高中数学奥林匹克竞赛训练题(192)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（192）（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

均为等差数列，且.则
1.
已知数列
.
?
a
n
?
、
?
b
n
?
、
?
c
n
?
a
1
?b
1
?c
1
?0,a
2
?b
2
?c
2
?1a
2015
?b
201 5
?c
2015
?

2.
过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点.若实数使得 的直线
2
y
2恰有三条，则.
x??1
l
A、B
?
AB?
?
l
?
?

2
3.
一个的长方体能装下8个半径为1的小球和1个半径为2的大球.
则的最小 值为.
4?4?h
h

4.
已行集合，为集合到的函数.则函数的像集交为空的函数对 的个数
为.
A?
?
1,2,3
?
f、g
AA
(f,g)

5.
已知.则所有满足等式的的和 为.

存在正整数数对满足的正整数的个数为
(a,b)
（表示正整数与的最小公倍数）.
?
a,b
?

k
(a?b)?
?
a,b
?
k

2015
6.
7.
已知甲、乙两人进行一种博弈游戏，甲获胜的概率为， 乙获胜的概
率为.若其中一人比另一人多赢两局，则游戏结束.那么，需要进行的
至于负者歌于 途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉 香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗 者，众宾欢也。

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环滁皆山也。其西南诸峰，林壑 尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼 然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？太守自谓也。

游戏局数的数学期望为.
8.
21

33
已知为抛物线上 的动点，点在轴上，是的内切圆.则的最小值
为.
P
y
2
?2xB、C
y
(x?1)
2
?y
2
?1
?PBC< br>S
?PBC

二、解答题（共56分）

9.（16分）求所有的正实数，使得对于任意正实数，均有 .
k

10.（20分）已知实数，满足，其中，.若，且，求以下表达式的值.

11.（ 20分）为多项式的三个根，满足，且复平面上的三点恰构成一个
直角三角形.求该直角三形的斜边的长
度.
z
1
、z
2
、z
3
P(z)?z3
?az?b
z
1
?z
2
?z
3
?2 50
z
1
、z
2
、z
3

加 试

一、（40分）如图1，的内切圆分别与边切于点，与交于点，设点关于
直线的对 称点分别.证明：直线三线共
点.
?ABCBC、CA、ABD、E、F
AD
BEPP
EF、FD、DE
X、Y、Z
AX、BY、CZ

222
二、（40分）在锐角中，证明：

11
??
1?
111
?
?ABC
(sinA?sinB?sinC)
????
?
??
??
?
.
?
sinAsinBs inC
??
ABC
?
①

三、（50分）求最大的正整数， 使得对于任意整数，若，均
有.
na
(a,n)?1
a
2
? 1(modn)

四、(50分)在一次数学竞赛中，某些选手是朋友关系.记所有选手的集< br>至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而 鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥 筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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