高中数学奥林匹克竞赛训练题(04)

数学奥林匹克高中训练题（04）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
100
1．(训练题09)由
(3x?
3
2)
展开所得的
x
的多项式中，系数为有理数的共有（B ）项．
(A) 50 (B) 17 (C) 16 (D) 15
2．(训练题09)已知
z
满足
z?5?12i?3
．则
z
的最大值是（D）
(A) 3 (B) 10 (C)20 (D)16
3．(训练题09)正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
a
，
E
为
CD
的中点，
F
为
AA
1
的 中点，
过
E,F,B
1
的截面面积是（C）
(A) < br>555
2
29
2
1129
2
729
2
a
(B)
a
(C)
a
(D)
a

1924488
x
4．(训练题09)方程
sin
?
． < br>?
?cos
x
?
?1(0?
?
?)
的解的个 数是（B）
2
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 大于2
5．(训练题09)设
a
是正整数，
a?100
，并且< br>a?23
能被24整除．那么，这样的
a
的个数为
（B）．
(A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 10
6．(训练题09)从
1,2,
是（D）．
666556
(A)
C
49
(B)
C
44
(C)
C
49
?C
44
(D)
C
49
?C
44

3
,49
中取出六个 不同的数,其中至少有两个是相邻的，所有的取法种数
二、填空题（本题满分54分，每小题9分） < br>1．(训练题09)已知
z
1
,z
2
在复平面上对应点分别为
P,Q
，且
z
2
?4,4z
1
?2z
1< br>z
2
?z
2
?0
．则
22
P,Q
与 原点
O
所成的
?OPQ
面积等于___
23
_____．
2．(训练题09)设四面体
ABCD
的体积为
V,E
为棱长
AD
的中点，
F
在
AB
的延长线上，且
BF?AB
，过
C,E,F
三点的平面交
BD
于
G
．则四面体
CDGE
的体积为___
V
_____．
3
3．(训练题09) 设
x,y,z?0
且
x?y?z?1
．则
149
??
的最小值为___36_____．
xyz
4．(训练题09)函数
f(x)?x
2
?a
在区间
?1?x?1
内的最大值
M(a)
的 最小值是

- 1 -

____
1
____．
2
)
．则
n?1
5．(训练题09)对于正整数
m
，它的个位数码用
f(m)
表示，记
a
n
?f(2?1)(n?1,2,
a
1994
?
___ __7___．
6．(训练题09)
n(n?3)
条直线中恰有
p(p?2 )
条互相平行，而且
n
条直线中没有3条相交于
同一点，则这条直线将平面分 割成的块数是___
1
2
(n?p
2
?n?p?2)
___ __．
2

第二试
一、(训练题09)（本题满分25分）已知圆的方程 为
x?y?4
．试在坐标平面上求两点
22
A(s,t),B(m,n)，使下列两条件满足：
(1) 圆上任意一点到
A
点的距离与到
B
点的距离之比为定值
k
；
(2)
s?m,t?n
，且
m,n
均为自然数．(
(2, 2),(1,1)
)

二、(训练题09)（本题满分25分）求满足条件的实系数多项式
f(x)
；
(1) 对于任意的实数
a
，有
f(a?1)?f(a)?f(1)
；
(2) 存在某一实数
k
1
?0
，使
f(k
1)?k
2
,f(k
2
)?k
3
,
为
f (x)
的次数．(
f(x)?x
)

三、(训练题09)（本题满 分35分）正整数
n
的所有约数之和用
f(n)
表示，(比如
,f( k
n?1
)?k
n
,f(k
n
)?k
1
， 其中
n
f(4)?1?2?4?7
)．试答下列各问：
(1) 证明：如果
m
和
n
互质，那么
f(mn)?f(m)f(n)
；
(2) 当
a
是
n
的约数
(a?n)
，且
f(n)?n?a
，试证
n
是质数，其次，如果
l
是正整数，
2
l
?1
是质数，试证
l
也是质数；
(3) 设
n?2m
(
k
为正整数，
m
为奇数)，且
f(n)?2n
．试证存在质数
p
使得

- 2 -
k

n?2
p?1
(2
p
?1)
．

四、( 训练题09)（本题满分35分）数列
1,1,3,3,3,3,
22
,3
1 992
,3
1992
是由两个1，两个3，两个
3
2
，…， 两个
3
1992
按从小到大顺序排列，数列各项的和记为
S
，对于给 定的自然数
n
，若能
从数列中选取一些不同位置的项，使得这些项之和恰等于
n
，便称为一种选项方案，和数为
n
的所有选项方案的种数记为
f(n)．试求：
f(1)?f(2)?
值．(
f(1)?f(2)?
?f(s)
的
?f(s)?4
1993
?1
)

- 3 -