高中数学数列分类典型试题及答案

精选高中数学数列分类典型试题及答案
【典型例题】
（一）研究等差等比数列的有关性质
1. 研究通项的性质
n?1
{a}
a?1,a?3?a
n?1
(n?2)
.
n
1n
例题1. 已知数列满足
（1）求
a
2
,a
3
；
3
n
?1
a
n
?
2
. （2）证明：2
解：（1）
Qa
1
?1,?a
2
?3?1?4,a< br>3
?3?4?13
.
n?1
a?a?3
nn?1
（2）证明：由已知，故
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)???(a
2
?a
1
)

?a
1
?3

n?1
?3
n ?2
3
n
?1
3
n
?1
a
n
?< br>?L?3?1?
2
.
2
， 所以证得
例题2. 数列?
（Ⅰ）求
?
a
n
?
的前
n
项和记为
S
n
,a
1
?1,a
n?1
?2S
n?1(n?1)

b
n
?
的各项为正，
T
且< br>T
3
?15
，其前
n
项和为
n
，又
a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
a
n
?
的通项公式；
T
n
.
（Ⅱ）等差数列
?
成等比数列，求
解： （Ⅰ）由
a
n?1
?2S
n
?1
可得
a
n
?2S
n?1
?1(n?2)
，
两式相减得：
a
n?1
?a
n
?2a
n
,a
n?1
?3a
n
(n?2)
，
a
又
a
2
?2S
1?1?3
∴
a
2
?3a
1
故
?
n
?
是首项为1，公比为3的等比数列
n?1
∴
a
n
?3

b
（Ⅱ）设
?
n
?
的公比为
d
，由
T
3
?15
得，可得
b< br>1
?b
2
?b
3
?15
，可得
b
2
?5

故可设
b
1
?5?d,b
3
?5? d
，又
a
1
?1,a
2
?3,a
3
?9< br>，
2
(5?d?1)(5?d?9)?(5?3)
由题意可得，解得
d
1
?2,d
2
?10

∵等差数列
?
∴

b
n
?
的各项为正，∴
d?0
∴
d?2

T
n
?3n?
n(n?1)
?2? n
2
?2n
2

例题3. 已知数列
?
⑴求数列< br>?
a
n
?
的前三项与数列
?
b
n
?
的前三项对应相同，且
a
1
?2a
2
?2
2
a
3
?...

?2
n?1
a
n
?8n
对任意的
n?N
*
都成立，数列
b
n?1
?bn
是等差数列.
??
a
n
?
与
?
b
n
?
的通项公式；
n?1
?
⑵是否存在
k?N
，使得
b
k
?a
k
?(0,1)
，请说明理由.
2n?1
?
2
点拨：（1）
a
1
?2a
2
?2a
3
?...?2a
n
?8n
左边相当于是数列
a
n
?
前n项和的形式，
可以联想到已知
S
n
求
a
n
的方法，当
n?2
时，
S
n
?Sn?1
?a
n
.

（2）把
b
k
?a
k
看作一个函数，利用函数的思想方法来研究
b
k
?a
k
的取值情况.
n?1
2
?2a
n
?8n
(n?
N*
）①
a?2a?2a?
123
解：（1）已知…
2n?2
n?2
时，
a
1
?2a
2
?2a
3
?
…
?2a
n?1
?8(n?1)
(n?
N*
）②
4?nn?1
a?2
2a?8
n
n
①－②得，，求得，
4? 1
在①中令
n?1
，可得得
a
1
?8?2
，
4?n
(n?
N*）. 所以
a
n
?2
由题意
b
1
?8
，
b
2
?4
，
b
3
?2
，所以
b
2
?b
1
??4
，
b
3
?b
2
?? 2
，
∴数列
{b
n?1
?b
n
}
的公差 为
?2?(?4)?2
，
∴
b
n?1
?b
n?
?4?(n?1)?2
?2n?6
，
b
n
?b1
?(b
2
?b
1
)?(b
3
?b
2
)?L?(b
n
?b
n?1
)

2
4?k
（2）
b
k
?a
k
?
k?7k?14?
2
，
?(?4)?(?2)?L?(2n?8)
?n
2
?7n?14
(n?
N*
）.
77
f(k)?(k?)2
??
4?k
24
2
单调递增，且
f(4)?1
， 当
k?4
时，
2
4?k
所以
k?4
时，f(k)?k?7k?14?
2?1
，
又
f(1)?f(2)?f(3)?0
，
所以，不存在
k?N*< br>，使得
b
k
?a
k
?(0,1)
.

