2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(180)(无答案)

从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全 石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩


2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（180）（无答案）


第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

1.
2014把椅子排成一圈，有个人坐在椅子上，使得再有一人坐入时，
总与原来 的个人中的一人坐在相邻的椅子上.则的最小值为.
nnn

2.
在中，已 知.设为的内心，且.
????????????
????????????
则.?ABC
AB?2,AC?3,BC?4
O?ABC
AO?
?
A B?
?
BC
?
?
?
?

3.
已知一个球与棱长为的正四面体的六条棱均相切.则此球的体积
为.
a

4.
设函数.若对任何，均有，则的最小值
为.
f(x)?k(x
2
?x?1)?x
3
(1?x)
3
x?
?
0,1< br>?
f(x)?0
k

5.
在直角坐标平面上，若一个过原点 且半径为的圆完全落在区域内，
则的最大值为.
r
y?x
4
r

6.
已知数列满足，且.则与最接近的自然数
2
为.
?
a
n
?
a
n
?a
n?1
a
n
? 1(n?Z
?
)
a
1
?2
a
2014

7.
已知，且.则的最大值为.
x、y、z?R
?
x?y?z?6
x?xy?xyz

3
8.
将“马”“上”“成”“功”这四个字填在一个的方格表中，每个小方

欧阳修，字永 叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠， 嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离， 至于再三，志气自若也。
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从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻 水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁 ，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩

格内至多填1个字，“马”“上”始终按 从左往右的顺序填写，“成”“功”
也始终按从左往右的顺序填写，且“马”“上”必须在同一行或按从 上
往下的顺序在同一列，或者“成”“功”必须在同一行或按从上往下的
顺序在同一列.则不同 的填法种数为（用数字作答）.
5?5

二、解答题（共56分）

9.（16分）设.对所有不同的子集，有.证
111
?????2

a
1
a
2
a
n
明：.
A?
?
a
1
,a
2
,?,a
n
?
?Z
+
B 、C?A
?
x?
?
x
x?Bx?C
10.（20分）已知函 数与的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的
四边形的周长为6.求实数的值.
f(x)? x
2
?2axg(x)??x
2
?1
a

11.（ 20分）椭圆与双曲线有公共焦点，与的离心率之差不超过1，且
有一条渐近线斜率不小于，与轴正半轴 分别交于，且两曲线在第一象
限的交点为.问：的面积是否有最大值？若有，求出最大值并给出的方程；若没有，请说明理
由.
C
1
C
2
(?c,0)(c ?0)
C
1
C
2
C
2
3
C、C
2
x
A、B
D
?ABD
C
1
、C
2

4
1
加 试

一、（40分）将的边分别延长到点，使，与交 于点，设分别是的垂心、
外心.证明：直线过点.
AE?BE,BF?CF
EA
FC
D
H、O
?ABC
HO
D

二、（40分）设是给定的自然数，对于个给定的实数，记的最小值
为.若，求
的最大
欧阳修，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。 幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机 阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志气自若也。
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