高中数学数列通项公式的常用求法

高中数学数列通项公式的常用求法
数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． < br>例1．等差数列
?
a
n
?
是递增数列，前n项和为
S
n
，且
a
1
,a
3
,a
9
成等比 数列，
S
5
?a
5
2
．求数列
?
a
n
?
的通项公式.
?
a
n
?
的通项
a
n
可用公式
a
n
?
?
?
S
1????????????????n?1
求解。
?
S
n
?S
n?1
???????n?2
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法 求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法
若已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系，求数列
例2．已知数列< br>?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
?2a
n
?(?1)
n
,n?1
．求数列
?
a
n
?
的通项公式。
?
S
n
????????????????n?1
点评：利用公式
a
n
?< br>?
求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．
S?S???????n?2
n?1
?
n
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时 也用到一些特殊的转化方法与特
殊数列。
类型1 递推公式为
a
n?1
已知数列
?a
n
?f(n)
解法：把原递推公式转化为
a
n?1
?a
n
?f(n)
，利 用累加法(逐差相加法)求解。
?
a
n
?
中,
a
1
?1,且a
2k
?a
2k?1
?(?1)
k
,a
2k?1
?a
2k
?3
k
,其中
k?1,2,3,
……，求数列
?
a
n
?
的通项公式。（高考题）
?
a
n
?
满足
a
1
?
1
，
a
n?1
?a
n
?
2
1
，求
a
n
。
n
2
?n
a
n?1
?f(n)
，利 用累乘法(逐商相乘法)求解。
a
n
n?1
?
1


a
n
?
?
n?2
?
___
例3. 已知数列
类型2 （1）递推公式为
a
n?1
?f(n)a
n
解法：把原递推公式 转化为
已知数列{a
n
}，满足a
1
=1，a
n
= a
1
+2a
2
+3a
3
+…+(n－1)a
n－
1
(n≥2)，则{a
n
}的通项（高考题）
例4. 已 知数列
（2）．由
a
n?1
?
a
n
?
满足
a
1
?
2
，
a
n?1
?
3
n
a
n
，求
a
n
。
n?1
?f(n) a
n
和
a
1
确定的递推数列
?
a
n
?
的通项可如下求得：
?f(n?1)a
n?1
，
a
n?1
?f(n?2)a
n?2
，
???
，
a
2< br>?f(1)a
1
依次向前代入，得
n?10
k?1k?1
由 已知递推式有
a
n
a
n
?f(n?1)f(n?2)???f(1) a
1
，简记为
a
n
?(?f(k))a
1

(n?1,?f(k)?1)
，这就是叠（迭）代法的基本模式。
（3）递推式：< br>a
n?1
例5．设数列
?pa
n
?f
?
n< br>?
解法：只需构造数列
?
b
n
?
，消去f
?
n
?
带来的差异．
?3a
n?1
?2n?1,(n?2)
，求
a
n
.
为
?
a
n
?
：
a
1
?4,an
说明：（1）若
f(n)
n
的二次式，则可设
（
b< br>n
?a
n
?An
2
?Bn?C
;(2)本题也可由< br>转化为
a
n
?3a
n?1
?2n?1
b
n< br>?pb
n?1
?q
求之.
例6．已知
a
1
,
a
n?1
?3a
n?2
?2(n?1)?1
n?3
）两式相减得
a
n
?a
n?1
?3(a
n?1
? a
n?2
)?2
?3
，
a
n?1
?
3n? 1
a
n

(n?1)
，求
a
n
。
3n?2
1 6

高中数学数列通项公式的常用求法
类型3 递推公式为
a
n?1
?pa
n
?q
（其中 p，q均为常数，
(pq(p?1)?0)
）。
?t?p(a
n
? t)
，其中
t?
解法：把原递推公式转化为：
a
n?1
q< br>，再利用换元法转化为等比数列求解。
1?p
在数列
?
a
n
?
中，若
a
1
?1,a
n?1
?2a
n< br>?3(n?1)
，则该数列的通项
a
n
?
（高考题）
例7. 已知数列
?
a
n
?中，
a
1
?1
，
a
n?1
?2a
n< br>?3
，求
a
n
.
?pa
n
?q
n
（其中p，q均为常数，
(pq(p?1)(q?1)
n
。 （或a
n?1
?pa
n
?rq
,其中
?0)
）类型 4 递推公式为
a
n?1
均为常数）
设数列
p，q, r
?
a
n
?
的前
n
项的和
S
n
?
412
a
n
??2
n?1
?
，
n?1,2 ,3,
333
求首项
a
1
与通项
a
n
；（高考题）
n?1
解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以
q
，得：< br>a
n?1
p
a
n
1
???

