高中数学求数列通项的常用方法

求数列通项公式的方法
本文章总结了求数列通项公式的几种常见的方法，分别有：
公式法，累加法，累乘法，待定系数法，对数变换法，迭代法，数学归纳法，换元法。
希望对大家有所帮助~~~
关键字：数列，通项公式，方法
一、公式法
n
例1 已知数列
{a
n
}
满足
a
n? 1
?2a
n
?3?2
，
a
1
?2
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
a
n?1
a
n< br>3
a
n?1
a
n
3
a
n
a
1
2
3
，则，故数列是以为首项，以
{}
????
??1< br>2
2
n
2
n?1
2
n
22
n?1< br>2
n
2
2
1
2
a
331
n
{a}
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
n
，所以数列的通项公式为?1?(n?1)a?(n?)2
。
n
n
2
n
222
n
解：
a
n?1
?2a
n
?3?2
两边除 以
2
n?1
，得
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n?1
?2a
n
?3?2
转化为
a
n?1
a
n
3
a
n
，说明数列
{}
是等差数列，再直接< br>??
n
n?1n
2
222
利用等差数列的通项公式求出
二、累加法
a
n
3
，进而求出数列
{a
n
}< br>的通项公式。
?1?(n?1)
n
22
，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。 例2 已知数列
{a< br>n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2n?1
解：由
a
n?1
?a
n
?2n?1
得
a
n?1
?a
n
?2n?1
则
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?L
?(a
3
?a
2
)?(a
2
?a
1
)?a
1
?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]?
L
?( 2?2?1)?(2?1?1)?1
?2[(n?1)?(n?2)?
L
?2?1]? (n?1)?1

(n?1)n
?2?(n?1)?1
2
?(n?1 )(n?1)?1
?n
2
2
所以数列
{a
n
}的通项公式为
a
n
?n
。
评注：本题解题的关键是把递推关系 式
a
n?1
?a
n
?2n?1
转化为
a
n ?1
?a
n
?2n?1
，进而求出
(a
n
?an?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?L?(a
3?a
2
)?(a
2
?a
1
)?a
1
， 即得数列
{a
n
}
的通项公式。
n
例3 已知数列{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2? 3?1，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。

nn
解：由
a
n?1
?a
n
?2? 3?1
得
a
n?1
?a
n
?2?3?1
则
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?
L
?(a
3
?a
2
)? (a
2
?a
1
)?a
1
?(2?3
n?1
?1)?(2?3
n?2
?1)?
L
?(2?3
2
?1)? (2?3
1
?1)?3
?2(3
n?1
?3
n?2
?
L
?3
2
?3
1
)?(n?1)?3
3(1?3
n?1
)
?2?(n?1)?3
1?3
?3
n
?3 ?n?1?3
?3
n
?n?1
n
所以
a
n
?3?n?1.


nn
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a< br>n?1
?a
n
?2?3?1
转化为
a
n?1
?a
n
?2?3?1
，进而求出
a
n
?(a
n?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?L?(a< br>3
?a
2
)?(a
2
?a
1
)?a
1
，即得数列
{a
n
}
的通项公式。
n
例4 已 知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?3a
n< br>?2?3?1，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
n?1
解：
a
n?1
?3a
n< br>?2?3?1
两边除以
3
，得
a
n?1
a
n
21
?
n
??
n?1
，
n?1
3333
则
a
n?1
a
n
21
，故
???
3
n?1
3
n
33
n?1
a
n
a
n
a
n?1
a
n?1
a
n?2
a
n?2
a
n?3
a
2
a
1
a
1
?(?) ?(?)?(?)?
L
?(?)?
3
n
3
n
an?1
a
n?1
3
n?2
3
n?2
3
n?3
3
2
3
1
3
212121213
?(?n
)?(?
n?1
)?(?
n?2
)?
L
?( ?
2
)?
333333333
2(n?1)11111
??(
n
?
n
?
n?1
?
n?2
?
L
?
2
)?1
333333

1
(1?3
n?1)
n
a
n
2(n?1)
3
2n11
因此
n
，
???1???
331?3322?3
n
则
an
?
211
?n?3
n
??3
n
?.

