学生学好高中数学发言稿-坑神高中数学视频教程
§2.1 数列的概念与简单表示法
题组一
思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( × )
(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.( × )
(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ )
(4)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.( × )
(5)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( × )
(6)如果数列{a
n
}的前n项和为S
n
,则对?n∈N
*
,都有a
n
+
1
=S
n
+
1
-S
n
.( √ )
题组二 教材改编
?-1?
n
2.[P33A组T4]在数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n
=1+(n≥2),则a
5
等于( )
a
n
-
1
3582
A. B.
C.
D.
2353
答案 D
?-1?
2
?-1?
3
1
解析
a
2
=1+
=2,a
3
=1+
=,
a
1
a
2
2
?-1?
4
?-1?
5
2
a
4
=1+
=3,a
5
=1+
=
.
a<
br>3
a
4
3
3.[P33A组T5]根据下面的图形及相应的点数,写出
点数构成的数列的一个通项公式a
n
=
________.
答案 5n-4
题组三 易错自纠
4.已知a
n
=n
2
+λn,且对于任意的n∈N
*
,数列{a
n
}是递增数列,则实数
λ的取值范围是
________.
答案 (-3,+∞)
解析 因为{a
n
}是递增数列,所以对任意的n∈N
*
,都有a
n
+
1
>a
n
,即(n+1)
2
+λ(n+1)>n
2
+
λn,
整理,
得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*)
因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.
5.数
列{a
n
}中,a
n
=-n
2
+11n(n∈N
*
),则此数列最大项的值是________.
答案 30
11
121
n-
?
2
+, 解析 a
n
=
-n
2
+11n=-
?
2
??
4
∵n∈N
*
,∴当n=5或n=6时,a
n
取最大值30.
6.已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=n
2
+1,则a
n
=__
______.
?
?
2,n=1,
答案
?
?
2n-1,n≥2,n∈N
*
?
解析
当n=1时,a
1
=S
1
=2,当n≥2时,
a
n
=S
n
-S
n
-
1
=n
2
+1-[(n
-1)
2
+1]=2n-1,
?
2,n=1,
?
故a
n
=
?
*
?
?
2n-1,n≥2,n∈N.
题型一
由数列的前几项求数列的通项公式
246
1.数列0,
,,,…的一个通项公式为(
)
357
n-1n-1
A.a
n
=(n∈N
*
)
B.a
n
=(n∈N
*
)
n+22n+1
2?n-1?<
br>2n
C.a
n
=(n∈N
*
)
D.a
n
=(n∈N
*
)
2n-12n+1
答案 C
解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数,对照选项排除即可.
1111
2.数列
-
,,-,,…的一个通项公式a
n
=________.
1×22×33×44×5
1
答案 (-1)
n
n?n+1?
解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且
奇数项为负,偶数项
为正,所以它的一个通项公式为a
n
=(-1)<
br>n
1
.
n?n+1?
思维升华
由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数
列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联
想常见的数列)等方法.
(2)具体策略:
①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项
的符号特征和绝对值特征;
⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻
找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交
替出现的情况,可用(-1)
k
或(-1)
k
1
,k∈N
*
处理.
(3)如果是选择题,可采用代入验证的方法.
+
题型二
由a
n
与S
n
的关系求通项公式
典例 (1)已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=3n
2
-2n+1(n∈N
*),则其通项公式为
________________.
?
?
2,n=1,
答案 a
n
=
?
?
6n-5,n≥2,n∈N
*
?
解析
当n=1时,a
1
=S
1
=3×1
2
-2×1+1=2;
当n≥2时,
a
n
=S
n
-S
n
-1
=3n
2
-2n+1-[3(n-1)
2
-2(n-1)+1
]
=6n-5,显然当n=1时,不满足上式.
?
?
2,n=1,
故数列的通项公式为a
n
=
?
?
6n-5,n≥2,n∈N
*
.
?
21
(2)若数列{a
n
}的前n项和S
n
=a
n
+(n∈N
*
),则{a
n
}的通项公式a
n
=________.
