0, )
，
y
0
x
0
x
b
2
x
0
r
2
所以
k
AB
??
；（椭圆中
kAB
??
2
也可理解为
a
趋于
b
时，
k
AB
趋于
?
0
）
B(,0)
，
yy
x
0
ay
0
0
0
（4）
|AB|? |AP|?|BP|?2|AP|?|BP|?2|OP|?2r
，当且仅当
|AP|?|BP |?r
时，
取“=”


由2014年浙江高考题最后一道题
2
x
2
y
2
[2014·浙江卷] 如图，设椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
，动直线
l
与椭圆
C
只有一个公共点
ab
P，且点P在第一象限.
（1）已知直线
l
的斜率为
k
，用a，b，k表示点P的坐标； < br>（2）若过原点O的直线l
1
与l垂直，证明：点P到直线l
1
的距离 的最大值为a－b.

4 10

专题：椭圆的切线方程

x
2
y
2
如图，设椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
，动直线
l
与椭圆
C
只有 一个公共点P，且点P在
ab
第一象限.
（1）已知直线
l
的斜率为
k
，用a，b，k表示点P的坐标；

y
P
x
O

y＝kx＋m，
?
?
(1)解：设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由
?
x
2
y
2

＋＝1，
?
?
a
2
b
2< br>联立消去y得(b
2
＋a
2
k
2
)x
2＋2a
2
kmx＋a
2
m
2
－a
2
b
2
＝0.
由于l与C只有一个公共点，所以
??4akm?4a(m?b) (b?ak)?0
，化简
a
2
kmb
2
m
?
2222
?
得
m?ak?b
(*)，解得点P的坐标为
－
b
2
＋a
2
k
2
，
b
2
＋a2
k
2
.
??
又点P在第一象限，故
m?a
2
k
2
?b
2
,
所以点P的坐标为
P(?
422222222
a
2
k
222
ak?bak?b
（2 ）设点
P(x
0
,y
0
)
，且点
P(x
0
,y
0
)
在第一象限，用点P的坐标
x
0
,y0
表示椭圆的切线
方程；
(2)解：
P(x
0
,y< br>0
)
，则由（1）知
x
0
??
,
b
2
222
)
.
a
2
k
ak?b
222< br>ak?b
x
0
b
2
x
0
a
2
k
则可设过点P切线
l
的方程为
y?y
0
?k(x?x< br>0
)
消参得
??
2
?k??
2
代
y
0
bay
0
5 10
,y
0
?
b
2
222
，

专题：椭圆的切线方程
b
2
x
0
入
y?y
0
?k(x?x
0
)
得
y?y
0
??
2
(x?x
0
)

ay
0
22222 222
化为整式
ay
0
y?bx
0
x?ay
0?bx
0
?ab
（因为点P在椭圆上，所以
x
0
2y
0
2
?
2
?1?a
2
y
0
2
?b
2
x
0
2
?a
2
b
2），
2
ab
xxyy
22
两边同除以
ab
得 椭圆的切线方程
0
2
?
0
2
?1
，与圆的切线方程 做类比，形式相仿。
ab
xxyy
所以，过切点
P(x
0
, y
0
)
的椭圆的切线方程
0
2
?
0
2?1
.
ab
(3)连接OP，切线
l
的斜率为
k切线
，直线
OP
的斜率为
k
OP
,求证
kop
?k
切线
=
定值；



x0
b
2
x
0
a
2
k
(3)由（2）中 所得的
??
2
?k??
2

y
0
bay< br>0
y
0
y
0
?0
b
2
??k
OP
，所以
k
OP
?k
AB
??
2
=定 值 又因为
x
0
x
0
?0
a
（与圆的
k< br>op
?k
切线
=-1
做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的a?b
时，
椭圆加强为了圆，所以
k
OP
?k
ABb
2
??
2
??1
）
a
x
2
y
2
问题2、已知椭圆
C:
2
?
2
?1
与直线
l
相切于点
P(x
0
,y
0
)
，且 点
P(x
0
,y
0
)
在第一象限，
ab
若 直线
l
与
x
轴、
y
轴分别交于点
B、A
， 求线段
|AB|
的最小值。
6 10

