高中数学奥林匹克竞赛训练题(207)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（207）（无答案）



第一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.已 知AB是半径为2的的一条直径，外切，且与AB切于点F。若的半
径是半径的3倍，则的半径为 。
CDDED

2.满足为实数的有序整数对的个数为 。
a?b
ab?2016
?i
?
a,b
?

ab?100ab?100
3.如图1，在矩形ABCD中，AB=2， AD=4，点E在线 段AD上，且AE=3,
现分别沿BE、CE将翻折，使得点D落在线段AE上。此时，二面角D- EC-B
的余弦值为 。
?ABE、?DCE

4.从中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，共有 种
取法。
?
1,2,…,10
?

5.记表示不超过实数的最大整数，已知数列满足则 。
?
2016
1
?
1
?
x
?
x
?
a
n
?
a
1
?a
2
?
2
,a
n?1
?2a
n
?a
n?1
(n?Z
?
)
?
?
?
?

aa
?
k?2
k?1k?1
?
6.已知、为非零的不共线的向量，设，定义点集，当时，若对任意的，
不等式恒成 立，则实数的最小值为 。
??
1r
?
KAKCKBK C
?
OA?OB
M?
?
K?
OAOB
OC=
?
K
1
、K
2
?M
r?2
1+r1+r
KAKB
??
??
K
1
K
2
?cAB
c< br>
至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而 渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中， 弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间 者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？太守自谓也。< br>
7.设分别为椭圆E：的左、右焦点，过的直线与椭圆E交于A、B两点，,
且，直线 与椭圆E交于P、Q两点，C、D为椭圆E上异于P、Q的两点，
且直线PC与QD交于点M，直线PD 与QC交于点N，则直线MN的斜率
31
x
2
y
2
为 。
F
1
、F
2
2
?
2
?1(a?b?0)
F
1
AF
1
?3BF
1
cos?AF
2< br>B?y?x

52
ab
8.记（p为素数，）为“好数”。若在b进制 下，100与23的差为好数，
则b的所有可能取值为 。
p
n
n?2

二、解答题

9.求集合中所有元 素的和。
?x?y?z
x
?
M?
?
aa?,3?3
y
?3
z
?3
t
,x、y、z、t、a?Z
?
< br>t
??
10.已知P、Q分别为轴、轴上的动点，R（0，-3），.
x
y
PRPM?0,PQ?QM

（1）求动点M的轨迹C

（2） 已知为轨迹C外一动点，，AB、AD分别与曲线C切于点B、D，直
线BD、SA分别与直线交于点E 、F，证明：以EF为直径的圆过定点。
A(a,b)(a?0,b?2)S(0,2)y??2

1
2
11.已知为方程的实根，证明：
a
n
x
3
?
（1）数列单调递增
?
a
n
?

（2）。
?
1
?a
n

k
2()1?a< br>k
k?1
k
n
x
?1(n?Z
?
)

n
2
加试

22
一、设个不同的大于1的完全平方数。p
1
2
,p
2
,…,p
n
为n
证明：
?
1?
?
?
1
??
1
?
?
1
?
1
1?…1??

?
2
??2
?
2
?
p
1
??
p
2
?< br>?
p
n
?
2
至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应， 伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者 ，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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