33
答案 (-2)
n
1
2121
解析 由S<
br>n
=a
n
+
,得当n≥2时,S
n
-
1=a
n
-
1
+
,两式相减,整理得a
n
=-2
a
n
-
1
,又当
3333
-
21<
br>n=1时,S
1
=a
1
=a
1
+
,∴a1
=1,∴{a
n
}是首项为1,公比为-2的等比数列,故a
n
=(-
33
2)
n
1
.
思维升华
已知S
n
,求a
n
的步骤
(1)当n=1时,a
1
=S
1
.
(2)当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n
-
1
.
(3)对n=1时的情况进行检验,若适合n≥2的通项则可以合并;若不适合则写成分段函数形式.
跟踪训练 (1)(2017·河南八校一联)在数列{a
n
}中,S
n是其前n项和,且S
n
=2a
n
+1,则数列的
通项公式an
=________.
答案 -2
n
1
解析 由
题意得S
n
+
1
=2a
n
+
1
+1,S<
br>n
=2a
n
+1,
两式相减得S
n
+
1<
br>-S
n
=2a
n
+
1
-2a
n
,
即a
n
+
1
=2a
n
,又S
1
=
2a
1
+1=a
1
,
因此a
1
=-1,所以数列
{a
n
}是以a
1
=-1为首项、2为公比的等比数列,所以a
n<
br>=-2
n
1
.
(2)已知数列{a
n
}的前n项和
S
n
=3
n
+1,则数列的通项公式a
n
=_______
_.
?
?
4,n=1,
答案
?
n
-
1
?
2·3
,n≥2
?
-
-
-
解析 当n=1时,a
1
=S
1
=3+1=4,
当n≥2
时,a
n
=S
n
-S
n
-
1
=3
n
+1-3
n
1
-1=2·3
n
1
.
显然当n=1时,不满足上式.
?
?
4,n=1,
∴a
n
=
?
n
-
1
?
2·3
,n≥2.
?
--
题型三
由数列的递推关系求通项公式
典例 根据下列条件,确定数列{a
n
}的通项公式.
1
1+
?
;
(1)a
1
=2,a
n
+
1
=a
n
+ln
?
?n
?
(2)a
1
=1,a
n
+
1
=2
n
a
n
;
(3)a
1
=1,a
n
+
1
=3a
n
+2.
1
1+
?
, 解
(1)∵a
n
+
1
=a
n
+ln
?
?n
?
1
?
n
?
1+
∴a
n
-
a
n
-
1
=ln
=ln
(n≥2),
?
n-1
?
n-1
∴a
n
=(a
n
-a
n
-
1
)+(a
n
-
1
-a
n
-<
br>2
)+…+(a
2
-a
1
)+a
1
n-1n
n-1
3
n3
?
··…··2
?
=ln
+ln +…+ln +ln 2+2=2+ln
??
=2+ln n(n≥2).
2
n-1n-2
?
n-1n-2
2
?
又a
1
=2适合上式,故a
n
=2+ln n(n∈N
*
).
a
n
-
(2)∵a
n
+
1
=2
n
a
n
,∴
=2
n
1
(n≥2),
a
n
-
1
a
n
a
n
-
1
a
2
--+++…+
(
n
-
1)
∴a
n
=··…··a
1
=2
n
1
·2
n
2
·…·2·1=2<
br>123
=
2
a
1
a
n
-
1
a
n
-
2
又a
1
=1适合上式,故a
n
=
2
n(n?1)
2
n(n?1)
2
.
(n∈N
*
).
