【高中教育】2020高中数学奥林匹克竞赛训练题(220)

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【高中教育】2020高中数学奥林匹克竞赛训练题（220）

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【20xx精选】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（220）
（无答案）



第一试

一、填空题

(x?x
3
)( 1?6x
2
?x
4
)
f(x)?
(1?x
2
)
4
1函数的值域为 。

11
z?1 ,z?1
z?z
3
?z
4
?z
5
?z
9< br>?

2。设复数，则 。
3。设为正整数，集合，。若A=B，则
x、y、z
A=
?
3(x?y)(y?z)(z?x),xyz,2(y
2
z
2
?z
2
x
2
?x
2
y
2
)
?
B=?
(x?y)
3
?(y?z)
3
?(z?x)
3
,x?y?z,x
4
?y
4
?z
4
?
x
3
?y
3
?z
3
?

4。设P为椭圆上任意一点， 两焦点为分别与椭圆交于点A、B，若成
x
2
y
2
?
2?1(a?b?0)
2
F
1
(?c,0),F
2
(c, 0),PF
1
、PF
2
等差数列，则 。
ab< br>PF
1
PF
2
??
222
AFBF
12a、b、c

5。有六根细棒，长度依次为3、，用它们搭成三棱锥。则其中两根较
2、2、2、2

长的棱所在的直线所成角的余弦值为 。
22、
6。设，则函数的最小值为 。
x、y?R
?
f(x,y)?x
2
?xy?y
2
?x
2
?9x? 27?y
2
?15y?75

7。设为的斜边BC上的个点，记，满足，则< br>D
1
,D
2
,…,D
2n
Rt?ABC
2n (n?1)
?D
i?1
AD
i
?
?
i
(i ?1,2,…,2n?1)D
i?1
D
i
?D
i
D
i+1

= 。

8。三位数满足，则满足条件的三位数共有 个。

二、解答题

x?
?
0,2
?
?
f(x)?4cos
2
x?46cosx?6?
9。设，求函数的最大值。

2 3

4cos
2
x?86cosx?42sinx?22

532
f(x)?x?3x?2x?3x?6
10。设，记，求的值。
A
n
??
k?1
n
(4k?3)f(4k?3)
(4k?1)f(4k?1)< br>A
25

11。设数列满足，求。
?
A
n
?
A
1
?1,A
2
?3,A
n
?4A
n?1
?A
n?2
加试

2
arccot2A
?
n
n?1
??

一 、设H为锐角的垂心，E、F分别为边AB、AC的中点，交AC于点P，
交AB于点Q，Y为PQ的中 点，证明：。
?ABC
EP?HE
FQ?HF
2?BAC??EYF?180
0

?
6
?
n
n?3,
?
i?
?
0,arccos
?
??
?
cos2a
i
?n?2
3
??
i?1
二、设正整数，若，证明：
?
cot
?
i?1
n
i
?(n?1)
?
tan?
i
i?1
n

三、已知一个正多边形的每条边和对角线恰染成 20xx种颜色之一，且
所有边及对角线不全同色，若正多边形中不存在两色三角形（即三角形
的三边恰被染成两种颜色），则称该多边形的染色是“和谐的”求最大
的正整数N，使得存在一个和谐的 染色正N边形。

四、设，若满射满足：对任意的，则称为为“和谐函数”。记，，设
“和谐映射”为满足条件：存在正整数M，使得
A?
?
0,1,…,2016
?
(k?1)
(x)?f(f
(k)
(x))(k?N
?
)
ff:N?A,i?N,f(i?2017)?f(i)f
f
(1)
(x)? f(x)
f

（1）当mi、j?Ni?j?1(mod20 17),
f
(m)
(i)?f
(m)
(j)??1(mod2017 )

（2）若，则，求M的最大可能值。
i、j?Ni?j?1(mod2017),
f
(M)
(i)?f
(M)
(j)??1(mod2017)


3 3