[推荐学习]2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(190)(无答案)

生活的色彩就是学习
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（190）（无答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 已知函数
y?
围是.
x
2
?1
x?1
的图像与 函数
y?kx?2
的图像恰有两个交点.则实数
k
的取值范
0
2. 在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，底面 边长和侧棱长均相等，
?BAA
1
??CAA
1
?60
.则 异
面直线
AB
1
与
BC
1
所成的角为.
3. 已知椭圆
x
2
?4(y?a)
2
?4
与抛物 线
x
2
?2y
有公共点.则
a
的取值范是.
4. 如图1，在边长为2的正六边形
ABCDEF
中，动圆
Q
的半径为1，圆心在 线段
CD
（含
端点）上运动，
P
为

Q
上及内部的动点，设向量
AP?mAB?nAF(m、n?R)
.则
m?n
的 取值范围是.
n
k?1
k
?
C
n
?
1< br>?
?
5. 计算：
?
?
??
?
?
.
k?0
?
?
k?1
?
2
?
?
?< br>6. 设
P,2,3),P
2
(2,4,1),P,k,5),P
4< br>(4,k?1,3)
是空间中体积为1的一个四面体的四个
1
(1
3< br>(1
顶点.则
k?
.
7. 已知数列
?
a
n
?
满足
a
0
?0,a
n?1
?
86< br>n2
a
n
?4?a
n
(n?0,n?N)
.则
a
10
?
.
55
8. 将正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的八个顶点用四种不同的颜色染色 ，要求同一条棱的两个
端点颜色不相同，一共有种染法.
二、解答题（共56分）
K12的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习
9.（1 6分）在
?ABC
中，若
cosAcosB
??2
，证明：
?A??B?90
0
.
sinBsinA





10.（20分）已知双曲线
y?
1
?
1
?上有一点
A
?
a,
?
(a?0)
，点
A
关于原点的对称点为
B
，以
AB
x
?
a
?
长为半径作
A
与双曲线交于
P、Q、R
三点.证明：
?PQR为正三角形.






11.（20分 ）已知
a、b、c?R
?
，且
a?b?c?3
.证明：





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222
111
???3
.
2?a2?b2?c

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加 试
0
一、（40分）如图2，在
?ABC
中，
?ABC?90
，
M
为边
AC
的中点，
AT?AC
，
TM
的
延长线与
BC
交于点
D
，联结
T B
.证明：
?ABT??CAD
.















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二、（40分）求方程
x!?y!?x
y
的 全部正整数解
(x,y)
.

















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三、（50分）已知
n
为给定的不小于2的正整数.对于所有的 非负数组
a
i
(i?1,2,,n)
，求

?
n< br>??
n
a
i
?
?
?
ia
i
??
?
i
?
?
i?1
??
i?1
?
的最大值.
2
?
n
?
?
?
a
i
?
?
i?1
?















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四、(50分)有座城市，任意两座城市之间可以建设单向的航线.问：是否可以 找到一种构建航
线的方法，使得从一座城市至多转机一次就可以到达另外任何一座城市？
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