(3)∵a
n
+
1
=3
a
n
+2,∴a
n
+
1
+1=3(a
n
+
1),
又a
1
=1,∴a
1
+1=2,
故数列{a
n
+1}是首项为2,公比为3的等比数列,
∴a
n<
br>+1=2·3
n
1
,故a
n
=2·3
n
1<
br>-1(n∈N
*
).
n-1
引申探究 在本例(2)中,若a
n
=·a
n
-
1
(n≥2,且n∈N
*
),其他
条件不变,则a
n
=________.
n
1
答案
n
n-1
解析 ∵a
n
=a (n≥2),
n
n
-
1
n-2
1
∴a
n
-
1
=a<
br>n
-
2
,…,a
2
=a
1
.
2
n-1
以上(n-1)个式子相乘得
n-1
a
1
112
a
n
=a
1
···…·
==
.
23nnn
1
当n=1时也满足此等式,∴a
n
=.
n
思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
(1)当出现a
n
=a
n
-
1
+m时,构造等差数列.
(2)当出现an
=xa
n
-
1
+y时,构造等比数列.
(3)当出
现a
n
=a
n
-
1
+f(n)时,用累加法求解.
--
a
n
(4)当出现
=f(n)时,用累乘法求解.
a
n
-
1
跟踪训练 (1)已知数列{a
n
}满足
a
1
=1,a
2
=4,a
n
+
2
+2a<
br>n
=3a
n
+
1
(n∈N
*
),则数列{a
n
}的通项
公式a
n
=______________.
答案 3×2
n
1
-2
解析 由a
n
+
2
+2a
n
-3a
n
+
1
=0,
得a<
br>n
+
2
-a
n
+
1
=2(a
n+
1
-a
n
),
∴数列{a
n
+
1
-a
n
}是以a
2
-a
1
=3为首项,2为公比的
等比数列,∴a
n
+
1
-a
n
=3×2
n
1
,
∴当n≥2时,a
n
-a
n
-
1
=
3×2
n
2
,…,a
3
-a
2
=3×2,a
2
-a
1
=3,
将以上各式累加,得
a
n
-
a
1
=3×2
n
2
+…+3×2+3=3(2
n
1
-1),
∴a
n
=3×2
n
1
-2(当n=1时,也满足). 1
(2)在数列{a
n
}中,a
1
=3,a
n
+
1
=a
n
+
,则通项公式a
n
=_______
_.
n?n+1?
1
答案 4-
n
11
解析
原递推公式可化为a
n
+
1
=a
n
+
-,
n
n+1
1111
则a
2
=a
1
+
-,
a
3
=a
2
+
-,
1223
1111111a
4
=a
3
+
-,…,a
n
-
1=a
n
-
2
+
-,a
n
=a
n
-
1
+
-,逐项相加得a
n
=a
1
+1-
,
34n
n-2n-1n-1
n
1
故a
n
=4-.
n
题型四 数列的性质
命题点1 数列的单调性
n-1
典例 已知a
n
=
,那么数列{a
n
}是(
)
n+1
A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆动数列
答案
B
2
解析 a
n
=1-
,将a
n
看作关于n的函
数,n∈N
*
,易知{a
n
}是递增数列.
n+1
命题点2 数列的周期性
1
典例 数列{a
n
}满
足a
n
+
1
=
,a
=2,则a
1
=___
____________________________________.
1-a
n
8
-
--
-
-
-
1
答案
2
1
解析 ∵a
n
+
1
=
,
1
-a
n
1
∴a
n
+
1
=
=
1-a
n
1
1
1-
1-a
n
-
1
=1-a
n
-
1
1-a
n
-
1
1
==1-
1-a
n
-
1
-1
-a
n
-
1
a
n
-
1
=1-
1
=1-(1-an
-
2
)=a
n
-
2
,n≥3,
1
1-a
n
-
2
∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.
∴a
8
=a
3
×
2
+
2
=a2
=2.
11
而a
2
=
,∴a
1
=.
2
1-a
1
命题点3 数列的最值
n
典例 数列{an
}的通项a
n
=
2
,则数列{a
n
}中的最
大项是( )
n
+90
110
A.310 B.19 C.
D.
