高中数学奥林匹克竞赛训练题(184)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（184）（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

1.
已知定义在复数集上的函数（为复数）.若与均为实数，则的最小值
为.
f(z)?(4?i)z
2
?pz?q
p、q
f(1)f(i)
p ?q

2.
已知函数，且满足.则的最大值
为.
f(x)asin x?bcosx(a、b?Z)
?
xf(x)?0
?
?
?
x f(f(x))?0
?
a

3.
已知三棱锥的底面是以为斜边的等 腰直角三角形，且.则三棱锥外
接球表面积为.
S?ABC
AB
SA?SB? SC?AB?2
S?ABC

?
x3
?
2
4. < br>记.则的最小值为.
F(x,y)?(x?y)?
?
?
?
(y ?0)
F(x,y)

?
3y
?
5.
2
设任意实数.要使 恒成立，则的最小值
bbca
为.
a?b? c?d?0
log
a
2014?log
c
2014?log
d
2014?mlog
d
2014
m

6.
设是 定义在上的函数，对任意的，均有.设.若
则.
f(x)
R
x?R
f (x?3)?f(x)?3,f(x?2)?f(x)?2g(x)?f(x)?xf(4)?2014
f(2014)?

7.
若非负整数在求和时恰进位一次（十进制下），则称有序数 对为“好
的”.那么，所有和为2014的好的有序数对的个数为.
m、n
(m,n)

至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪 而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中 ，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之 间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？太守自谓也。

8.
已知非负实数满足.则的取值范围
是.
u、v、w
u?v?w?2
u
2
v
2
?v
2
w
2?w
2
u
2

二、解答题（共56分）

9. （16分）设数列满足.试求通项的表达
式.
?
a
n
?
a< br>1
?1,a
n?1
?2a
n
?n(1?2
n
)(n?1,2,)

10.（20分）如图1，已知，分别为的外心、重
心，.A(?1,0),B(1,0)
Q、G
?ABC
QG
‖
AB
（1）求点的轨迹的方程.
CE

（2）设（1）中的轨迹与轴的两个 交点为（位于下方），动点均在
轨迹上，且满足，试问直线与的交点是否恒在某条定直线上？若是，求出直线的方程；若不是，请说明理
由.
E
y
A
1
、A
2
A
1
A
2
M、N
E
A
1
M?A
1
NA
1
NA
1
M
P
ll

11.（20分）设均取正实数，且.求三元函数的最小值，并给出证
3x
2?x3y
2
?y3z
2
?z
明.
x、y、z
x ?y?z?1
f(x,y,z)?

??
222
1?x1?y1?z
加 试

一、（40 分）如图2，在中，，为的垂心，为边的中点，点在边上且满
足，点在直线上的投影为.证明：的外接圆 与的外接圆相
切.
?ABC
AB?AC
H
?ABC
M
BC
S
BC?BHM??CHS
A
HS
P
?MPS
?ABC

二、（40分）设，定义：.证明：当时，为整数，且为奇数当且仅当
至 于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿 泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错， 起坐而喧哗者，众宾欢也。

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