qn?1
q
q
n
q
引入辅助数列
?
b
n
?
（其中
b
n
?
a
n
n
q
），得：
b
n?1
?
p1
b
n
?
再应用 类型3的方法解决。
qq
例8. 已知数列
?
a
n
?中，
a
1
?
5
,
a
n?1
?
1
a
n
?(
1
)
n?1
，求
a
n
。
632
?pa
n?1
?qa
n
（其中p，q均为常数）。 类型5 递推公式为
a
n?2
解法：先把原递推公式转化为
a
n?2
?
s?t?p
?sa
n?1
?t(a
n?1
?sa
n
)
其中s，t满足
?
，再应用前面类型3的方法求解。
st??q
?
已知数列（高考题）
?
a
n
?< br>满足
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?1(n ?N
*
).
求数列
?
a
n
?
的通项公式；
例9. 已知数列
?
a
n
?
中，
a
1?1
,
a
2
?2
,
a
n?2
?
2
a
n?1
?
1
a
n
，求
a
n
。
33
类型6 递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。(或
S
n
?
S????????????????(n? 1)
?f(a
n
)
) 解法：利用
a
n
?
?
1
进行求解。
?
S
n
?S
n?1
???????(n?2)
已知正项数列{a
n
}，其前n项和S
n
满足10S
n
=a
n
2+5a
n
+6且a
1
,a
3
,a
15
成等比数列，求数列{a
n
}的通项a
n
（高考题）
例10. 已知数列
?
a
n
?
前n项和
S
n
?4?a
n
?
1
2
n?2
.（1）求
a
n?1
与
a
n
的关系；（2）求通项公式
a
n.
类型7 双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例11. 已知数 列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
；数列
?
b
n
?
中，
b
1
?0
。当n?2
时，
a
n
?
1
(2a
n?1
? b
n?1
)
,
b
n
?
1
(a
n? 1
?2b
n?1
)
，求
a
n
,
b
n
.
33
四、待定系数法（构造法）
求数列通项公式方法灵活多样，特别 是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成
特殊 数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式 中的常数就是一种
重要的转化方法。
1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a
n< br>+k}的形式求解。一般地，形如a
n?1
=p a
n
+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法
2 6

高中数学数列通项公式的常用求法
对常数q分解法：设a
n?1+k=p（a
n
+k）与原式比较系数可得pk
－
k=q，即k=
q
，从而得等比数列{a
n
+k}。
p?1
例12、数列{a< br>n
}满足a
1
=1，a
n
=
1
a
n ?1
+1（n≥2），求数列{a
n
}的通项公式。
2
说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a
n
－2}，从而达到 解决问题的目的。
例13、数列{a
n
}满足a
1
=1，
3 a
n?1
例14．已知数列
?a
n
?7?0
,求数列{a< br>n
}的通项公式。
qq
?p(a
n
?)
p?11? p
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，且< br>a
n?1
?3a
n
?2
，求
a
n
．
?pa
n
?q
（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新 数列
a
n?1
?
求
a
n
．
点评：求递推 式形如
a
n?1
来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很 多的一种题型．
例15．已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n
?3
n
?2a
n ?1

(n?2)
，
点评：递推式为
a
n?1
a< br>n?1
q
n?1
?pa
n
?q
n?1
（p、 q为常数）时，可同除
q
n?1
，得
a
n
p
a< br>??
n
?1b?
，令从而化归为
a
n?1
?pan
?q
（p、q为常数）型．
n
nn
q
qq
2、通过分解系数，可转化为特殊数列
{a
n
解，可得等比数列
{a
n
已知数列

?a
n?1
}
的形式求解。这种方法适用于< br>a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
型的递推式，通过对 系数p的分
?a
n?1
}
：设
a
n?2
?kan?1
?h(a
n?1
?ka
n
)
，比较系数得
h?k?p,?hk?q
，可解得
h,k
。
?
a
n?
满足
a
1
?1,a
2
?3,a
n?2
?3a
n?1
?2a
n
(n?N
*
).

（II）求数列
?
a
n
?
的通项公式；（高考题）
?
a
n?1
?a
n
?
是等比数列；（I）证明：数列例16、数列
?
a
n
?
满足
a
1
?2 ,a
2
?5,a
n?2
?3a
n?1
?2a
n=0，求数列{a
n
}的通项公式。
?3a
n?1
?2an
?0
中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项
a
n? 1
的系数分解成1和2，适当组合，
?a
n?1
}
。
分析 ：递推式
a
n?2
可发现一个等比数列
{a
n
例17、数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
2< br>?2,3a
n?2
?2a
n?1
?a
n
，求数列?
a
n
?
的通项公式。
111
??,h?1
，则有
a
n?2
?a
n?1
?a
n?1
?a
n
即得
333
1
11117
{a
n?1
?a< br>n
}
为常数列,
a
n?1
?a
n

