高中数学奥林匹克竞赛训练题(194)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（194）（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

1.
如图1，平行于轴的直线分别与函数及 的图像交于点 ，点为
函数图像上一点.若为正三角形，则
.
y
y
1
?log
2
xy
2
?log
2
x?2
B、C
A(m,n)y
2
?ABC
2
n
m?

2.
在中，已知所对的边长分别为，边上的高 .则的取值范围
1
(b?c)
2< br>是.
?ABC?A、?B、?Ca、b、c
BC
AD?a

2
2bc
3.
从中选出三个不同的角度使其松成某个三角形的三个内角，一共有
种不同的选法.
1
0
,2
0
,,179
0

4.
已知复数满足，且.则的最小值
为.
z
1
、z2
arg
2z
1
?tz
2
z
1
5?

?
z
1
?z
1
?z
2
z
2
6
z
2
5.
方程的解集为.
(sin
4
x?sin
2
x)
3
?(cos
4
x?cos< br>2
x)
3
?2cos2x

已知实数满足.则的最小值为.< br>x、y
x
2
?xy?2y
2
?1
2x
2?y
2

如图2，已知为椭圆 上三点，为原点， 过右焦点.若，且则 椭
6.
7.
x
2
y
2
圆的离心率为.
A、B、C
2
?
2
?1(a?b?0)
AB
O
AC
F
BF?AC
AF?2FC

ab
至于负者歌于途，行者休 于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌； 山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢 也。

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环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之 蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上 者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？太守自谓也。

8.
设. 则 函数的零点个数
为.
f
0
(x)?x?2015,f
n
(x )?f
n?1
(x)?1(n?Z
?
)
y?f
2015(x)

二、解答题（共56分）

9.（16分）已知二次函数满足.当时，求 的最大值.
y?f(x)

1 0.（20分）如图3，中心在坐标原点和焦点分别在轴、轴上的椭圆均
过点，且椭圆的离心率均为.过 点作两条斜率分别为的直线，分别与椭
圆交于点.当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若 不过
定点，请说明理
由.
x
y
C
1
、C
2
M(0,?2)
C
1
、C
2
11.（20
2
M
k、k?
C
1
、C
2
P、Q
k??4k
PQ

2
分）已知数列满足.证明：当时，
n
有.
?a
n
?
a
0
?1,a
n?1
?a
n< br>?
?
?
2(n?k)?1
?
a
k
(n?N)
n?1
k?0
11
??
a
1
a
2
?
17
?

a
n
10
加 试
一、
（40分）如图4，已知为锐角内一点，在上的投影分别为，过点分
别作的垂线交于点 ，在上的投影为.证明：
PP
AB
H

O?ABCOBC、CA、A B
A
1
、B
1
、C
1
A、B
B
1
C
1
、AC
11
（1）
CP?A
1
B1
；

（2）
A
1
B
1
C
1
H
四点共圆.

二、（40分）已知正实数满足.证明：
至于负者歌 于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒， 泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧 哗者，众宾欢也。

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