1960
答案 C
90
解析
令f(x)=x+
(x>0),运用基本不等式得f(x)≥290,当且仅当x=310时等号成立.
x
1111
因为a
n
=
,所以≤,由于n∈N
*<
br>,不难发现当n=9或n=10时,a
n
=
最大.
9090
290
19
n+n+
nn
思维升华
(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法,根据a
n
+
1
-a
n
的符号判断数列{a
n
}是递增数列、递减数列还是常数
列.
a
n
+
1
②用作商比较法,根据
(a>0或a
n
<0)与1的大小关系进行判断.
a
n
n
③结合相应函数的图象直观判断.
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.
跟踪训练 (1)数列{
a
n
}满足a
n
+
1
?
=
?
1<
br>2a-1,
<a
<1,
?
2
nn
1
2an
,0≤a
n
≤
,
2
3
a
1
=
,则数列的第2 018项为
5
________.
1
答案
5
31
解析
由已知可得,a
2
=2×
-1=,
55
12
a
3
=2×
=,
55
24
a
4
=2×
=,
55
43
a
5
=2×
-1=,
55
∴{a
n
}为周期数列且T=4,
1
∴a
2
018
=a
504
×
4
+
2
=a
2
=.
5
a
n
-1
(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{
a
n
}的首项为2,且数列{a
n
}满足a
n
+
1
=
,数列{a
n
}的
a
n
+1
前n项的和
为S
n
,则S
2 016
等于( )
A.504 B.588
C.-588 D.-504
答案 C
a
n
-1
11
解析 ∵a
1
=2,a
n<
br>+
1
=
,∴a
2
=
,a
3
=-,a
4
=-3,a
5
=2,…,∴数列{a
n
}的周期
为
32
a
n
+1
7
7
-
?
=-5
88,故选C.
4,且a
1
+a
2
+a
3
+a<
br>4
=-
,∵2 016÷4=504,∴S
2
016
=504×
?
?
6
?
6
解决数列问题的函数思想
10
?
n
典例 (1)数列{a
n
}的通项公式是a
n
=(n+1)·
?
?
11
?
,则此数列的最大项是第________项.
(2)若a
n
=n
2
+kn+4且对于n∈N
*
,都有a
n
+
1
>a
n
成立,则实数k的取值范围是__________.
思想方法指导
(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数;(2)数列的最值可以根据单调
性进行分析.
1010
解析 (1)∵a
n
+
1
-an
=(n+2)
?
?
11
?
?
n
+<
br>1
-(n+1)
?
?
11
?
?
n
=
?
10
?
n
9-n
?
11
?<
br>×
11
,
当n<9时,a
n
+
1
-an
>0,即a
n
+
1
>a
n
;
当n
=9时,a
n
+
1
-a
n
=0,即a
n
+
1
=a
n
;
当n>9时,a
n
+
1-a
n
<0,即a
n
+
1
n
,
∴该数列中有最大项,且最大项为第9,10项.
(2)由a
n
+
1
>a
n
知该数列是一个递增数列,
又∵通项公式a
n
=n
2
+kn+4,
∴(n+1)
2
+k(n+1)+4>n
2
+kn+4,
即k>-1-2n,又n∈N
*
,∴k>-3.
答案 (1)9或10
(2)(-3,+∞)
1.(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,
0,则依此归纳该数列的通项不可能是(
A.a
n
=(-1)
n
-<
br>1
+1 B.a
?
?
?
2,n为奇数,
n
=
?
?
0,n为偶数
C.a
nπ
n
=2sin
2
D.a
n
=cos(n-1)π+1
答案 C
解析
对n=1,2,3,4进行验证,知a
n
=2sin
nπ
2
不合题意,故选C.
2.(2018·葫芦岛质检)数列
2
468
3
,-
5
,
7
,-
9
,…的第10
项是( )
)
16182022
A.-
B.-
C.-
D.-
17192123
答案 C
解析 所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:
2
n20
+
符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a
n
}的通项公式a
n
=(-1)
n
1
·
,故a
10
=-.