322
a
n?1
a
n
21
?
n
? ?
n?1
，进而求出
n?1
3333
n
评注：本题解题的关 键是把递推关系式
a
n?1
?3a
n
?2?3?1
转化为< br>(
a
n
a
n?1
a
n?1
a
n?2
a
n?2
a
n?3
a
2
a
1
a< br>1
?
a
n
?
?)?(?)?(?)?L?(?)?
， 即得数列
?
n
?
的通项公式，最后再求数列
{a
n
}
的通
3
n
3
n?1
3
n?1
3
n?2
3
n?2
3
n?3
3
2
3
1
3
?
3
?
项公式。
三、累乘法
n
例5 已 知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2(n?1)5? a
n
，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。

n
解：因为
a
n?1
?2(n?1 )5?a
n
，a
1
?3
，所以
a
n
?0< br>，则
a
n?1
?2(n?1)5
n
，故
a
n
a
n
?
a
n
a
n?1
a
a
??
L
?
3
?
2
?a
1
a
n? 1
a
n?2
a
2
a
1
?[2(n?1?1)5n?1
][2(n?2?1)5
n?2
]?
L
?[2(2?1) ?5
2
][2(1?1)?5
1
]?3

?2
n? 1
[n(n?1)?
L
?3?2]?5
(n?1)?(n?2)?
L
?2?1
?3
?3?2
n?1
n(n?1)
2
?5 ?n!
n?1
所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a< br>n
?3?2?5
n(n?1)
2
?n!.

n
评注：本题解题的关键是把递推关系
a
n?1
?2(n?1)5?a
n转化为
a
n?1
?2(n?1)5
n
，进而求出
an
a
n
a
n?1
a
a
??L?
3?
2
?a
1
，即得数列
{a
n
}
的通 项公式。
a
n?1
a
n?2
a
2
a
1< br>，a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3
? L?(n?1)a
n?1
(n?2)
，求
{a
n
}
的通项公式。 例6已知数列
{a
n
}
满足
a
1
? 1
解：因为
a
n
?a
1
?2a
2
?3a< br>3
?L?(n?1)a
n?1
(n?2)

所以
a
n?1
?a
1
?2a
2
?3a
3
?L?( n?1)a
n?1
?na
n

用②式－①式得
a
n?1
?a
n
?na
n
.

则
a
n?1
?(n?1)a
n
(n?2)

②
①
故
a
n?1
?n?1(n?2)

a
n
a
n
a
n?1
a
n!
??L?3
?a
2
?[n(n?1)?L?4?3]a
2
?a
2
.

a
n?1
a
n?2
a
2
2< br>所以
a
n
?
③
由
a
n
?a1
?2a
2
?3a
3
?L?(n?1)a
n?1
(n?2)
，
取n?2得a
2
?a
1
?2a
2< br>，则
a
2
?a
1
，又知
a
1
?1< br>，则
a
2
?1
，代入③
得
a
n
?1 ?3?4?5?L?n?
n!
。
2
n!
.

2< br>a
n?1
?n?1(n?2)
，进而求出
a
n
所以，
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?
评注：本题 解题的关键是把递推关系式
a
n?1
?(n?1)a
n
(n?2)< br>转化为

