2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(216)(无答案)

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2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（216）（无答案）
















______年______月______日


____________________部门








1 4

第一试

一、填空题

1.若，则的最大值为 。
f(x)?x?27?13?x?x
f(x)

2.已知的周长为4，且。则的面积为 。
?ABC
a?bcsin
2
A
?ABC

3.已知函数。若，则实数的取值范围是 。
f(x)?x
2
?2x?a
?
xf(x)?x
?
?
?
xf(f (x))?x
?
a

4.设O为正三棱锥P—ABC底面的中心，各侧棱两两 夹角为，PC与平面
PAB所成角为.记点O到各面的距离为，过点O的动平面与PC交于点S，
与PA、PB的延长线分别交于点Q、R。则 (结果用含的表达式
表示)。
?
、
?
、d

5.设 为平面上的两点，为点关于的对称点，为点关于的对称点，.若,
PP?1P
2017
P
2018
?
则 。
P
1
、P
2
P
2k?1
P
2k
P
1
P
2k ?2
P
2k?1
P
2
k?Z
?
12
6.在数列中，若相邻两项为二次方程的两个根，则当
2
a
n
?
a
n
、a
n?1
x
n
?
?3nx
n
?c
n
?0(n?1,2,…)
a
1
?2c
100
?

时， 。
7.一种单人纸牌游戏的规则如下：将七对不 相同的纸牌放入一个书包
中，游戏者每次随机地从书包中取牌并放回，不过当取到成对的牌时，
就将成对的牌放到一边，当游戏者每次总取三张牌（所剩的若不够三
张牌就全部取完）时，若取到三张牌 中两两互不成对，游戏就结束；
否则，取牌继续进行，直到书包中没有纸牌为止，则书包空的概率
为 。

8.设椭圆的离心率，其通径（过焦点且垂直于长轴的焦直 径）为两焦
点，P为椭圆上除长轴端点外的任何一点，的平分线PM与长轴交于点。

2 4

3
x
2
y
2
E:
2
?
2
?1(a?b?0)
e?
2
则的取值范 围是 。
ab
d?1,F
1
、F
2< br>?F
1
PF
2
M(m,0)
m

二、解答题

32
P(x)?x?ax?bx?c
9.设实系数三次 多项式有三个非零实根，证明：
6a?10(a?2b)?12ab?27c

32< br>3
2
10.已知点满足且,过点的直线为
P
n
(a
n
,b
n
)
P
1
(1,?1)P
1
、P2
l

a
n?1
?a
n
b
n?1,b
n?1
?
b
n
(n?Z
?
)
2< br>1?4a
n
（1）证明：对于任意的，点均在直一上；
n?Z
?
P
n
l

（2）求对所有，均有的最大实数的值。
n?Z
?
(1?a
1
)(1?a
2
)…(1?a
n
)?< br>k
b
2
b
3
…b
n?1
k

11.已知为抛物线内一定点，过E作斜率分别为的两条直线，与抛物线
交于点A、B、C、D，M、 N分别为线段AB、CD的中点。
E(m,n)
y
2
?2px(p?0)k
1
、k
2

（1）当且时，求面积的最小值。
n?0
k
1
k
2
??1
?EMN

（2）若，证 明：直线MN过定点。
k
1
+k
2
?
?
(常数?0 )

加试

一、
如图1，与交于A、B两点，且点O1在上，P为弧 上一点，PC平分
与交于点C，延长CP与交于点D，过D作的切线与直线AB交于点Q，
CD 与AB交于点E，证明：。
O
O
1
E?CQ

O
1
OO
AO
1
B
?APB
O
O
1
O
1

3 4

m
3
?n
3
?m
2
n
2
2
(m?n)
m、n
二、 求所有的正整数，使得为非负整数

三、给定整数，设。证明：
m?3
a1
,a
2
,…,a
m
?0,n?m,且n?Z
?
?
a
i
?
m
?(a
m?1
?a
1
)
??
?
n
a?a2
i?1
?
ii?1
?

m
n
四、平面上有个点，任意三点不共线，任意两点之间连一条线段，并
将每条线段染为红色与蓝色之一，称三边颜色相同的三角形为“同色
三角形”.记同色三角形的 个数为S。
n

（1）若，对于所有可能的染法，求S的最小值。
n?6

（2）若，对于所有可能的染法，求S的最小值。
n?2k(整数k?4)



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