例题4. 设各项均为正数的数列{a
n
}和{b
n
}满足：an
、b
n
、a
n+1
成等差数列，b
n
、a< br>n+1
、b
n+1
成等比数列，且a
1
= 1， b
1
= 2 ， a
2
= 3 ，求通项a
n
，b
n

解： 依题意得：
2b
n+1
= a
n+1
+ a
n+2
①
a
2
n+1
= b
n
b
n+1
②
∵ a
n
、b
n
为正数， 由②得
代入①并同除以
∴
b
n?1
a
n?1
?b
n
b
n?1
,a
n?2
?b
n?1
bn?2
，
2b
n?1
?b
n
?b
n?2
， 得：
9
2
，
{b
n
}
为等差数列
∵ b
1
= 2 ， a
2
= 3 ，
2
a
2< br>?b
1
b
2
,则b
2
?
92(n?1)2
b
n
?2?(n?1)(?2)?(n?1),?b
n
?222
∴ ，
n(n?1)
a
n
?b
n
b
n?1
?
2
， ∴当n≥2时，
n(n?1)
a
n
?
2
又a
1
= 1，当n = 1时成立， ∴

2. 研究前n项和的性质
n
{a}
S?a?2?b
，且
a
1
?3
.
n
n
n
例题5. 已知等比数列的前项和为

（1）求
a
、
b
的值及数列
{a
n
}
的通项公式；
n
b
n
?
a
n
，求数列
{b
n< br>}
的前
n
项和
T
n
. （2）设
n?1a?S?S?2?a
.而
{a
n
}
为等比数列，得
a< br>1
?2
1?1
?a?a
，
nnn?1
n?2
解：（1）时，
n?1
a?3?2
a?3
n
又
1
，得
a?3
，从而.又
Qa
1
?2a?b?3,?b??3
.
（2）
b
n
?
nn
123n
?
T?( 1???L?)
n?1
a
n
3?2
，
n
322
2
2
n?1

11123n? 1n11111n
T
n
?(?
2
?
3
?L?
n?1
?
n
T
n
?(1??
2
?L?
n ?1
?
n
)
2322222
） ，得
232222
，
1
1?(1?
n
)
2
2
?
n
]?
4
(1?
1
?
n
) T
n
?[
3
1?
1
2
n
32
n< br>2
n?1
2
.

1
例题6. 数列
{a< br>n
}
是首项为1000，公比为
10
的等比数列，数列
{b< br>n
}
满足
1
b
k
?(lga
1
? lga
2
?L?lga
k
)
*
(k?N)
，
k

（1）求数列
{b
n
}
的前
n项和的最大值；（2）求数列
{|b
n
|}
的前
n
项和
S
n
.

的等差数列，
∴
4?n
a?10
n
解：（1）由题意：，∴
lga
n
?4?n
，∴ 数列
{lga
n
}
是首项为3，公差为
?1
?
lg a
1
?lga
2
?L?lga
k
?3k?
k(k? 1)1n(n?1)7?n
b
n
?[3n?]?
2
，∴
n2 2



?
b
n
?0
21
?S?S?
7
b?0
，得
6?n?7
，∴数列
{b
n
}
的前
n
项和的最大值为
6
2
. 由
?
n?1
（2）由（1）当
n?7
时，
b
n
?0
，当
n?7
时，
b
n
?0
，
7?n3?
2
)n??
1
n
2
?
13
nS< br>n
?
?b
1
?b
2
?L?b
n
?(
244
∴当
n?7
时，
当
n?7
时，
2
S
n
?
?b
1
?b
2
?L?b
7
?b
8
?b
9
?L?b
n
?2S
7?(b
1
?b
2
?L?b
n
)?
4
n ?
4
n?21



113

?
1
2
13
?n?n(n?7)
?
?
4
S
n
?
?
?
4
?
1
n
2
?
1 3
n?21(n?7)
?
4
?
4
∴.

例题
7.
已知递增的等比数列
{
a
n
}
满足
a
2
?a
3
?a
4
?28
，且
a
3
?2
是
a
2
，
a
4
的等差 中项
.
（
1
）求
{
a
n
}
的 通项公式
a
n
；（
2
）若
b
n
?a
n
log
1
a
n
2
，
S
n
?b
1
?b
2
?L?b
n
求使

S
n
?n?2
n?1
?30
成立的
n
的最小值
.
解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由
1
a
1
q+a
1
q
2
+a
1
q
3
=28，a
1
q+a
1
q
3
=2（a
1
q
2
+ 2），得：a
1
=2，q=2或a
1
=32，q=
2
∴a< br>n
=2·2
（
n
－
1
）
（舍）
=2
n