a
n
a
n?1
a
??L?3
?a
2
，从而可得当
n?2时，a
n
的表达式，最后 再求出数列
{a
n
}
的通项公式。
a
n?1
a
n?2
a
2
四、待定系数法
n
例7 已知数列
{a
n
}
满足
a
n? 1
?2a
n
?3?5，a
1
?6
，求数列
?
a
n
?
的通项公式。
解：设
a
n?1
?x?5
n?1
?2(a
n
?x?5
n
)
④
nnn?1n
将
a
n?1
?2a
n
?3?5
代入④ 式，得
2a
n
?3?5?x?5?2a
n
?2x?5
，等式 两边消去
2a
n
，得
3?5
n
?x?5
n?1?2x?5
n
，两边除以
5
n
，得
3?5x?2x,则 x??1,
代入④式得
a
n?1
?5
n?1
?2(a
n
?5
n
)
⑤
a
n?1
?5
n? 1
由
a
1
?5?6?5?1?0
及⑤式得
a
n?5?0
，则
?2
，则数列
{a
n
?5
n}
是以
a
1
?5
1
?1
为首项，以2为公n
a
n
?5
1n
nn?1n?1n
比的等比数列，则< br>a
n
?5?2
，故
a
n
?2?5
。
nn?1nn
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n?1
?2a
n
?3?5
转化为
a
n?1
?5?2(a
n
?5 )
，从而可知数列
{a
n
?5}
是等
n
比数列，进 而求出数列
{a
n
?5}
的通项公式，最后再求出数列
{a
n
}
的通项公式。
n
例8 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?3a
n
?5?2?4，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：设
a
n?1
?x?2
n?1
?y?3(a
n
?x?2
n
?y)
⑥
n
将
a
n?1
?3a
n< br>?5?2?4
代入⑥式，得
3a
n
?5?2
n
?4 ?x?2
n?1
?y?3(a
n
?x?2
n
?y)

整理得
(5?2x)?2?4?y?3x?2?3y
。
nn
?5?2x?3x
?
x?5
令
?
，则
?
，代入⑥ 式得
4?y?3yy?2
??
a
n?1
?5?2
n?1< br>?2?3(a
n
?5?2
n
?2)
⑦
1
由
a
1
?5?2?2?1?12?13?0
及⑦式， < br>a
n?1
?5?2
n?1
?2
得
a
n
?5?2?2?0
，则
?3
，
n
a
n
?5?2 ?2
n

n1
故数列
{a
n
?5?2?2}< br>是以
a
1
?5?2?2?1?12?13
为首项，以3为公比的等比数 列，因此
a
n
?5?2
n
?2?13?3
n?1
， 则
a
n
?13?3
n?1
?5?2
n
?2
。
nn?1n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n?1
?3 a
n
?5?2?4
转化为
a
n?1
?5?2?2?3(a< br>n
?5?2?2)
，从而可知
nn
数列
{a
n
?5?2?2}
是等比数列，进而求出数列
{a
n
?5?2?2}
的通项公式，最后再求数列
{a
n
}
的通项公式。
2
例9 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3n?4n?5，a
1
?1
，求数列
{a
n
}< br>的通项公式。
22
解：设
a
n?1
?x(n?1)?y(n ?1)?z?2(a
n
?xn?yn?z)
⑧
2
将
a
n?1
?2a
n
?3n?4n?5
代入⑧式，得
2a< br>n
?3n
2
?4n?5?x(n?1)
2
?y(n?1)?z ?2(a
n
?xn
2
?yn?z)
，则
2a
n< br>?(3?x)n
2
?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2a
n
?2xn
2
?2yn?2z

等式两边消去
2a
n
，得
(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn?2yn?2z
，
22
?
x?3
?
3?x?2x
?
?
解方程 组
?
2x?y?4?2y
，则
?
y?10
，代入⑧式，得
?
z?18
?
x?y?z?5?2z
?
?
a
n?1
?3(n?1)
2
?10(n?1)?18?2(a
n
?3 n
2
?10n?18)
⑨
22
由
a
1
?3?1?10?1?18?1?31?32?0
及⑨式，得
a
n
?3n? 10n?18?0

a
n?1
?3(n?1)
2
?10(n ?1)?18
22
{a?3n?10n?18}a?3?1?10?1?18?1?31?32
为首项，则，故数列为以
?2
n1
2
a
n
?3n? 10n?18
2n?1n?42
以2为公比的等比数列，因此
a
n
? 3n?10n?18?32?2
，则
a
n
?2?3n?10n?18
。
2
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n?1
?2a
n
?3n?4n?5
转化为
a
n?1
?3(n?1)
2< br>?10(n?1)?18?2(a
n
?3n
2
?10n?18)
，从而可知数列
{a
n
?3n
2
?10n?18}
是等比 数列，进而求出
2
数列
{a
n
?3n?10n?18}
的通 项公式，最后再求出数列
{a
n
}
的通项公式。

