高中数学奥林匹克竞赛训练题(198)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（198）（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题
1.
若
8分，共64分）

函数的图像关于直线对称，则的最大值
为 .
f(x)?(1?x
2
)(x
2
?ax?b)
x?2f(x)

2.
设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次 为.
1
2
2015
则 所对应的不同点的个数为 .< br>z
1
,z
2
,,z
20
z
2015
,z
2015
,,z
20

3.
在平面直角坐标系中，过原点的直线与曲线交于不同的两点，分别
过作轴的平行线，与曲线交于点.则直线的斜率
为 .
O
l
y?e
x?1
A、BA、B
y
y?1nx
C、D
CD

4.
设.若向量满足，则的最大值
为 .
a?1,b?2
C
c?(a?b)?a?bc

5.
定义在上的函数，对任意的实数，均有 ，且.记，
则 .
Rf(x)
x
f(x?3)?f(x)?3,f(x?2)?f(x)?2f(1)?2a
n
?f(n)(n?Z
?
)
f(2015)?

6.
在四棱锥中，已知， 面.设为线段上一点，且直线与平面所成角
的正 弦值为.则的值
为 .
P?ABCD
AB
‖
CD ,AB?AD,AB?4,AD?22,CD?2
PA?
ABCD,PA?4Q
PB< br>QC
PAC
7.
3
PQ

PB
3
已知数列的通项为.则其前12项的
至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而 不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣 之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水 声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名 之者谁？太守自谓也。

和 .
?
a
n
?
a
n
?n
4
?6n
3
?11n
2
?6n
S
12
?

8.
把数字任意排成一列.若数字恰出现在第个位置上，就称为一次匹
k

配.则匹配数的数学期望为 .
1,2,,6
k
二、解答题（共56分）

9.（16分）如图1 ，已知函数，其图像记为曲线.若对于任意的，曲线
与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切 线交于另一点，
线段与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为.求的
值.
C
P
2
(x
2
,f(x
2
))
C
P
2
P
3
(x
3
,f(x
3
))PP
12、P
2
P
3
C
S
1
、S
2
S
1

S
2
10.（20分）已知.证
图1
明：.
a
n
?4n(4n?1)(4n?2)(n?Z
+
)
11.（20分）过椭圆的右焦点作直线与椭
圆交于不同的两点，设.若，求的取值范
围.
C
A、B
FA?
?
FB,T(2,0)
?
?
?
?2,?1
?
TA?TB

加 试

一 、
（40分）在锐角中.证明：
cos
2
Acos
2
Bco s
2
C
?ABC
???4(cos
2
A?cos
2
B?cos
2
C)

222
cosBcosCcosA二、（40分）如图2，在中，已知为的平分
线，在线段上取点，使得过两点，且与分别
交 于点，的延长线与的外角平分线交于点.
证
至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛 偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者， 太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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图2