【2019精选】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(199)(无答案)

对于绝大部分学生来说，但凡想在成绩上有所突破，就必然遇到时间不够用的难题。每天在不同的 学习任务之间奔波，还要针对薄弱科目进行额外的学习，每天两点一线，一转眼功夫，下一场考试就来到跟前。但 是努力却不见效果，所以最近有个词特别流行——“假努力但在很多人的印象中，成绩好的学生似乎学得都很轻松 ，不仅吃喝玩乐样样不耽误，也很少见到熬夜学习的情况。对学霸来说，比起投入大量的时间在学习上，他们更看 重的是学习效率。这样的勤奋，才是真勤奋！

【2019精选】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（199）（无
答案）



第一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1。三元函数的最小值为
f(x,y,z)?x
2
?2y
2
?3z
2
?2xy?4yz?2zx?6x?10y?12z

2。设复数，，其中，。当取到最小值时， 。
z
1
?( 6?a)?(4?b)iz
2
?(3?2a)?(2?3b)iz
3
?(3? a)?(3?2b)i
a、b?R
z
1
?z
2
?z
3
3a?4b?

3。设过原点的直线与函数的图像有且仅有三个交点，为交点横坐标 中
(1?a
2
)sin2a
?

的最大者，则 。
l
y?sinx(x?0)
a
2a
4。已知为空间直角坐标系内一 定点，过作一平面与三坐标轴的正半轴
分别交于三点，则所有这样的四面体的体积V的最小值为 。
P(1,4,5)O?xyz
P
A、B、CO?ABC

5。设为满足的点构成的区域，则区域的面积为 （表示不超过实
?
x?0,
?
(x,y)
?
?
x
?
x

数的 最大整数）。
?
?
y?0,
?
x?y?x?y?5
????
?
6。形如的函数图像类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，并把其与
轴的交点关于 原点的对称点称为“囧点”。以囧点为圆心凡是与囧函

- 1 - 3

< br>对于绝大部分学生来说，但凡想在成绩上有所突破，就必然遇到时间不够用的难题。每天在不同的学习任务 之间奔波，还要针对薄弱科目进行额外的学习，每天两点一线，一转眼功夫，下一场考试就来到跟前。但是努力却 不见效果，所以最近有个词特别流行——“假努力但在很多人的印象中，成绩好的学生似乎学得都很轻松，不仅吃 喝玩乐样样不耽误，也很少见到熬夜学习的情况。对学霸来说，比起投入大量的时间在学习上，他们更看重的是学 习效率。这样的勤奋，才是真勤奋！

数有公共点的圆，称为“囧圆”。当时，所有的囧圆中面积的最小值
为 。
y?
b
(a、b?0)
y
a?b?1

x?a< br>7。已知20块质量为整数克的砝码可称出1，1，…，2014克的物品，
砝码只能放在天平一 端，则最大砝码质量的最小值为 克。

8。六名男生和名女生随机站成一排，每名 男生均至少与另一名男生相
邻，至少有四名男生站在一起的概率为，若则的最小值
为 。
a
p
P?
二、解答题（共56分）

9。（16分）已知 。求的最小值。
a、b?0,a?b?1
y?
?
?
a?
?< br>1
??
1
?
b?
???

2015a
??
2015b
?
1
,
a
< br>100
10。（20分）第一个月有一对大兔，每月繁殖出3只雄兔、2只雌兔，
小雌兔 隔月长大后也同样繁殖出3只雄兔、2只雌兔。问：第个月后共
有多少只兔子？
n(n?Z?
)

11。（20分）设为椭圆上任一点，为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆的
另一个交点分别为。证明：为定值。
PF
1
PF
2
x
2
y
2
P
2
?
2
?1(a?b?0)
F
1
、F
2
PF
1
、PF
2
M、N

?
ab
F
1
MF
2
N
加试
一、（40分）如图1，凸四边形ABCD的对角线交于点M,P、Q分别为的
重心，R、S分别为 的垂心。证明：。
?AMD、?CMB?DMC、?MAB
PQ?RS

二、 （40分）给定任正数和正整数。求最大下数，使得只要正数满足，
则必有
k(k?2)n(n ?3)
?
a
1
,a
2
,…a
n
(a
1
?a
2
??a
n
)
?

- 2 - 3
?
111
?
???
?
?
?
a
1
?a
2
?ka
3

a
n
??
a
1
a
2