【精品】高中数学奥林匹克竞赛训练题(175)(无答案)

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。

【精品】高中数学奥林匹克竞赛训练题（175）（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

1.
已知是的内心，.若 ，
则.
I
?ABC
AC?2,BC?3,AB?4
AI?xAB?y AC
x?y?

2.
已知函数.若当时，不等式的解集是空集，则实数的取 值范围
是.
f(x)?x
2
?2x?3
1?x?2
f(x) ?a?2
a

3.
若成等比数列，成等差数列，则该等差数列的公差
为.
a、b、c
log
c
a、log
b
c、log
a
b

4.
已知双曲线的两个焦点分别为，过点的直线与该双曲线的右去 交于
两点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形.则该双曲线的实轴长
x
2
y
2
为.
2
?
2
?1(a、b?0)
A(?1,0) ,B(1,0)
B
l
M、N
?AMN
N

xb
5.
已知函数，其中，.过点作函数图像的切线，令各切点点的横坐标
构成数列.则数列的所有项之和的值
为.
f(x)?e
x
(sinx?cos x)
x?
?
?
?
?
?
?1
?
M< br>?
,0
?
f(x)
?
x
n
??
x< br>n
?
S

?
2
?
2011
?
2013
?
?
,
22
?
??
世有伯乐，然后有千 里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以 其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！< br>
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每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼， 不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽 世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。

6.
如图1，已知 直线平面，垂足为，在中，.该直角三角形的空间做符
合以下条件的自由运动：①，②.则两点间的最大 距离
为.
l?
?
O
Rt?ABC
BC?1,AC?2,AB ?5
A?l
C?
?
B、O

7.
集合，是集合的 任意非空子集，是集合中任意两个元素，以为边长
的等腰三角形有且只有一个.则集合中元素个数的最大 值
为.
A?
?
2,4,,2014
?
BA
a
i
、a
j
B
a
i
、a
j
B
< br>8.已知实系数一元二次方程有实根.则使得成立的正实数的最大值
为.
ax
2
?bx?c?0
(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?ra
2
r

二、解答题（共56分）

9.（16分）当时，求函数的最小值的表达式.
x?0
f(x)?2x?(x?1?a)< br>2
g(a)

10.
（20分）已知数列满足.
?
a
n
?
a
1
?1,a
2n
?a
n
,a
4n?1
?0,a
4n?1
?1(n?Z
?
)

（1）
是否存在正整数，使得对任意的，有？
T
n?Z
?
a
n?T
?a
n

（2）
设，问：是否为有理数？说明理由.
S?
a
1
a
2
?
2
?
1010< br>?
a
n
?
n
10
S

11. （20分）设点和，是的直径，从左到右依次是的四等分点，（异
于）是上的动点，于点，，直线与 交于点，为定
值.
A(?2,0)
PE?
?
ED
PABE< br>C
CM?CN

（1）
求的值及点的轨迹曲线的方程；
?
C
E

（ 2）
若点是曲线上不同的两点，且与曲线相切，求面积的最小
值.
Q、R
E< br>PQ、PR
E
?OQR

世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯 乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材， 鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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