2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(215)

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2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（215）
















______年______月______日


____________________部门







1 4

第一试

一、填空题

1.已知数列满足对于任意正整数，均有。则
2017
k?2
a
?
a
?
n
?
n
n
k
?n
3
k?1
?
a
1
?
k
?1

22
x、y
x?y?xy?12
2.已知实数满足则的最大值为
x
2
?y
2

3.若从1，2，…，14这14个整数中同 时取三个数，使得任何两数之
差的绝对值不小于3，则不同的取法数为 。

4.在中，CA=2,CB=6,,若点O在的平分线上，满足,且，则的取值范围
0
是 。
?ABC
?ACB?60
?ACB11
??n?
OC
OC?mOA?nOB(m、n?R)
420

5.如图1，正方形ABCD的边长为1，E、F分别
为边BC、AD的中点，将沿BF所在直 线进行翻折，
将沿DE所在直线进行翻折，则在翻折的过程中，
点A与C之间的最大距离为 。
?ABF
?CDE

6.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，左、右 顶点分别为A、B，过
右焦点F2的直线与椭圆C交于点。若,则实数= 。
x
2
y
2
C:??1
l:x?my?1
M(x
1< br>,y
1
)、N(x
2
,y
2
)(y
1
?0,y
2
?0)
MA?NF
1
m

98
7.已知函数，对于任意的恒有。则实数的取值范围
2
是 。
f(x)?x?2x?alnx
t?1
f(2t?1)?2f(t)?3
a


2 4

4034
k?0
8.若的展开式，则 。
1344
k?0
f(x)?
?
a
k
x
k
与(x
2
?x?2)
2017
（2a
?
3k
?a
3k?1< br>?a
3k?2
）=

二、解答题

2
an
a?2,a
n?1
?
a
n
?
1
?< br>a
n
?2
9.在数列中，。证明：
2ka
k
?4?
a?2
k?1
k

n
10.在中，所对的边分别为. 若,求的度数。
?ABC
?A、?B、?C
a、b、c
(a
2
?b
2
)(a
2
?ac?b
2
)?b
2
c
2
?C

?A=39
0
，
11.如图2，椭圆， 抛物线，过抛物线上一点P（异于原点O）作切线，
x
2
y
2
C1
:??1
C:y
2
?4x
CC
2
2
l
1

43
与椭圆交于A、B两点。
（1）切线在轴上的截取的取值 范围；
l
x

（2）面积S的最大值。
?AOB

加试

a、b、c
?
一、求所有的整数数对，使得为形如
?
N?
(a?b)(b?c)(c?a)
?2
2

1729
m
(m?N)
的正整数。

二、已知为非零复数， 且。证明：
a、b、c
max
?
ac?b,bc?a
?
?< br>1ab
a?b?
2ab

ab
?
ab
。

三、如图3，在锐角中，D为平分线上一点，延长CD、BD，分别与AB、

3 4

AC交于点E、F，直线EF与的外接圆交于M、N两点，O为的外心。 证
明：。
?ABC?BAC?ABC
?
?DMNOD?BC

四、将圆周上的所有点进行三染色。证明：存在无穷多个等腰三角形，
其顶点均为圆周上的同色点。< br>


4 4