高中数学数列通项公式的求法

?
1
?
1
这样数 列
?
，公差为
c
的等差数列，于是这样可求得
a
n
．
?
是首项为
a?
?
a?
?
n
?
n
?
此方法又称不动点法．

例15．已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2,a
n
?
a
n? 1
?2
(n?2)
，求数列
{a
n
}
的通项
a
n
．
2a
n?1
?1
解：其特征方程为
x?
a?1a?1
x?2
?c?
n
，化简得
2x
2?2?0
，解得
x
1
?1,x
2
??1
，令< br>n?1

a?1a?1
2x?1
n?1n
由
a
1
?2,
得
a
2
?
41
，可得
c ??
，
53
n?1
?
a?1
?
a
n?1
1
?
1
?
a
1
?1
1
1
?
数列
?
n
?
???
?
?
?是以为首项，以为公比的等比数列，
?
?
a?13
a?1
3a?13
?
3
?
1
n
?
n
?
3
n
?(?1)
n
?a
n
?
n
．
n
3?(?1)

例16．已知数列
{a
n
}满足
a
1
?2,a
n?1
?
，
2a
n
?1
(n?N
*
)
，求数列
{a
n
}的通项
a
n
．
4a
n
?6
11
2x ?11
，即
4x
2
?4x?1?0
，解得
x
1?x
2
??
，令
??c

11
4x?62a
n?1
?a
n
?
22
3
由
a
1
?2,
得
a
2
?
，求得
c?1
，
14
??
?
1
?
12123
?
数列< br>?
是以
?
为首项，以
1
为公差的等差数列，
???( n?1)?1?n?
，
?
1
5
1
55
?
a
n
?
1
?
a
1
?a
n
?
?2?
22
13?5n
．
?a
n
?
10n?6
解：其特征方程为
x?

强化训练

1. 设数列{a
n
}的前项的和S
n
=
1
?
（a
n
-1） (n
?N
)．
3
(Ⅰ)求a
1
；a
2
；




(Ⅱ)求证数列{a
n
}为等比数列．





2 已知数列{a
n
}的前n项和S
n
满足 ：S
n
=2a
n
+(-1)
n
,n≥1．
（Ⅰ ）写出求数列{a
n
}的前3项a
1
,a
2
,a
3
；
（Ⅱ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的整数m>4，有


3. 已知二次函数
y? f(x)
的图像经过坐标原点，其导函数为
f(x)?6x?2
，数列
{a< br>n
}
的前n项和为
S
n
，
?
点
(n ,S
n
)(n?N)
均在函数
y?f(x)
的图像上．
1 1
??
a
4
a
5
?
17
?
. < br>a
m
8
'
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的 通项公式；
（Ⅱ）设
b
n
?
1
m
，
T< br>n
是数列
{b
n
}
的前n项和，求使得
T
n
?
对所有
n?N
?
都成立的最小正整数m．
a
n
a
n?1
20




4. 若数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?2,a
n
?
2(2n?1)
a
n?1
,(n?2)．
n
n
求证：①
a
n
?C
2n
； ②
a
n
是偶数 ．
求
a
3
,a
5
；
kk
5. 已知数列< br>{a
n
}中a
1
?1
，且
a
2k
? a
2k?1
?(?1)
,
a
2k?1
?a
2k
?3
其中k=1,2,3,…….
（I）
（II）求{
a
n
}的通项公式.

6. 设
a
a
n ?1
，（
n?N
*
0
是常数，且
n
??2a
n?1
?3
）．
证明：
a
n
?(?2)
n?1
a
3
n
?(?1)
n?1
?2
n
0
?
5
．



7. 已知数列
?
a< br>n
n
?
的前n项和S
n
满足
S
n
? 2a
n
?(?1),n?1．

(Ⅰ)写出数列
?
a
n
?
的前3项
a
1
,a
2
,a
3
;

(Ⅱ)求数列
?
a
n
?
的通项公式．




8. 已知数列
{a
n
}
满足
an?1
?2a
n
?3?2
n
，
a
1
? 2
，求数列
{a
n
}
的通项公式。



9. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
? a
n
?2n?1，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。



10. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2?3
n?1，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式 。




11. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?3a
n
?2?3
n
?1， a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。




12. 已知数列
{a
n
}满足
a
n?1
?2(n?1)5
n
?a
n
，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。



13. 已知数列
{a
n
}
满足
a< br>1
?1，a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3
???(n?1)?(n?1)a
n?1
(n?2)
，

则
{a
n
}
的通项

?
1，n?1
?
a
n
?
?n!