专题：椭圆的切线方程
y
A
P
O
B
x

直线
AB
的方程设为
y?kx?m,A(0,m),B(?
2
m
,0)
，则 根据两点间的距离公式可得
k
m
2
|AB|?
2
?m
2
，又因为前面根据直线和椭圆相切已求出
m
2
?a
2
k
2
?b
2
(*)，代入可得
k
m
2
b< br>2
b
2
222222222
|AB|?
2
?m?ak ?b?a?
2
?a?b?(ak?
2
)?a
2
?b
2
?2ab?(a?b)
2
kkk
2
b
2
b
2
b
42
，线段
|AB|
的最小值为
a?b
.当 且仅当
ak?
2
?k?
2
?k?
时，取到“=”.
kaa
22
下面再继续讨论“=”取到时的条件。
由前面已证过的
k
OP
?k
AB
b
2
y
0
2
b
3
2
??
2
知，此时
k
OP
?
2
?
3
?b
3
x
0
2
?a
3
y
0
2

a
x
0
a
x
0
2
2
a
3
b
3
y
0
2
b
3
23222
2
?a(1?
2
)b?bx
0
?a?ax0
?x
0
?,
代入
k
OP
?
2
?
3
得
y
0
?
，
aa?ba?b
x0
a
3
222
22222
所以可得到，
|PA|?x< br>0
?(y
0
?m)
?x
0
?(kx
0
)?(1?k)x
0
?(1?)x
0
，代入
b
a
a
3
a?ba
3
2
x
0
?,
得
| PA|
???a
2
.
?|PA|?a,|PB|?b

a? baa?b
2
x
2
y
2
问题3、已知椭圆
C:2
?
2
?1
与直线
l
相切于点
P(x
0
,y
0
)
，且点
P(x
0
,y
0
)
在第一象限，
ab
若直线
l
与
x
轴、
y
轴分别交于点
B、A
.若过原点O的直线l
1
与l垂直交与点D， 证明：
|PD|?|AB|?
定值.
7 10

专题：椭圆的切线方程
y
A
D
P
x
B
O
证明：由于过点P的切线
l
方程为
x
0
xy
0
y
直线
l
与
x
轴、
?
2
?1
，
y
轴分别交于点
B、A
，
2
ab

b
2
a
2
所以
A(0,),B(,0)
，则
|AB|?
y
0
x
0
距离
a
4
b
4
?

x
0
2
y
0
2
面已证过
由于直线l
1
过原点O且与l垂直，故直线l
1
的方程为x＋ky＝ 0，所以点P到直线l
1
的
k?1
b
2
x
0
|?
2
?x
0
|
|ky
0
?x
0
||a
2
x
0
y
0
?b
2
x
0
y
0
|
|a
2
?b
2
|
a
|PD|????
2424242
k?1bx
0
ay
0
? bx
0
a
4
b
4
?
?1
x
02
y
0
2
a
4
y
0
2
|PD |?
|ky
0
?x
0
|
2
，前
b
2
x
0
k??
2
ay
0
，代入得
?|PD |?|AB|?|a
2
?b
2
|?a
2
?b
2?c
2
=定值（c为椭圆的半焦距）

x
2
y
2
问题4、如图，设椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
，动直线
l
与椭圆
C
只有一个公共点P，且
ab
点 P在第一象限.若过原点O的直线
l
1
与
l
垂直，证明：点P到直线
l
1
的距离的最大值为
a?b
.

y
l
1
D
P
x
l
O
证明：方法一、
由于直线 l
1
过原点O且与l垂直，故直线l
1
的方程为x＋ky＝0，所以点P到直 线l
1
的
?
－a
2
k
＋
b
2k
?
?
222
?
b
2
＋a
2
k
2
??
b＋ak
距离d＝，
1＋k
2
8 10

专题：椭圆的切线方程
a
2
－b
2
整理得d＝
2
.
b
b
2
＋a
2
＋a
2
k
2
＋
2k
b
2
因为ak＋
2
≥2ab，所以
k
22< br>a
2
－b
2
b
2
2222
b＋a＋ak＋< br>2
k
≤＝a－b，
b
2
＋a
2
＋2ab< br>a
2
－b
2
b
当且仅当k
2
＝时等号成立．
a
所以，点P到直线l
1
的距离的最大值为a－b.


方法二、由前面证过的问题2与问题3的结论，线段
|AB|
的最小值为
a? b
，
?|PD|?|AB|?|a
2
?b
2
|?a
2
?b
2
=定值，可得点P到直线l
1
的距离
|PD|的最大值为a－b.
y
A
D
P
x
B
O


y
A
P
x
B
O













9 10

专题：椭圆的切线方程





10 10