?a
n
?a
n?1
???a
2
?a
1
?2 ??
故可转化为例13。
33333
3
21
例18．已知数列?
a
n
?
满足
a
1
?1
,
a
2
?2
,
a
n?2
?a
n?1
?a
n
求
a
n
．
33
点评：递推式为
a
n ?2
?pa
n?1
?qa
n
（p、q为常数）时，可以设
a
n?2
?sa
n?1
?t(a
n?1
?sa
n)
，其待定常数s、t由
s?t?p
,
st??q
说明：若本题 中取
k
求出，从而化归为上述已知题型．
五、特征根法
1、设已知数列< br>{a
n
}
的项满足
a
1
?b,a
n?1?ca
n
?d
,其中
c?0,c?1,
求这个数列的通项公式。 作出一个方程
x?cx?d,
则当
n?1
x
0
?a
1
时，
a
n
为常数列，即
a
n
?a
1;当x
0
?a
1
时,a
n
?b
n
?x
0
，其中
{b
n
}
是以
c
为公比的等比数 列，即
b
n
?b
1
c,b
1
?a
1
?x
0
.
3 6

高中数学数列通项公式的常用求法
例19．已知数列
{a
n
}
满足：
a
n?1
2、对于由递推公式
a
n?2
1
??a
n
?2,n?N, a
1
?4,
求
a
n
.

3
?pa
n?1
?qa
n
，
a
1
?
?
,a
2
?
?
给出的数列
?
a
n
?
，方 程
x
2
?px?q?0
，叫做数列
?
a
n
?
的特征方程。
n?1
?x
2
时，数列
?
a
n
?
的通项为
a
n
?Ax
1
n?1
?B x
2
，其中A，B由
a
1
?
?
,a
2?
?
决定（即把若
x
1
,x
2
是特征方程的两 个根，当
x
1
n?1
a
1
,a
2
,x1
,x
2
和
n?1,2
，代入
a
n
? Ax
1
n?1
?Bx
2
，得到关于A、B的方程组）；当
x
1
?x
2
时，数列
?
a
n
?
的通 项为
a
n
?(A?Bn)x
1
n?1
，其中A，B由
a
1
?
?
,a
2
?
?
决定（即把
a
1
,a
2
,x
1
,x
2
和
n ?1,2
，代入
a
n
?(A?Bn)x
1
n?1
， 得到关于A、
B的方程组）。
例20：已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?a,a
2
?b,3a
n?2
? 5a
n?1
?2a
n
?0(n?0,n?N)
，求数列
?< br>a
n
?
的通项公式。
3、如果数列
{a
n
}
满足下列条件：已知
a
1
的值且对于
n?N
，都有
a
n?1
?
pa
n
?q
ra
n
?h（其中p
、
q
、
r
、
h均为常数，且
ph?q r,r?0,a
1
??
hpx?q
），那么，可作特征方程
x?rrx?h
,当特征方程有且仅有一根
x
0
时,则
?
?
1
?
?
是等差数列;当特征方程
?
a
n
? x
0
?
?
a
n
?x
1
?
有两个相 异的根
?
1
、
?
2
时，则
??
是等比数列 。
a?x
?
n2
?
数列
{a
n
}满足a
1
?1且8a
n?1
a
n
?16a
n?1
?2a
n
?5?0(n?1).
求数列
{a
n
}
的 通项公式.（高考题）
例21、已知数列
{a
n
}
满足性质：对 于
n?N,a
n?1
?
a
n
?4
,
且a
1
?3,
求
{a
n
}
的通项公式.
2a
n
?3
13a
n
?25
.

a
n
?3
例22．已知数列
{a
n
}
满足：对于< br>n?N,
都有
a
n?1
?
（1）若
a
1?5,
求
a
n
;
（2）若
a
1
?3,
求
a
n
;
（3）若
a
1
?6,
求
a
n
;
（4）当
a
1
取哪些值时，无穷数列
{a
n
}
不存在？
?
ma
n?1
11111k 1
?k(?)??k??
令
b
n
?
递推式，考虑函数倒数关 系有
k(a
n?1
?b)a
n
a
n?1
ma
n
a
n
a
n?1
m
则说明：形如:
a
n
?
b
n
?
可归为
a
n?1
?pa
n
?q
型。(取倒数法)
例23：
a
n
?
an?1
,a
1
?1

3?a
n?1
?1
六、构造法： 构造法就是在解决某些数学问题的过程中， 通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数
量关系，某个直观图形，或 者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数< br>列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 1、构造等差数列或等比数列：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造 等差数列或等比数列，无疑
是一种行之有效的构造方法.
例24： 设各项均为正数的数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，对于任意正 整数n，都有等式：
a
n
2
?2a
n
?4S
n成立，求
?
a
n
?
的通项an.
4 6