五、对数变换法
n5
例10 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2?3?a
n
，
a
1
?7
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
n5n5
解：因为
a
n?1
?2?3?a
n
，a< br>1
?7
，所以
a
n
?0，a
n?1
?0。在
a
n?1
?2?3?a
n
式两边取常用对数得
lg a
n?1
?5lga
n
?nlg3?lg2
⑩
11
○
设
lga
n?1
?x(n?1)?y?5(lga
n?xn?y)

将⑩式代入
○
11式，得
5lga
n< br>?nlg3?lg2?x(n?1)?y?5(lga
n
?xn?y)
，两边消 去
5lga
n
并整理，得
(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y
，则
lg3
?
x?
?
?
lg3?x?5x
?
4
，故
?

?
?
x?y?lg2?5y
?
y?
lg3
?
lg2
?
164
?

代入
○
11式，得
lga
n?1
?
由
l ga
1
?
得
lga
n
?
lg3lg3lg2lg3 lg3lg2
12
(n?1)???5(lga
n
?n??)

○
41644164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
12式， ?1???lg7??1???0
及
○
41644164
lg3lg3l g2
n???0
，
4164
lga
n?1
?
则< br>lg3lg3lg2
(n?1)??
4164
?5
，
lg3 lg3lg2
lga
n
?n??
4164
所以数列
{lga
n
?
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
为首项，以5为公比的等比数列 ，则
n??}
是以
lg7???
41644164
lg3lg3lg 2lg3lg3lg2
n?1
lga
n
?n???(lg7???)5
，因此
41644164
lga
n
?(lg7?
lg3lg3lg 2
n?1
lg3lg3lg2
??)5?n??
4164464
1< br>4
1
6
1
4
n?1
n
4
?(lg7 ?lg3?lg3?lg2)5
?[lg(7?3?3?2)]5
1
4
116
1
4
1
4
1
16
1
4
n ?1
?lg3?lg3?lg2
1
16
1
4
n
4< br>1
16
1
4
?lg(3?3?2)
n
4
1< br>16
1
4

?lg(7?3?3?2)5
n?1
?l g(3?3?2)
?lg(7
5n?1
?3
?lg(7
5n?1?3
n?1
5
n?1
?n
4
?3
5
n ?1
?1
16
?2
)
5
n?1
?1
4)
5n?4n?1
16
?2
5
n?1
?1
4< br>则
a
n
?7
5
?3
5n?4n?1
16?2
5
n?1
?1
4
。
n5
评注：本题解题 的关键是通过对数变换把递推关系式
a
n?1
?2?3?a
n
转化为
lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg3lg3lg2
(n?1)???5(lgan
?n??)
，从而可知数列
{lga
n
?n??}
是 等比数
4
lg3lg3lg2
列，进而求出数列
{lga
n
?n??}
的通项公式，最后再求出数列
{a
n
}
的通项公式。
4164
lga
n?1
?

六、迭代法
3(n?1)2
例11 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
，a
1
?5
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
3(n?1)23n?2
解：因为< br>a
n?1
?a
n
，所以
a
n
?a
n ?1
nn?1
3(n?1)?2
?[a
n
]
3n?2

?2
n?2n?1
?a
3
2
(n?1)?n?2
(n?2)?(n?1)
n?2
n?32
3(n?2)?2
?[a
n
]
3
?3
3
(n?1)?n?2
(n?2)?(n?1)
(n?3)?(n?2)?(n?1)
3(n?2)(n?1)n?2
?a
n ?3
?
L
?a
3
n?1
?2?3
LL
(n ?2)?(n?1)?n?2
1?2?
LL
?(n?3)?(n?2)?(n?1)< br>1
n?1
n(n?1)
?n!?2
2