2
（2） ∵，∴S
n
=－（1·2+2 ·2
2
+3·2
3
+…+n·2
n
）
∴2Sn
=－（1·2
2
+2·2
3
+…+n·2
n
+1
），∴S
n
=2+2
2
+2
3
+…+2
n
－n·2
n
+1
=－（n－1）·2
n
+1
－ 2，
若S
n
+n ·2
n
+1
＞30成立，则2
n
+1
＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.
b
n
?a
n
log
1
a
n
??n?2
n

*
例题8. 已知数列
{a
n
}
的前n项和为S
n
，且
?1,S
n
,a
n?1
成等差数列，
n?N, a
1
?1
. 函数
f(x)?log
3
x
.
（I）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（II）设数列{b
n
}
满足
b
n
?
1
(n?3)[ f(a
n
)?2]
，记数列
{b
n
}
的前n项和为 T，试比较
n
52n?5
?
12312
的大小.
解： （I）
Q?1,S
n
,a
n?1
成等差数列，
?2S
n
?a
n?1
?1
① 当
n?2
时，
2S
n?1
?a
n
?1
②.
T
n
与
①－②得：
2(S
n
?S
n?1< br>)?a
n?1
?a
n
，
?3a
n
?a
n?1
，
当n=1时，由①得
?2S
1
?2a
1
?a
2
?1
， 又
a
1
?1,
?
a
n?1
?3.
a
n

a
2
?3,
a
1

?a
2
?3,?

?{a
n
}
是以1为首 项3为公比的等比数列，
?a
n
?3
n?1
.

n?1
?f(a)?loga?log3?n?1
，
??
fx? logx
n3n3
3
（II）∵，
11111
b
n
???(?)
(n?3)[f(a
n
)?2](n?1)(n?3)2n?1n?3< br>，
11
?T
n
?(????????
L
???? )
224354657nn?2n?1n?3

2n?5
11111
?
5
?
?(???)
122(n?2)(n?3)
,
223 n?2n?3

52n?5
T
n
与?
12312
的 大小，只需比较
2(n?2)(n?3)
与312 的大小即可. 比较
又2(n? 2)(n?3)?312?2(n
2
?5n?6?156)?2(n
2
?5n ?150)
?2(n?15)(n?10)

52n?5
2(n?2)(n? 3)?312,即T??;
*
*
n
n?N,
1?n?9且n?N12312
∵∴当时，
52n?5
2(n?2)(n?3)?312,即Tn
??;
n?10
12312
当时，
52n?5
2( n?2)(n?3)?312,即T
n
??
*
12312
. 当
n?10且n?N
时，

3. 研究生成数列的性质

nn
例题9. （I） 已知数列
?
c
n
?
，其中
c
n
?2?3
，且数列
?
c
n?1
?pc
n
?
为等比数列，求常数
p
；
（II） 设
?
a
n
?
、
?
b
n
?
是公比不相等的两个等比数列，
c
n
?a
n
?b
n
，证明数列
?
c
n
?
不是
等比数列.
解：（Ⅰ）因为{c
n+1
－pc
n
}是等比数列，故有
（c
n+1
－pc
n
）
2
=（ c
n+2
－pc
n+1
）（c
n
－pc
n
－
1），
将c
n
=2
n
＋3
n
代入上式，得 < br>＋＋
[2
n
1
+3
n
1
－p（2
n
＋3
n
）]
2

＋＋－
－
=[2
n
2
+3
n
2
－p（2
n
+1
＋3
n
+1
）]·[2
n
+3
n
－p（2
n
1
＋3
n
1
）]，
即[（2－p）2
n
+（3－p）3
n
]
2
－－
=[（2－p）2
n+
1
+（3－p）3
n+
1
] [ （2－p）2
n
1
+（3－p）3
n
1
]，
1
整理得
6
（2－p）（3－p）·2
n
·3
n
= 0，
解得p=2或p=3.
（Ⅱ）设{a
n
}、{b
n
}的公比分别为p、q，p≠q，cn
=a
n
+b
n
.
为证{c
n
} 不是等比数列只需证
c
2
≠c
1
·c
3
. 事实上，
c
2
=（a
1
p＋b
1
q）
2
=
a
1
p
2
＋
b
1
q
2
＋2a
1
b
1
pq，
c
1
·c
3
=（a
1
＋b
1
）（a
1
p
2
＋b
1
q
2
）=
2
2
2< br>2
a
1
2
p
2
＋
b
1
2< br>q
2
＋a
1
b
1
（p
2
＋q
2
）
.
由于p≠q，p
2
＋q
2
>2pq， 又a
1
、b
1
不为零，
2
c?
c
1·
2
因此c
3
，故{c
n
}不是等比数列.

