2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(179)

——教学资料参考参考范本——



















2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（179）
















______年______月______日


____________________部门







1 4

第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

?1
y?f(x?1)
y?f(x?1)
1.
若函数的反函数为， 且，则满足的最小正整数.
f(1)?3999f(n)?n
n?

2. < br>已知数列满足.则（填“＜”“＝”“＞”）.
?
a
n
?
11
a
0
?,a
n
?(1?a
n?1
)(n?1,2, )
1?a
2014
0.3
2014

32
3. < br>设非负实数满足.则的最小值为.
x、y、z
x?y?z?1
t?9?x
2
?4?y
2
?1?z
2

4.
用一块边长为 2的正方形纸片（顶点为，中心为）折成一个正四棱
锥.当该四棱锥体积最大时，二面角的平面角的大小 为.
A、B、C、D
O
O?ABCDA?OB?C

5.
甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可
以将球传给另外三人中的任何一人.一次 传球后，每个人仍各有一个球
的概率为.

6.
给定非零实数.若函数满足 ：对任意实数均有，则方程有个实根.
a
f:R?R
x
f(f(x))?xf (x)?a
f(x)?0

7.
给定整数.若关于的方程的根在复平面上对 应四个点为正方形四
个顶很快空，则正方形的面积的最小值为.
a、b、c、d
zz
4
?az
3
?bz
2
?cz?d?0
A、B 、C、D
ABCD

8.集合的个不同子集满足：对任意的均有.则的最大值为.I?
?
1,2,,2n?1
?
(n?Z
+
)
k
A
1
,A
2
,,A
k
i、j(1?i?j?k)< br>
二、解答题（共56分）

9.（16分）设.求最小的正实数，使得对任意的，均有.


2 4

10.（20分）已知为椭圆的长轴，为椭圆的一条弦，过点的切线交于点，
的延长线与的延长线交于点，的延长线与的延长线交于点.若三点共线，
EP
求.?
C、D
PAD
CB
E
AC
DBF
E、P、F
PF

11.（20分）自然数使得与均为11的倍数，且.求的最小值.
a 、b
4a?7b5a?6ba?21b?792T?21a?b

加 试

一、
（40分）如图1，已知交于两点，分别在上，且与相切，与相切，
的延长线与的外接圆交于点.证明：
N
CD
M

（1）
（2）
EB?BC
.

；

二、（ 40分）设为非负实数，且.证明：.
x、y、z
x?y?z?1
(x
2?z
2
)y(y
2
?z
2
)x(x
2
?y
2
)z1
???
x?zy?zx?y2

三、（50分 ）已知为正整数，集合的个三元子集满足：对任何的其他
三元子集，均存在整数和子集使得.求的最小值 .
n
I?
?
1,2,,n
?
(n?3)
k
A
1
,A
2
,,A
k
IB
m
A
i
(1?i?k)
?
yy?x?m(modn),1?y?n,x?A
i
?
?B
k

四、
（50分）甲、乙两人轮流吹同一只气球，当且仅 当气球的气体体积
（单位：毫升）大于20xx时，气球会被吹破.先由甲开始吹入1毫升
气体 ，约定以后每次吹入的气体体积为上一次体积的2倍或，且吹入
1
的气体体积为整数.
V
2

（1）
若谁先吹破气球谁输，问谁有必胜策略？证明你的结论.

（2）若在不吹破气球的前提下，约定单次吹入的气体体积最大者为
赢家（如果吹入的体积相同，则最先吹 出的最大体积者为赢家）.问：

3 4

谁有必胜策略？证明你的结论.

（3）

4 4