，n?2
?
?
2
14. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3?5
n
，a
1
?6
，求数列
{a
n
}
的通项公式。





15. 已知数列
{a
n
}满足
a
n?1
?3a
n
?5?2
n
?4，a< br>1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。





16. 已知数列
{a
n
}满足
a
n?1
?2a
n
?3?n
2
?4n?5 ，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。





17. 已知数列
{a
n}
满足
a
n?1
?2?3
n
a
5
n< br>，
a
1
?7
，求数列
{a
n
}
的通 项公式。






(n?1)2
， a
1
?5
，求数列
{a
n
}
的通项公式。 18. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
3< br>n
n





19. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?



8(n?1)
8
，a?
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
1
22
9
(2n?1)(2n?3)

20. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?







21. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?





22. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?








答案：
1. 解: (Ⅰ)由
S
1
?
1
(1?4a
n
?1?24 a
n
)，a
1
?1
，求数列
{a
n
}的通项公式。
16
21a
n
?24
，a
1
? 4
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
4a
n
?1
7a
n
?2
，a
1
?2
，求数列
{ a
n
}
的通项公式。
2a
n
?3
1111
1
(a
1
?1)
,得
a
1
?(a
1?1)
∴
a
1
?
?
又
S
2
?(a
2
?1)
,即
a
1
?a
2
?(a
2
?1)
,得
3333
2
a
2
?
1
.
4
11
(a
n
?1)?(a
n?1
?1),

33
(Ⅱ)当n>1时,
a
n
?Sn
?S
n?1
?
得

a
n
1
11
??,
所以
?
a
n
?
是首项
?
,公比为
?
的等比数列．
a
n?1
2
22
2. 解：⑴当n=1时,有：S
1
=a
1
=2a
1
+(-1)
?
a
1
=1；
当n=2时,有：S
2
=a
1
+a< br>2
=2a
2
+(-1)
2
?
a
2
= 0；
当n=3时,有：S
3
=a
1
+a
2
+a< br>3
=2a
3
+(-1)
3
?
a
3
= 2；

综上可知a
1
=1,a
2
=0,a
3
=2； nn?1
⑵由已知得：
a
n
?S
n
?S
n?1
?2a
n
?(?1)?2a
n?1
?(?1)

n ?1
化简得：
a
n
?2a
n?1
?2(?1)
< br>22
(?1)
n
?2[a
n?1
?(?1)
n?1< br>]

33
22
n1
故数列{
a
n
? (?1)
}是以
a
1
?(?1)
为首项, 公比为2的等比数列.
33
21
n?1
1
n?1
22
n
故
a
n
?(?1)?2
∴
a
n
?2?(?1)n
?[2
n?2
?(?1)
n
]

33333
2
n?2n
数列{
a
n
}的通项公式为：
a
n
?[2?(?1)]
.
3
上式可化为：
a
n
?
⑶由已知得：
11
??
a
4
a
5
?1311
?[
2
?
3
?
a
m
22?1 2?1
?
1
]

m?2m
2?(?1)
31111 1
?[?????
239153363
?
1
]

2
m?2
?(?1)
m
11111
?[1?????]

2351121
11111
?[1?????]

2351020< br>11
(1?
m?5
)
14221
14
2
]< br>
?[?
5
]
?[??
m?5
1
23552
23
1?
2
57
??()
m?5
????
.
08
故
11
??
a
4
a
5
?
17
?
( m>4).
a
m
8

3. 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax
2
+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x
2
－2x.
?
又因为点
(n,S
n
)(n?N)
均在函数
y?f(x)
的图像上，所以
S
n
＝3n
2
－
2n.
3n?1)?2(n?1)
＝
6n
－
5. 当n≥2时
，< br>a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝（3n< br>2
－2n
）－
（
当n＝1时，a
1
＝S
1< br>＝3×1
2
－2＝6×1－5，所以，a
n
＝6n－5
（
n?N
）.
（2006年安徽卷）数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，
?
?
2
?