例题10. n
2
（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等 差数列，每一列的数成
13
a
42
?,a
43
?
8 16
等比数列，并且所有公比相等已知a
24
=1，
求S=a
11
+ a
22
+ a
33
+ … + a
nn

解： 设数列{
a
1k
}的公差为d， 数列{
a
ik
}（i=1，2，3，…，n）的公比为q
则
a
1k
= a
11
+ （k－1）d ， a
kk
= [a
11
+ （k－1）d]q
k1
－
?
?
a
24
?(a
11
?3d)q?1?
1
?
3
a?(a?d)q?
?
4211
8< br>?
3
?
1
3
a?(a?2d)q?
4311
?
16
，解得：a
11
= d = q = ±
2
依题意得：
?
又n
2
个数都是正数，
1
k
k
∴a
11
= d = q =
2
， ∴a
kk
=
2

S?
111 1
?2?
2
?3?
3
???n?
n
2
22 2
，
11111
S?
2
?2?
3
?3?
4
???n?
n?1
22222
，

两式相减得：

S?2?
1
2
n?1
?
n
2
n

例题11. 已知函数
f(x)?log
3
(ax?b)
的图象经过 点
A(2,1)
和
B(5,2)
，记
a
n
?3f(n)
,n?N
*
.

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
a
n
,T
n
?b
1
?b
2
???b
n
n2
（2）设，若
T
n
?m(m?Z)
，求
m
的 最小值；
111
(1?)(1?)?(1?)?p2n?1
a
1
a
2
a
n
（3）求使不等式对一切
n?N*
均成立的最大实数
p
.
b
n
?
?
log
3
(2a?b)?1
?
a?2
?
?
log(5a?b)?2
解：（1）由题意得
?
3
，解得
?
b??1
，
?f(x)?log
3
(2x?1)

a
n
?3
log
3
(2n?1)
?2n?1,n?N
*

2n?1
1352n?32n?1
b
n
?
n
?T< br>n
?
1
?
2
?
3
???
n?1?
n
2
，
22222
① （2）由（1）得
1132n?52n?32n?1
T
n
???????
n?1
2
2
2
2
3
2
n?1
2
n
2< br> ② ①－②得
1122222n?111111
T
n
?1
?
2
?
3
???
n?1
?
n
?
n?1
?
1
?(
1
?
2
???
n?2
?
n?1
)
2
22222222222
2n?13 12n?1
12n?12n?3
?
n?1
??
n?1
?n?1
?T
n
?3?
n?2
?
n
?3?
2
2
222
n
，
22
.
2n?3
*
,n?N
2
n
设，则由
2n?5n?1
f(n?1)2n?51111
2
???????1
2n?32(2n?3)22n?325f(n)
2
n

2n?3
*f(n)?,n?N
2
n
得随
n
的增大而减小
?当n ???
时，
T
n
?3
又
T
n
?m(m?Z )
恒成立，
?m
min
?3

1111
p?(1? )(1?)?(1?)对n?N
*
a
1
a
2
a
n< br>2n?1
（3）由题意得恒成立
f(n)?
F(n)?
记
1111
(1?)(1?)?(1?)
a
1
a
2
a
n
，则
2n?1

F(n?1)
?
F(n )
?
1111
)(1?)?(1?)(1?)
a
1
a
2
a
n
a
n?1
2n?3
1111
(1?)(1 ?)?(1?)
a
1
a
2
a
n
2n?1
( 1?
?
2(n?1)
4(n?1)
2
?(n?1)
?
1
2n?2
(2n?1)(2n?3)
2
?
n?1
??1
2
?
n?1
?

?F(n)?0,?F(n?1) ?F(n),即F(n)
是随
n
的增大而增大
F(n)
的最小 值为
F(1)?
222
3?p?3p
max
?3
333，，即.