21
2n+1
22
3.(2017·黄冈质检)已知在正项数列{a
n}中,a
1
=1,a
2
=2,2a
2
n
=a<
br>n
+
1
+a
n
-
1
(n≥2),则a
6
等于
( )
A.16 B.4 C.22 D.45
答案
B
222222
解析 由题意得a
2
n
+
1
-a
n
=a
n
-a
n
-
1
=…=a
2
-a
1
=3,故{a
n
}是以3为公差的等差数列,即
2<
br>a
2
n
=3n-2.所以a
6
=3×6-2=16.又an
>0,所以a
6
=4.故选B.
a
n
-
1
4.若数列{a
n
}满足a
1
=2,a
2
=3,a
n
=(n≥3且n∈N
*
),则a
2 018
等于( )
a
n
-
2
12
A.3 B.2 C.
D.
23
答案 A
a
2
3a
3
1
解析
由已知a
3
=
=,a
4
=
=,
a
12a
2
2
a
4
1a
5
2
a
5
=
=,a
6
=
=,
a
3
3a
4
3
a
6
a
7
a
7
=
=2,a8
=
=3,
a
5
a
6
∴数列{a
n
}具有周期性,且T=6,
∴a
2 018
=a
336
×
6
+
2=a
2
=3.
5.(2018·长春调研)设a
n
=-3n<
br>2
+15n-18,则数列{a
n
}中的最大项的值是( )
1613
A. B.
C.4 D.0
33
答案 D <
br>5
3
n-
?
2
+,由二次函数性质,得当n=2或3时,a<
br>n
最大,最大为0.
解析 ∵a
n
=-3
?
?2
?
4
?
?
?5-a?n-11,n≤5,
6.(20
17·江西六校联考)已知数列{a
n
}满足a
n
=
?
n<
br>-
4
且{a
n
}是递增数列,则
?
a
,n>
5,
?
实数a的取值范围是( )
7
?
7
,5
C.
?
,5
?
D.(2,5)
A.(1,5)
B.
?
?
3
??
3
?
答案 D
?
?
?5-a?n-11,n≤5,
解析 ∵a
n<
br>=
?
n
-
4
且{a
n
}是递增数列,
?
a
,n>5,
?
5-a>0,
?
?<
br>∴
?
a>1,
?
?
5?5-a?-112
,
解得2134
7.若数列{a
n
}满足关系a
n
+
1
=1+
,a
8
=
,
则a
5
=________.
a
n
21
8
答案
5
21138
解析 借助递推关系,由a
8
递推依次得到a
7
=
,a
6
=
,a
5
=.
13858.已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=n
2
+2n+
1(n∈N
*
),则a
n
=________.
?
?
4,n=1,
答案
?
?
2n+1,n≥2
?
解析 当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n
-
1
=2n+1,
当n=1时,a
1
=S
1
=4≠2×1+1,
?
4,n=1,
?
因此a
n
=
?
?
2n+1,n≥2.
?
6
?
n
9.(
2018·大庆模拟)已知数列{a
n
}的通项公式a
n
=(n+2)·?
?
7
?
,则数列{a
n
}的项取最大值时,n
=________.
答案 4或5
?
?
a
n
≥a<
br>n
-
1
,
解析 假设第n项为最大项,则
?
?
a
n
≥a
n
+
1
,
?
?
即
?
?
6
?
≥?n+3?·
?
6
?
?n+2?·
?
?
7
??
7
?
n
6
?
n
?
6
?
n
-
1
,?n+2?·
?
≥?n+1?·
?
7
??
7
?
n
+
1
,
?
?
n≤5,
解得
?
即4≤n≤5,
?
n≥4,
?
又n∈N
*
,所以n=4或n=5,
6
5
故数列{an
}中a
4
与a
5
均为最大项,且a
4
=a<
br>5
=
4
.
7
10.(2017·太原模拟)已知数列{a<
br>n
}满足a
1
=1,a
n
-a
n
+
1
=na
n
a
n
+
1
(n∈N
*
),则a
n
=__________.