已知
a
1?
1
,S
n
?n
2
a
n
?n
?
n?1
?
,n?1,2,???
．
2
（Ⅰ）写出
S
n
与
S
n?1
的递推关系式
?
n?2
?
，并求
S
n
关于
n
的表达式；
S
n< br>n?1
x,b
n
?f
n

?
p
??< br>p?R
?
，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
T
n
．
n
解：由
S
n
?n
2
a
n
?n
?
n?1
??
n?2
?
得：
S
n
?n
2
(S
n
?S
n ?1
)?n
?
n?1
?
，即
(n
2
?1) S
n
?n
2
S
n?1
?n
?
n?1
?
，
（Ⅱ）设
f
n
?
x
?
?
n ?1n
S
n
?S
n?1
?1
，对
n?2
成 立．
nn?1
n?1nnn?132n?1
由…，
S
2
? S
1
?1
相加得：
S
n
?S
n?1
?1< br>，
S
n?1
?S
n?2
?1
，
S
n
?2S
1
?n?1
，
nn?1n?1n?221n
n
2
1
又
S
1
?a
1
?
，所以
S
n
?
，当
n?1
时，也成立．
n?1
2
S
n?1
n
n?1
（Ⅱ）由
f
n
?
x?
?
n
x?x
，得
b
n
?f
n

?
p
?
?np
n
．
nn?1
23n? 1n
而
T
n
?p?2p?3p??(n?1)p?np
，
所以
pT
n
?p
2
?2p
3
?3p
4??(n?1)p
n
?np
n?1
，
n?1
(1?P)T
n
?p?p?p?

4. 证明：由已 知可得：
23
?p?p?np
nn?1
p(1?p
n
)??np
n?1
．
1?p
a
n
2(2n?1)
?

a
n?1
n
a
n
a
n?1
a
2
2
n
?3?5??(2n?1)
??
?
?a
1
=
又
a
n
?

a
n?1
a
n?2
a
1< br>n!
(2n)!
?
2?4?6?
?
(2n?2)2n
?
?
?
1?3?5
?
(2n?1)
?
2
n
?3?5??(2n?1)
而
C?
=
?
n!
n! ?n!n!?n!
nnn
所以
a
n
?C
2n
，而< br>a
n
?C
2n
?2C
2n?1
为偶数．
n
2n

5. 解（Ⅰ）（略）
a
3
?3,a
5
?13


(II)
a
2k?1
?a
2k
?3
k
?a
2k?1
?(?1)
k
?3
k


所以
a
2k?1

故
a
2k?1
?a2k?1
?3
k
?(?1)
k
，为差型
?(a2k?1
?a
2k?1
)?(a
2k?1
?a
2k?3
)?
?
(a
3
?a
1
)?a
1

?(3
k
?3
k?1
?
?
3)?(?1)
k
?(?1)
k?1
?
?
?(?1)?1

??
3
k?1
1
?(?1)
k
?1
． =
22
3
k
13
k
1
kk?1k
a
2k
?a
2k?1
?(?1)??(?1)?(?1)?1??(?1)
k< br>?1
．
2222
所以{
a
n
}的通项公式为： < br>当n为奇数时，
a
n
?
3
n?2
2
2
?(?1)
n?1
2
?
1
?1
；
2

31
?(?1)
2
??1
． 当n为偶数时，
a
n
?
22

n
6. 方法（1 ）：构造公比为—2的等比数列
a
n
?
?
?3
，用待定系数 法可知
?
??
．
n
2
n
??
1
5
方法（2）：构造差型数列
?
?
a
n
?
a
n
a
n?1
13
n
n
???(?)
，从而可(?2)
，即两边同时除以 得：
nn?1
n
?
32
( ?2)(?2)
?
(?2)
?
以用累加的方法处理．
方法（3）：直接用迭代的方法处理：
a
n
??2a
n?1
?3
n?1
??2(?2a
n?2
?3
n?2
)?3n?1
?(?2)
2
a
n?2
?(?2)3
n?2?3
n?1

?(?2)
2
(?2a
n?3
? 3
n?3
)?(?2)
2
3
n?2
?3
n?1
?
(
?
2)
3
a
n?3
?
(
?
2)
2
3
n?3
?
(
?
2) 3
n?2
?
3
n?1
??