（二）证明等差与等比数列
1. 转化为等差等比数列.
*
例题12. 数列
{a
n
}
中，
a
1< br>?8,a
4
?2
且满足
a
n?2
?2a
n? 1
?a
n
，
n?N
.
⑴求数列
{a
n
}
的通项公式；
S
⑵设
S
n
?|a
1
|?|a
2
|???|a
n
|
，求
n
；
1
**
b
⑶设
n
=
n(12?a
n
)
(n?N),T
n
?b
1
?b
2
?L?b
n
(n?N)
，是否存在最大的整数
m< br>，使得
m
*
对任意
n?N
，均有
T
n
?
32
成立？若存在，求出
m
的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，
a
n?2
?a
n?1
?a
n?1
?a
n
，
?{a
n
}
为等差数列，设公差为
d< br>，
由题意得
2?8?3d?d??2
，
?a
n
?8 ?2(n?1)?10?2n
.
（2）若
10?2n?0则n?5
，
n?5时,S
n
?|a
1
|?|a
2
|???|a
n
|

?a
1
?a
2
?L?a
n
?
8?10?2n
?n?9n?n
2
,
2

n? 6
时，
S
n
?a
1
?a
2
???a
5
?a
6
?a
7
??a
n

?S
5
?(S
n
?S
5
)?2S
5
?S
n< br>?n
2
?9n?40

2
?
?
9n?nn?5
S
n
?
?
2
?
?
n?9n?4 0

n?6
故
11111
Q
b
n
?? ?(?)
n(12?a
n
)2n(n?1)2nn?1
， （3）
n
1111111111
?
?[(1?)?(?)?(?)?
L
?(? )?(?)]
2(n?1)
.
T
?
n
222334n?1n nn?1

m
nm
T
n
?
?
**
32
对任意
n?N
成立，即
n?116
对任意
n?N
成立， 若
Q
1
m1
n
??,
(n?N
*
)
n?1
的最小值是
2
，
162
?m
的最大整数 值是7.
m
T?.
n
*
32
即存在最大整数
m?7,
使对任意
n?N
，均有

a
例题
13.
已知等比数列
{b
n
}
与 数列
{a
n
}
满足
b
n
?3
n
, n?
N
*.

（
1
）判断
{a
n
}
是何种数列，并给出证明；

（
2
）若
a
8
?a
13
?m,求b
1
b
2
Lb
20
.
a
解：（
1
）设
{b
n
}
的公比为
q
，∵
b
n
?3
n
，∴
3
a
1
?q
n?1
?3
a
n
?a
n
?a
1
?
?
n?1
?
log
3
q
。

所以
{a
n
}
是以
log
3
q
为公差的等差数列
.
（
2
）∵
a
8
?a
13
?m,
所以由等差数列性质可得
a
1
?a
20
?a
8
?a
13
?m,

a
1?a
2
?a
3
?
…
?a
20
?
(a
1
?a
20
)?20
?10m?
b
1
b
2
L
b
20
?3
(a
1
?a
2
?
L
?a
20
)
?3
10m

2

2. 由简单递推关系证明等差等比数列
例题14. 已知数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足：
a
1
?1
，
a
2
?2
，
a
n
?0< br>，
b
n
?a
n
a
n?1
（
n?N*
），
且
{b
n
}
是以
q
为公比的等比数列.
2
a?aq
n?2n
（I）证明：；
{c}
（II）若< br>c
n
?a
2n?1
?2a
2n
，证明：数列
n
是等比数列；
111111
????L??
a
2n?1
a
2n
. （III）求和：
a
1
a
2
a
3
a
4a
n?1
a
n?2
b
n?1
?
?q
a
n
a
n?1
解法1：（I）证：由
b
n
，有
2
a?aq
nn?2
（II）证：∵，
a
n?2
?q< br>a
n
2
，
∴
a
n?2
?a
n
q
?
n?N*
?
.
?a
2n?1
?a
2n?3
q
2
?L?a
1
q
2n?2
，
a
2n
?a
2n?2
q
2
?
...
?a< br>2
q
2n?2
，
?c
n
?a
2n?1?2a
2n
?a
1
q
2n?2
?2a
2
q
2n?2
?(a
1
?2a
2
)q
2n?2?5q
2n?2
.
?
?
c
n
?
是 首项为5，公比为
q
2
的等比数列.
1
（III）解：由（II ）得
a
2n?1
?
1
2?2n
11
2?2n
q
?q
2n2
a
1
a
，
a
，于是 111111111
??L??(??L?)?(??L?)
a
1
a2
a
2n
a
1
a
3
a
2n?1
a
2
a
4
a
2n

?

111 11111
(1?
2
?
4
?L?
2n?2
)?(1 ?
2
?
4
?L?
2n?2
)
a
1
qqqa
2
qqq


3111
?(1?
2
?
1
?L?
2n?2
)
2qqq
.
1113 111
??L??(1?
2
?
4
?L?
2n?2
)
?
3
n
a
2n
2qqq
2
. 当
q?1
时，
a
1
a
2
1113111
??L?? (1?
2
?
4
?L?
2n?2
)
a
2n< br>2qqq
当
q?1
时，
a
1
a
2