高中数学数列通项公式的常用求法
2
解：
a
n?2a
n
?4S
n
?
a
n?1
?2a
n?1
?4S
n?1
，
22
∴
a
n
? a
n?1
?2a
n
?2a
n?1
?4(S
n
?S
n?1
)?4a
n

2
(a
n
?a
n?1
)(a
n
?a
n?1
?2)?0
，∵
a
n
?a
n?1
?0
，∴
a
n
?an?1
?2
. 即
?
a
n
?
是以2为公差的等 差数列，且
a
1
2
?2a
1
?4a
1
?a
1
?2
.
∴
a
n
?2?2(n?1)?2n


例25： 数列
?
a
n
?
中前n项的和
S
n
?2n? a
n
，求数列的通项公式
a
n
.
∵解：
a
1
?S
1
?2?a
1
?a
1
?1
当n≥ 2时，
11
a
n
?S
n
?S
n?1
?2n ?a
n
?
?
2(n?1)?a
n?1
?
??an
?2?a
n?1
?a
n
?a
n?1
?1?a
n
?2?(a
n?1
?2)

22
1
令< br>b
n
?a
n
?2
，则
b
n
?bn?1
，且
b
1
?1?2??1

2
?
b
n
?
是以
1
为公比的等比数列，
b
n
??1?(
1
)
n?1
??(
1
)
n?1

222
1
n?1
∴
a
n
?2?()
.
2

2、构造差式与和式：解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后 采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例26： 设
?
a
n
?
是首项为1的正项数列，且
a
n
2
?a
n
2< br>?1
?na
n
?na
n?1
?0
，（n∈N*），求 数列的通项公式an.
解：由题设得
(a
n
?a
n?1
) (a
n
?a
n?1
?n)?0
.
∵
a
n
?0
，
a
n?1
?0
，∴
a
n
? a
n?1
?0
.
∴
a
n
?a
n?1
?n

a
n< br>?a
1
?(a
2
?a
1
)?(a
3
?a
2
)?
?
(a
n
?a
n?1
)?1? 2?3?
?
?n?
a
n?2
?(n?3)a
n?1
?(n?2)a
n
，（n∈N*），求通项公式
a
n
.
解 ：
?
a
n?2
?a
n?1
?
(n?2)(a
n?1
?a
n
)?(n?2)(n?1)(a
n
?a
n? 1
)

n(n?1)
例27： 数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
2
?3
，且
2???(n?2)(n?1)
?4?3(a
2
?a
1
)?(n? 2)!

∴
a
n
?
a
1
?
(a< br>2
?
a
1
)
?
(a
3
?
a
2
)
???
(a
n
?
a
n?1
)
?
1
?
2!
?
3!
??
n!
（n ∈N*）

例27： 数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
2
?3
，且
a
n?2
?(n ?3)a
n?1
?(n?2)a
n
，（n∈N*），求通项公式
a< br>n
.
?
a
n
?
中，
a
1
?
1
，前n项的和
S
n
?n
2
a
n
，求
a
n?1
.
2
2
3、构造商式与积式：构造数列相 邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例28： 数列
222
解：
a
n
?S
n
?S
n?1
?na
n< br>?(n?1)a
n?1
?(n?1)a
n
?(n?1)a
n? 1

a
n
n?1
?
，
a
n?1
n?1
aa
a
n?1n?2111
?
?
??
∴a
n
?
n
?
n?1
?
2
?a
1
?

a
n?1
a
n?2
a
1
n ?1n32n(n?1)
1
∴
a
n?1
?

(n?1)(n?2)

?

4、构造对数式或倒数式：有些 数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例29： 设正项数 列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，a
n
?2a
n
2
?1
（n≥2）.求数列
?< br>a
n
?
的通项公式.
aaaa
解：两边取对数得：
log
2
n
?1?2log
2
n?1
，
log2
n
?1?2(log
2
n?1
?1)
，设
b
n
?log
2
n
?1
，
则
b
n
?2b
n?1

5 6
a

高中数学数列通项公式的常用求法
?
b
n
?
是以2为公比的等比数列，
b
1
?log
1
2
?1?1
.
a
n
n?1n?1
n
b
n
? 1?2
n?1
?2
n?1
，
log
a
?1?2lo g?2?1
， ，
22
∴
a
n
?2
2

n?1
?1

例30： 已知数列
3a
n?1
?1
4a
n?1
?4
113
??
. 解：∵
a
n
?1?
，两边取倒数得
3a
n?1
?1a
n
?1 a
n?1
?14
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，n≥2时
a
n
?
7a
n?1
?3
，求通项公式.
可化为等差数列关系式.

1133n?1
a
??(n?1)?

n
?1a
1
?144
∴
a
3n?5
n
?
3n?1


6 6