?(?2)
n
a
0
?(?2)
n?1
3
0
?(?2)
n ?2
3
1
?(?2)
n?3
3
2
??(?2)2
3
n?3
?(?2)3
n?2
?3
n?1
3
n
?(?1)
n?1
?2
n
?(?2)a
0
?
．
5
n

n
7. 分析：
S
n
?2a
n
?(?1),n?1.
-①
-② 由
a
1
?S
1
?2a
1
?1,得
a
1
?1.

由
n?2
得，
a1
?a
2
?2a
2
?1
，得
a
2?0
-③
由
n?3
得，
a
1
?a
2
?a
3
?2a
3
?1
，得
a
3
?2
-④
n?1
用
n?1
代
n
得
S
n?1
?2a
n?1
?(?1)
-⑤
n< br>①—⑤：
a
n
?S
n
?S
n?1
?2an
?2a
n?1
?2(?1)

n
即
a
n
?2a
n?1
?2(?1)
--⑥
a
n
?2a
n?1
?2(?1)
n
?22 a
n?2
?2(?1)
n?1
?2(?1)
n
?2
2
a
n?2
?2
2
(?1)
n?1
?2(?1)< br>n
??
?
?
?2
n?1
a
1
?2< br>n?1
(?1)?2
n?2
(?1)
2
?
?
2(?1)
n

?

8. 解：
a
n?1
?2a
n
?3?2
n
两边除以
2
n?1
，得
2
n?2
2?(?1)
n?1

3
??
an?1
2
n?1
?
a
n
2
n
?
a
?1
a
n
33
，则
n
?
n
?
，
n?1
22
22
故数列
{
a
a
n
2
3
为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
}
是以
1
??1
1
2
n
2
2
2
3< br>31
，所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?(n?)2
n
。
2
22
a
n
2
n

?1?(n?1)
9. 解：由
a
n?1
?a
n
?2n?1

得
a
n?1
?a
n
?2n?1

则
a
n
?(a
n
?a
n ?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?
?
?(a3
?a
2
)?(a
2
?a
1
)?a
1

?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]?
?
?(2?2?1)? (2?1?1)?1

?2[(n?1)?(n?2)?
?
?2?1]?(n ?1)?1
?2?
(n?1)n
?(n?1)?1
2
所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?n
2


10. 解：由
a
n?1
?a
n
?2?3
n
?1

得
a
n?1
?a
n
?2?3
n
?1

则
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?
?
?(a
3
?a< br>2
)?(a
2
?a
1
)?a
1

? (2?3
n?1
?1)?(2?3
n?2
?1)?
?
?(2 ?3
2
?1)?(2?3
1
?1)?3
?2(3
n?1?3
n?2
?
?
?3?3)?(n?1)?3
21
< br>3?3
n
所以
a
n
?2??n?2?3
n
? n?1

1?3

11. 解：
a
n?1
?3a< br>n
?2?3
n
?1
两边除以
3
n?1
，得
a
n?1
3
n?1
则
?
a
n
3< br>n
?
?
a
n
3
n
21
?
n ?1
，
3
3
?
21
?
n?1
，
3
3
a
n?1
3
n?1
a
n
3
n
故
?(
a
n
3
n
?
a
n?1< br>aa
n?2
a
n?2
a
n?3
a
2
a
1
a
1

)?(
n?1
?
n
) ?(?)?
?
?(?)?
?2n?2n?321
a
n?1
a
n?1
3
3
3333
212121213
?(?
n
)?(?
n?1
)?(?
n?2
)?
?
?(?2
)?

3
3
3
3
3
3
3< br>3
3
?
2(n?1)
11111
?(
n
?< br>n
?
n?1
?
n?2
?
?
?
2)?1

3
33333
1
n?1
?(1?3)
a
n
2(n?1)
3
n
2n11
因此
n
?
，
??1???
n
31?332
32?3
则
a< br>n
?
211
?n?3
n
??3
n
?

322

12. 解：因为
a
n?1?2(n?1)5
n
?a
n
，a
1
?3
，所以
a
n
?0
，则
a
n?1
?2(n?1)5
n
，
a
n
则
a
n
?
a
n
a
n?1
?
a
n?1
a
n?2
?
??
a
3
a
2
?
a
2
a
1?a
1

?[2(n?1?1)5
n?1
]?[2(n?2?1 )5
n?2
]
?
[2?(2?1)?5
2
]?[2?(1? 1)?5
1
]?3

?2
n?1
?[n?(n?1)??
?3?2]?5
(n?1)?(n?2)???2?1
?3

所以数列
{a
n
}
的通项公式为
n(n?1)
?5
2
a
n
?3?2

n?1
?n!