答案
2
n2
-n+2
n
2
-n
111
解析 由a
n
-a
n
+
1
=na
n
a
n+
1
,得
-=n,则由累加法得-=1+2+…+(n-1)=,
a<
br>n
a
1
2
a
n
+
1
a
n<
br>1
n
2
-n+2
1
n
2
-n
又因为
a
1
=1,所以
=+1=,
a
n
22
2
所以a
n
=
2
(n∈N
*
).
n
-n+
2
11
*
11.已知S
n
为正项数列{a
n
}的前
n项和,且满足S
n
=a
2
n
+a
n
(n∈N).
22
(1)求a
1
,a
2
,a
3
,a4
的值;
(2)求数列{a
n
}的通项公式.
11
*
解
(1)由S
n
=a
2
n
+a
n
(n∈N)可得
22
11
a
1
=a
2
1
+a
1<
br>,解得a
1
=1,
22
11
S
2
=a1
+a
2
=a
2
2
+a
2
,解得a<
br>2
=2,
22
同理,a
3
=3,a
4
=4.
a
n
1
2
(2)S
n
=
+
a
n
,①
22
a
n
-
1
1
2
当n≥2时,S
n
-
1
=
+
a
n
-
1
,② <
br>22
①-②得(a
n
-a
n
-
1
-1)(a
n
+a
n
-
1
)=0.
由于a
n
+a
n
-
1
≠0,所以a
n
-a
n
-<
br>1
=1,
又由(1)知a
1
=1,
故数列{a
n
}为首项为1,公差为1的等差数列,
故a
n
=n.
2
}的前n项和为T,12.已知数列{a
n
}的各项均为正数,记数列{a
n
}的前n项和为S
n
,数列{a
nn
*
且3T
n
=S
2
n
+2S
n
,n∈N.
(1)求a
1
的值;
(2)求数列{a
n
}的通项公式.
解
(1)由3T
1
=S
2
1
+2S
1
,
2
2
得3a
2
1
=a
1
+2a
1
,即a1
-a
1
=0.
因为a
1
>0,所以a
1
=1.
(2)因为3T
n
=S
2
n
+2S
n
,①
所以3T
n
+
1
=S
2
n
+
1<
br>+2S
n
+
1
,②
22
②-①,得3a
2
n
+
1
=S
n
+
1
-S
n
+2a
n
+
1
.
因为a
n
+
1
>0,所以3a
n
+
1
=S
n
+
1
+S
n
+2,③
所以3a
n
+
2
=S
n+
2
+S
n
+
1
+2,④
④
-③,得3a
n
+
2
-3a
n
+
1
=a<
br>n
+
2
+a
n
+
1
,
即a
n
+
2
=2a
n
+
1
,
a
n
+
1
所以当n≥2时,=2.
a
n
又由3T
2
=S
2
2
+2S
2
,
2得3(1+a
2
2
)=(1+a
2
)
+2(1+a2
),
即a
2
2
-2a
2
=0.
a
2
因为a
2
>0,所以a
2
=2,所以
=2,
a
1
所以对n∈N
*
,都有
a
n
+
1
=2成立,
a
n
-
所以数列{a
n
}的通项
公式为a
n
=2
n
1
,n∈N
*
.
<
br>a
n
+
2
a
n
+
1
13.(201
7·江西师大附中、鹰潭一中联考)定义:在数列{a
n
}中,若满足
-=d(n∈N
*
,
a
a
n
+
1
n
d为常数),
称{a
n
}为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{a
n
}中,a
1
=a
2
=1,a
3
=3,则
a
2
015
等于( )
a
2 013
A.4×2
015
2
-1 B.4×2 014
2
-1 C.4×2
013
2
-1 D.4×2 013
2
答案 C
?<
br>a
n
+
1
?
a
n
+
1
a<
br>n
a
n
-
1
?
是首项为1,公差为2的等差数列,则
解析 由题知
?