?a
1
3
又
a
1
?5
，所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?5
3
n?1
?n!?2< br>n(n?1)
2
。
n
3(n?1)2
评注：本题还可综合利 用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式
a
n?1
?a
n
两边取常用对数得
lga
n?1
?3(n?1)?2
n
?lga< br>n
，即
lga
n?1
?3(n?1)2
n
lgan
n(n?1)
2
，再由
n(n?1)
2
累乘法可推知
lga
n
lga
n?1
lga
3
lga
2
3
n?1
?n!?2
lga
n
???L???lga
1
?lg5
lga
n?1
lga
n?2
lga
2
lga
1
七、数学归纳法
例12 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?
，从而
an
?5
3
n?1
?n!?2
。
8(n?1)8
，a?
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
1
22
(2n?1)(2n?3)9
解：由
a
n?1
?a
n
?
8(n?1)
8
a?
及，得
1
22
(2n? 1)(2n?3)
9

8(1?1)88?224
???
(2? 1?1)
2
(2?1?3)
2
99?2525
8(2?1)248? 348
a
3
?a
2
????

(2?2?1)2
(2?2?3)
2
2525?4949
8(3?1)488?480< br>a
4
?a
3
????
(2?3?1)
2
(2 ?3?3)
2
4949?8181
a
2
?a
1
?< br>(2n?1)
2
?1
由此可猜测
a
n
?
，往 下用数学归纳法证明这个结论。
(2n?1)
2
(2?1?1)
2
?18
?
，所以等式成立。 （1）当
n?1
时，
a
1?
2
(2?1?1)9
(2k?1)
2
?1
（2）假设 当
n?k
时等式成立，即
a
k
?
，则当
n?k?1
时，
(2k?1)
2
a
k?1
?a
k
?
8(k?1)

22
(2k?1)(2k?3)
(2k?1)
2
?18(k?1)
??
(2k?1)
2
(2k?1)
2
(2k?3)
2
[(2k?1)
2
?1](2k?3)
2< br>?8(k?1)
?
(2k?1)
2
(2k?3)
2
( 2k?1)
2
(2k?3)
2
?(2k?3)
2
?8(k? 1)
?
(2k?1)
2
(2k?3)
2
?
(2k? 1)(2k?3)?(2k?1)
(2k?1)
2
(2k?3)
2
2 22

(2k?3)
2
?1
?
(2k?3)
2[2(k?1)?1]
2
?1
?
[2(k?1)?1]
2
由此可知，当
n?k?1
时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何
n?N
都成立。
评注：本题解题的关 键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳
法加以证 明。
八、换元法
例13 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?
*
1
(1?4a
n
?1?24an
)，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的 通项公式。
16
1
2
(b
n
?1)

2 4
解：令
b
n
?1?24a
n
，则
a
n< br>?

故
a
n?1
?
1
2
1(b
n?1
?1)
，代入
a
n?1
?(1?4a
n
?1?24a
n
)
得
2416
1
2
11
2
(b
n?1
?1)?[1?4(b
n
?1)?bn
]

241624
22
即
4b
n?1
?(b
n
?3)

因为
b
n
?1?24a
n
?0
，故
b
n?1
?1?24a
n?1
?0< br>
则
2b
n?1
?b
n
?3
，即
b
n?1
?
可化为
b
n?1
?3?
13
b< br>n
?
，
22
1
(b
n
?3)
，
2
1
为公比的等比数列，因此
2
所以
{b
n
?3}
是以
b
1
?3?1?24a
1
?3?1?24?1 ?3?2
为首项，以
1111
b
n
?3?2()
n?1?()
n?2
，则
b
n
?()
n?2
?3，即
1?24a
n
?()
n?2
?3
，得
2 222
2111
a
n
?()
n
?()
n
?
。
3423
评注：本题解题的关键是通过将
1?24a
n
的换元为
b
n
，使得所给递推关系式转化
b
n?1
?
13
b
n
?
形式，从而可知数列
22
{b
n?3}
为等比数列，进而求出数列
{b
n
?3}
的通项公式，最 后再求出数列
{a
n
}
的通项公式。