13. 解：因为
a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3
?
?
?(n?1)a
n?1
(n?2)

所以
a
n?1
?a
1
?2a
2
?3a
3
?
?
?(n?1)a
n?1< br>?na
n

所以②式－①式得
a
n?1
?a
n
?na
n

则
a
n?1
?(n?1)a
n
(n?2)

②
①
则
a
n?1
?n?1(n?2)
a
n
a
a
n
a
n?1
??
?
?
3
?a
2

a
n?1
a
n?2
a
2
所以
a
n
?
?[n(n?1)???4?3]?a2
?
n!
?a
2

2
③
由
a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3
?
?
?(n?1)a
n?1
(n?2)
，取n=2得
a
2< br>?a
1
?2a
2
，则
a
2
?a
1< br>，又知
a
1
?1
，则
a
2
?1
，代 入③得
a
n
?1?3?4?5???n?

n!
。
2

14. 解：设
a
n?1
?x?5n?1
?2(a
n
?x?5
n
)
④
将< br>a
n?1
?2a
n
?3?5
n
代入④式，得
2a
n
?3?5
n
?x?5
n?1
?2a
n
?2x?5
n
，等式两边消去
2a
n
，得
3?5
n
?x?5
n?1
?2x?5
n
，两边除以
5
n< br>，得
3?x?5?2x
，则x=－1，代入④式，
得
a
n? 1
?5
n?1
?2(a
n
?5
n
)
⑤
由
a
1
?5?6?5?1
≠0及⑤式，得
a
n?5?0
，则
1n
a
n?1
?5
n?1
an
?5
n
?2
，则数列
{a
n
?5
n
}
是以
a
1
?5
1
?1
为
首项， 以2为公比的等比数列，则
a
n
?5
n
?1?2
n?1，故
a
n
?2
n?1
?5
n
。

15. 解：设
a
n?1
?x?2
n?1
?y?3(an
?x?2
n
?y)

将
a
n?1
? 3a
n
?5?2
n
?4
代入⑥式，得
⑥
3a
n
?5?2
n
?4?x?2
n?1
?y?3(a
n
?x?2
n
?y)

整理得
(5?2x)?2
n< br>?4?y?3x?2
n
?3y
。
?
5?2x?3x
?
x?5
令
?
，则
?
，代入⑥式，得
4?y?3 y
y?2
?
?
a
n?1
?5?2
n?1
? 2?3(a
n
?5?2
n
?2)

由
a
1
?5?2
1
?2?1?12?13?0
及⑦式，
⑦
得
a
n
?5?2?2?0
，则
n
a
n?1
? 5?2
n?1
?2
a
n
?5?2?2
n
?3
，
故数列
{a
n
?5?2
n
?2}
是以
a
1
?5?2
1
?2?1?12?13
为首项，以3为公比的等比 数列，因此
a
n
?5?2
n
?2?13?3
n?1
，则
a
n
?13?3
n?1
?5?2
n
?2
。

16. 解：设
a
n?1
?x(n?1)
2
?y(n?1)?z

?2(a
n
?xn
2
?yn?z)
⑧
将a
n?1
?2a
n
?3?n
2
?4n?5
代入 ⑧式，得
2a
n
?3?n
2
??4n?5?x(n?1)
2
?y(n?1)?z

?2(a
n
?xn
2
?yn?z)
，则
2an
?(3?x)n
2
?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)
?2a
n
?2xn?2yn?2z
2

等式两边消去
2a
n
，得
(3?x)n
2
?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn
2
?2yn?2z
，
?
3?x?2x
?
x?3< br>??
则得方程组
?
2x?y?4?2y
，则
?
y?1 0
，代入⑧式，得
?
x?y?z?5?2z
?
z?18
? ?
a
n?1
?3(n?1)
2
?10(n?1)?18?2(an
?3n
2
?10n?18)

