高中数学数列知识点总结知识讲解

高数学数列
总结
识点中知

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1. 等差数列的定义与性质
定义：< br>a
n?1
?a
n
?d（
d
为常数），
an
?a
1
?
?
n?1
?
d

等差中项：
x，A，y
成等差数列
?2A?x?y

前n
项和
S
n
?
?
a
1
?a
n
?
n
?na
2
1
?
n
?
n?1< br>?
d

2
性质：
?
a
n
?
是等差数列
（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p< br>?a
q
；

（2）数列
?
a
2n?1
?
,
?
a
2n
?
,
?
a
2n? 1
?
仍为等差数列，
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等差数列，公差为
n< br>2
d
；
（3）若三个成等差数列，可设为
a?d，a，a?d

（4）若
a
n
，b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，T
n
，则
a
m
S
2m?1
?

b
m
T
2m?1
（5）
?
a
n
?
为等差数列
?S
n
?an
2
?bn
（
a，b
为常数，是关于
n
的常数项为0的二次函数）
S
n
的最值可求二次函数
S
n
?an
2
?bn
的最值；或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界项，
?
a
n< br>?0
a?0，d?0
即：当
1
，解不等式组
?
可得< br>S
n
达到最大值时的
n
值.
?
a
n?1
?0
?
a
n
?0
当
a
1
?0，d ?0
，由
?
可得
S
n
达到最小值时的
n
值 .
?
a
n?1
?0
(6)项数为偶数
2n
的等 差数列
?
a
n
?
，
有
S
2n
? n(a
1
?a
2n
)?n(a
2
?a
2n?1)???n(a
n
?a
n?1
)(a
n
,a
n ?1
为中间两项)

S
偶
?S
奇
?nd
，
S
奇
S
偶
?
a
n
.
a
n?1
，
有 （7）项数为奇数
2n?1
的等差数列?
a
n
?
S
2n?1
?(2n?1)a
n(a
n
为中间项)
，

S
奇
?S偶
?a
n
，
S
奇
S
偶
?
n< br>.
n?1
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2. 等比数列的定义与性质
定义 ：
a
n?1
?q
（
q
为常数，
q?0
），
a
n
?a
1
q
n?1

.
an
等比中项：
x、G、y
成等比数列
?G
2
?xy，或
G??xy
.

?
na
1
(q?1)?
前
n
项和：
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
（要注意！）
(q?1)
?
?
1?q
性质：
?
a
n
?
是等比数列
·a
n
?a
p
·a
q

（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
（2）
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等 比数列,公比为
q
n
.
注意：由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
n?1
时，
a
1
?S
1
；
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
.

3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
111
如：数列?
a
n
?
，
a
1
?
2
a2
?……?
n
a
n
?2n?5
，求
a
n

222




（2）叠乘法
a
n
如：数列
?
a
n
?
中，
a
1
?3，
n?1
?
，求
a
n

a
n
n?1

（3）等差型递推公式
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由
a
n
?a
n?1
?f(n)，a
1
?a
0
， 求
a
n
，用迭加法

［练习］数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1，a
n
?3


（4）等比型递推公式
a
n
?ca
n?1
?d（
c、d
为常数，
c?0，c?1，d?0
）
n?1
?a
n ?1
?
n?2
?
，求
a
n
（
a
n
?
1
n
3?1
??
2
）
可转化为等比数 列，设
a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?< br>?a
n
?ca
n?1
?
?
c?1
?
x

令
(c?1)x?d
，∴
x?
d
?
d
d
?
a?，c
为公比的等比数列
，∴
?
a
n
?
是首项为
?
1
c?1
c?1
c?1
??
∴
a
n
?
dd
?
n?1
d
?
n?1
d
??
?
?
a
1
?·ca?a?c ?
，∴
n
??
1
?
c?1
?
c?1?
c?1c?1
??
（5）倒数法
如：
a
1
?1，a
n?1
?

附：
2a
n
，求
a
n

a
n
?2公式法、利用
a
n
?
?
S
1
(n?1)
S
n
?S
n?1
(n?2)
、累加法、累乘法.构造等差或等比< br>a
n?1
?pa
n
?q
或
a
n?1
?pa
n
?f(n)
、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)

4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：
?
a
n
?
是公差为
d
的等差数列，求
?
（2）错位相 减法
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1

k?1
a
k
a
k?1
n

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若
?
a
n
?
为等差数列，
?
b
n
?
为等比数列，求数列
?
a
n
b
n
?（差比数列）前
n
项和，可由
S
n
?qS
n
， 求
S
n
，其中
q
为
?
b
n
?的公比.
如：
S
n
?1?2x?3x
2
?4x3
?……?nx
n?1




①
x·S
n
?x?2x
2
?3x
3
?4x
4
?……?
?
n?1
?
x
n?1
?nx
n

①—②
?
1?x
?
S
n
?1?x?x
2
?……?x
n?1
?nx
n

②
x?1
时，
S
n
1?x
?
nx
???
n
n
?
1?x
?
2
1?x
，x?1
时，
S
n
?1?2?3?……?n?
n
?
n?1
?

2
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?相加
2S
n
?
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?…?
?
a
1
?a
n
?
…

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a
2
?a
1
?
x
2
［练习］已知
f(x)?
，则
1?x
2< br>?
1
?
f(1)?f(2)?f
??
?f(3)?
?
2
?
?
1
?
f
??
?f(4)?
?
3
?
?
1
?
f
??
?

?
4
?
(附：
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如 果一个数列{a
n
}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的 两个
和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其< br>果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n
项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列 、等比数列，求前n项和S
n
可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用
公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
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c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项 相抵消，留下有限项，从而求出数列的
前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列
{a< br>n
·b
n
}中，{a
n
}成等差数列，{b
n
}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后
即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{a
n
}满足an+1
=a
n
+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这 个
式子变成a
n+1
-a
n
=f(n)，代入各项，得到一系列式子 ，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a
n
，
从而求出S
n
。
f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组 求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，
可分为几个等差、 等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造 法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的
基本数列的通项的 特征形式，从而求出数列的前n项和。

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