=2n-1,所以a
n
=
×
a
n<
br>a
n
-
1
a
n
-
2
?
a<
br>n
?
a
2
×…××a
1
=(2n-3)×(2n-5
)×…×1.
a
1
a
2 015
?2×2 015-3??2×2
015-5?×…×1
所以=
a
2 013
?2×2
013-3??2×2 013-5?×…×1
=4 027×4 025=(4 026+1)(4
026-1)=4 026
2
-1=4×2 013
2
-1.
2
?
n
??
?
14.若数列
?
n?n+
4?
?
?
3
?
中的最大项是第k项,则k=________.
??
答案 4
解析 设数列为{a
n
},则
2
?
n
+
1
?
2
?
n
a
n
+
1
-a
n
=(n+1)(n+5)·
?
-n(n+4)·
?
3
??
3
?
2
?
n
?
2
2
2
?n+6n+5?-n
2
-4
n
?
=
n
+
1
(10-n
2
).
=
?
?
3
??
3
?
3
所以当n≤3时,
a
n
+
1
>a
n
;
当n≥4时,a
n
+
1
n
.
因此,
a
1
2
3
4
,a
4
>a
5
>a
6
>…,
故a
4
最大,所以k=4.
n
15.在数列{a
n
}中,a
1
=1,a
2
=2,若a
n
+
2
=2a
n
+
1
-a
n
+2,则a
n<
br>等于( )
126
A.n
2
-
n+
B.n
3
-5n
2
+9n-4 C.n
2
-2n+2
D.2n
2
-5n+4
555
答案 C
解析 由题意得(an
+
2
-a
n
+
1
)-(a
n
+
1
-a
n
)=2,
因此数列{a
n
+
1
-a
n
}是以1为首项,2为公差的等差数列,a
n
+
1
-a
n
=1+2(n-1)=2n-1,当
n≥2时,a
n
=a
1
+(a
2
-a
1
)+(a
3
-a
2
)+…+(a
n
-a
n
-
1
)=1+1
+3+…+(2n-3)=1+
?1+2n-3??n-1?
=(n-1)
2
+1=n
2
-2n+2,又a
1
=1=1
2
-2×1+2,
因此a
n
=n
2
-2n+
2
2(n∈N
*
),故选C.
2
16.(2017·太原五中模拟)设{a
n
}是首项为1
的正项数列,且(n+1)a
2
n
+
1
-na
n
+
a
n
+
1
·a
n
=0(n=
1,2,3,…),则
它的通项公式a
n
=________.
1
答案
(n∈N
*
)
n
解析
因为数列{a
n
}是首项为1的正项数列,
所以a
n
·a
n
+
1
≠0,
?n+1?a
n
+
1
na
n
所以-+1=0. <
br>a
n
a
n
+
1
令
a
n
+<
br>1
=t(t>0),则(n+1)t
2
+t-n=0,
a
n
分解因式,得[(n+1)t-n](t+1)=0,
a
n<
br>+
1
nn
所以t=或t=-1(舍去),即=
.
a
n
n+1n+1
方法一 (累乘法)
n-1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
n
1234<
br>因为
····…·
=
····…·
,
a
1
a
2
a
3
a
4
n
a
n
-
1
2345
1
所以a
n
=(n∈N
*
).
n
方法二 (迭代法)
n
因为a
n
+
1
=a,
n+1
n
n-1n-1n-2n-1n-2n-3n-1n-2n-3
1
所以a
n
=
a
n
-
1
=··a
n
-
2
=···an
-
3
=…=···…·a
1
,
nn
n-1
n
n-1n-2
n
n-1n-2
2
1
所以a
n
=(n∈N
*
).
n
方法三 (特殊数列法)
a<
br>n
+
1
?n+1?a
n
+
1
n
因为
=,所以=1.
a
n
n+1
na
n
所以数列{na
n
}是以a
1
为首项,1为公比的等比数列.
所以na
n
=1×1
n
1
=1.
1
所以a
n
=(n∈N
*
).
n
-
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