由
a
1?3?1
2
?10?1?18?1?31?32?0
及⑨式，得
⑨
a
n
?3n
2
?10n?18?0

则
a
n?1
?3(n?1)
2
?10(n?1)?18
a
n?3n
2
?10n?18
?2
，故数列
{a
n
?3n
2
?10n?18}
为以
a
1
?3?1
2< br>?10?1?18?1?31?32
为首项，以2为公比的等比数列，因此
a
n
?3n
2
?10n?18?32?2
n?1
，则
a
n
?2
n?4
?3n
2
?10n?18
。

n5
17. 解：因为
a
n?1
?2?3
n
a5
n
，a
1
?7
，所以
a
n
?0，a
n?1
?0
。在
a
n?1
?2?3a
n
式 两边取常用对数得
lga
n?1
?5lga
n
?nlg3?lg2< br> ⑩
11
设
lga
n?1
?x(n?1)?y?5(l ga
n
?xn?y)
○
11
式，得
5lga
n< br>?nlg3?lg2?x(n?1)?y?5(lga
n
?xn?y)
，两边消 去
5lga
n
并整理，得将⑩式代入○
(lg3?x)n?x?y?lg2? 5xn?5y
，则

lg3
?
x?
??
lg3?x?5x
?
4
，故
?
?
x?y? lg2?5y
?
?
y?
lg3
?
lg2
?
164
?
11
式，得
lga
n?1
?
代入○
lg3lg3lg2

(n?1)??
4164

12
○
?5(lga
n
?
由
lga
1
?
得lga
n
?
lg3lg3lg2
n??)

4164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
12
式，
?1? ??lg7??1???0
及○
41644164
lg3lg3lg2
n?? ?0
，
4164
lga
n?1
?
则
lg3lg3 lg2
(n?1)??
4164
?5
，
lg3lg3lg2
lga
n
??n??
4164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2为首项，以5为公比的等比数列，则
n??}
是以
lg7???
4164 4164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
n?1
，因此
lga
n
?n???(lg7???)5
41644164
所以数列
{lgan
?
lg3lg3lg2
n?1
lg3lg3lg2
lgan
?(lg7???)5?n??
4164464
?
n
lg3< br>4
?(lg7?
1
16
?3
1
?2
4
1
lg3
4
?
1
lg3
6
?lg
12
4
)5
n?1
?
1
16
lg3?lg
1
2
4
1
?[lg(7?3
4
1
16
? 3
1
?2
4
)]5
n?1
?l
n
3
4
)g?
5
n?1
?1
?2
4
)
(1
lg(7?3
4
1
16
?3
1
?2
4
)5
n?1
则
?l
n
3
4
1
? 3
16
n?1
1
?2
4
)g?l
5
n?1
?1
5
n?1
?n
7
5n?1
?3
4(g?3
16
5
n?1
?1
?2
4
)(?l< br>5n?4n?1
5n?1
7?3
16
g(
，
a
n
?7
5

5n?4n?1
?3
16
5
n?1
?1
?2
4
。
(n?1)2
18. 解：因为
a
n?1
?a
3
，所以
n
n
n ?2
a
n
?a
3
n?1
n?1
(n?1)?2?[a
3
n?2
n?2
]
3n?2
n?1
< br>(n?1)?n?2
?a
3
n?2
(n?2)?2
?[a3
n?3
3
2(n?2)?(n?1)
n?3
]
32
(n?1)?n?2
(n?2)?(n?1)
(n?2)(n?1)n?2?a
3
n?3
(n?3)?(n?2)?(n?1)
?
?
3
?a
1
3
?a
1
n?1

?2?3< br>??
(n?2)?(n?1)?n?2
1?2?
??
?(n?3)?( n?2)?(n?1)
n(n?1)
n?1
?n!?2
2

n(n?1)
又
a
1
?5
，所以数列
{a< br>n
}
的通项公式为
a
n
?5
3

19. 解：由
a
n?1
?a
n
?
n?1
?n!?2
2
。
8(n?1)
8
及，得
a?
1
9
(2n?1)
2
(2n?3)
2
a
2
? a
1
?
8(1?1)

