高中数学奥林匹克竞赛训练题(26)

数学奥林匹克高中训练题（26）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
x
2
?y
2
x?y
x?y
1．(训练题59)已知
x,y
是两个不等的正数，则
A?
，
B??xy
，
?
2
22
C?xy?
2
11
?
xy
的大小顺序是(C)．
(A)
A?B?C
(B)
A?C?B
(C)
B?A?C
(D)
B?C?A

2．(训 练题59)函数
y?f(x)
与
y?g(x)
有相同的定义域，对定义域中任 何
x
，有
f(x)?f(?x)?0
，
g(x)g(?x)?1，且当
x?0
时，
g(x)?1
，则
F(x)?
2f( x)
?f(x)
是
g(x)?1
(B)．
(A)奇函数 (B)偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶
函数
3．(训练题59)已知
a,b
为非零常数，若
M?asin
??bcos
?
，
b
N?a
2
?b
2
sin(
?
?arctan)
，则对任意的
?
(C)．
a
(A)
M?N
(B)
M?N
(C)仅当
a?0
时，
M?N
(D)仅当
b?0
时
M?N

4．(训练题59)如图1，在棱长为
a
的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1D
1
中，点E、F分别是面
BB
1
C
1
C和
D
1
C
1
ABCD
的中心，则异面直线
EF
与
A
1
C
1
的距离为(C)．
(A)


A
1
B
1
E
D
C
B
236
a
a
(C)
a
(D)
a
(B)
234
2
A
5．(训练题59)已知周期数列
{x
n
}
满足
x
n
?x
n?1
?x
n?2(n?3)
，若
x
1
?1,x
2
?a?0
，则 当该
数列的周期最小时，数列的前2002项的和是(B)．
(A)2002 (B)1335 (C)1949 (D)1428
x
2
y
2
6．(训练题59)设点
F
1
, F
2
分别为椭圆
2
?
2
?1
的左右两焦点，
l
为右准线，若在椭圆上存在
ab
e
点
M
，使
M F
1
,MF
2
，点
M
到
l
的距离
d
成等比数列，则椭圆离心率的取值范围是(A)．

- 1 -

(A)
[2?1,1)
(B)
(0,2?1]
(C)
[
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
22
,1]
(D)
(0.]

22
1．(训练题59)已知复数
z
1< br>,z
2
，满足
z
1
?1,z
2
?2,3z< br>1
?z
2
?2?3i
，则
2z
1
?z
2
?

3?3i或?
9133
?i
．
7 7
22
2．(训练题59)已知
x?0,x?(y?4)?4
，设
w ?
x2?3xy?2y2
，则
w
的取值范围是
x2?y2
2?w?
5
．
2
o
3．(训练题5 9)已知在三棱锥
S?ABC
中，底面三角形每个顶点处的三个面角和均为
180，底
面三角形三边分别是
3
、
2
和
5
，则该三 棱锥的体积是
6
．
3
4．(训练题59)设< br>f
1
(x)?
f(0)?1
2
，定义
f
n? 1
(x)?f
1
[f
n
(x)]
，且
a
n
?
n
，则
a
100
?

f(0)?2
1?x
n
?
1
．
2
101
x
2
?ky
2
?1
，5．(训练题59)已知焦点在
x
轴上的椭圆点
A,B
是过原点的直线与椭圆的两个交
2
点 ，若数
k
使得在椭圆上还存在另一点
C
，使
?ABC
为正三 角形，则对所有这样的
k
，
?ABC
的面积最大值是
23
．
3
?
xy
?
??1
6．(训练题59)已知方程组
?
ab
，有且仅有整数解，则满足题意的实数对(a,b)
的个
22
?
?
x?y?50
数是 60 ．
三、(训练题59)(本题满分20分)已知
a
i
?R
，且
a
i
?a
i?1
,i?1,2,
?
,n?1
，求证 ：
a
1
a
2
??
a
1
?a
2< br>a
2
?a
3
?
a
n
n
?
．
a
n
?a
1
2
四、(训练题59)(本题满分20分)给定 空间不共面的
n
个点
(n?4)
．试问：是否一定存在这样一

- 2 -

个平面，仅过这
n
个点的其中三个？并请证明你的结论．
五、(训练题59 )(本题满分20分)如果在一条平面曲线上存在四点，使得这四点构成的图形是一
x
2
y
2
x
2
y
2
个菱形，则称该曲线存在内接菱形．现已知 双曲线
c
1
:
2
?
2
?1
，双曲线
c
2
:
2
?
2
?1
，
abba
其中
a?b,a?0,b?0
．证明：在双曲线
c
1
与
c< br>2
中有且仅有一条存在内接菱形．
第二试
一、(训练题59)(本题满分 50分)如图2，点
P,Q
是
?ABC
的外接圆上（异于
A,B,C
）的两点，
点
P
关于直线
BC,CA,AB
的对称点分别是
U,V,W
，连线
QU,QV,QW
分别与直线
（1）
U, V,W
三点共线；（2）
D,E,F
三点共线．
BC,CA,AB
交于
D,E,F
，求证：







二、(训练题59)(本题满分50分)已知
x< br>i
?0(i?1,2,
n
W
A
U
B
F
Q
D
P
E
V
,n),n?2
，且
?
x
i
2
?2
i?1
n
k
x
k
x
j
?1
，
?
j
1?k?j?n试求
?
x
的最大值和最小值．
i
i?1
三、(训练题 59)(本题满分50分)已知
(a
1
,a
2
,,a
n)
是自然数
1,2,,n
的一个排列，且满足：对
任意
1?i? n?1
，均有
a
i
?i?a
i?1
?i?1
．(1 )若记
x
i
为数
i(1?i?n)
在排列中所处位置的序
号 （如排列
(1,3,4,2)
中，
x
1
?1,x
2
?4,x
3
?2,x
4
?3
）．求证：对每一个满足题意的排列(a
1
,a
2
,
A
(n)
．


,a
n
)
，均有
x
i
?i?x
i?1
?i?1
(1?i?n?1)
成立．(2)试求满足题意的排列的个数

- 3 -