22
(2?1?1)(2?1?3)
?
88?224

??
99?2525
a
3
?a
2
?
8(2?1)
(2?2?1)
2
(2?2?3)
2

248?348
? ??
2525?4949
a
4
?a
3
?
8(3?1 )
(2?3?1)
2
(2?3?3)
2

488?480< br>???
4949?8181
(2n?1)
2
?1
由此可猜测< br>a
n
?
，往下用数学归纳法证明这个结论。
2
(2n?1)
(2?1?1)
2
?1
8
?
，所以等式成立。 （1）当n =1时，
a
1
?
9
(2?1?1)
2
(2k?1)
2
?1
（2）假设当n=k时等式成立，即
a
k
?
，则当
n?k?1
时，
2
(2k?1)
a
k?1
?a
k
?
8(k?1)

22
(2k?1)(2k?3)< br>(2k?1)
2
?18(k?1)
??
(2k?1)
2
(2k?1)
2
(2k?3)
2
[(2k?1)
2
?1] (2k?3)
2
?8(k?1)
?
(2k?1)
2
(2k? 3)
2
?
(2k?1)(2k?3)?(2k?3)?8(k?1)
(2k? 1)
2
(2k?3)
2
222

(2k?1)
2< br>(2k?3)
2
?(2k?1)
2
?
(2k?1)
2
(2k?3)
2

(2k?3)
2
?1[2 (k?1)?1]
2
?1
??

(2k?3)
2
[ 2(k?1)?1]
2
由此可知，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）（2）可知，等式对任何
n?N
*


20. 解：令
b
n
?1?24a
n
，则
a
n
?< br>故
a
n?1
?
1
2
(b
n
?1)< br>
24
1
2
1
(b
n?1
?1)
， 代入
a
n?1
?(1?4a
n
?1?24a
n
)< br>得
2416
1
2
11
(b
n?1
?1)? [1?4?(b
2
n
?1)?b
n
]

24162 4
2
即
4b
2
n?1
?(b
n
?3)
因为
b
n
?1?24a
n
?0
，故
b
n?1
?1?24a
n?1
?0

则
2b
n?1
?b
n
?3
，即
b
n?1
?
可化 为
b
n?1
?3?
13
b
n
?
，
22
1
(b
n
?3)
，
2
1
为 公比的等比数列，因此
2
2111
?3
，得
a
n
? ()
n
?()
n
?
。
3423
所以
{b
n
?3}
是以
b
1
?3?1?24a
1
? 3?1?24?1?3?2
为首项，以
1111
b
n
?3?2?()
n?1
?()
n?2
，则
b
n
?()
n? 2
+3，即
1?24a
n
?()
n?2
2222

21. 解：令
x?
21x?24
21x?24
，得
4x< br>2
?20x?24?0
，则
x
1
?2，x
2
?3
是函数
f(x)?
的两个不动
4x?1
4x?1
21a
n
?24
?2
a?24a
n
?121a
n
?24?2(4a
n
?1)13a
n
?26
13
a
n
?2a?2
点。因为
n?1
，所以数列
{
n
?? ??
。
}
a
n
?3a
n
?3
a
n ?1
?3
21a
n
?24
21a
n
?24?3(4 a
n
?1)9a
n
?279
?3
4a
n
? 1
是以
a
1
?2
4?2
a?2
1313
? ?2
为首项，以为公比的等比数列，故
n
?2()
n?1
，则
a
n
?
a
1
?34?3a
n
?3
99< br>1
13
2()
n?1
?1
9

?3
。

22. 解：令
x?
7x?2
3x?1< br>，得
2x
2
?4x?2?0
，则x=1是函数
f(x)
?
的不动点。
2x?3
4x?7

因为
a
n?1
?1?
7a
n
?25a?5
，所以
?1 ?
n
2a
n
?32a
n
?3
35
2an
?3
2
1111
2
?
2
(1?
2< br>)?
1
?
2
，所以数列
{?}
是以
??1< br>为
??
a
n?1
?1
5a
n
?55a
n
?15
a
n
?1a
1
?12?1
a
n
?1a
n
?15
a
n
?
首项，以
1222n?8
为公差的等差数列，则。
?1?(n?1)?
，故
a
n
?
a
n
?15
52n?3
评注：本题解题的关键是先求 出函数
f(x)?
出
3x?17x?2
的不动点，即方程
x?
的根
x?1
，进而可推
4x?72x?3
1
a
n?1?1
?
1211
?
，从而可知数列
{}
为等差数列，再 求出数列
{}
的通项公式，最后求出
a
n
?15a
n
?1a
n
?1
数列
{a
n
}
的通项公式。