【高中教育】2020高中数学奥林匹克竞赛训练题(192)

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【高中教育】2020高中数学奥林匹克竞赛训练题（192）

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【20xx精选】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（192）
（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

1.
已知数列均为等差数列，且。则 。
?
a
n
?
、
?
b
n
?
、
?
c
n
?
a
1
?b
1
?c
1
?0,a
2
?b2
?c
2
?1a
2015
?b
2015
?c< br>2015
?

2.
过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点。若实数使得 的直
2
y
2
x??1
lA、B
?
AB?
?
l
?
?

2
线恰有三条，则。
3.
一个的长方体能装下8个半径为1的小球和1个半 径为2的大
值为。
4?4?hh

的个
球。则的最小
4.
已行集合，为集合到的函数。则函数的像集交为空的函数对
数为。
5.
A?
?
1,2,3
?
f、g
AA

已知。则所有满足等式的的和 为。

6.
存在正整数数对满足的正整数的个数为

（表示正整数与的最小公倍数）。
?
a,b
?

7. 已知甲、乙两人进行一种博弈游戏，甲获胜的概率为，乙获胜
的概率为。若其中一人比另一人多赢两 局，则游戏结束。那么，需要
21
进行的游戏局数的数学期望为。
33

8.
已知为抛物线上的动点，点在轴上，是的内切圆。则的最小值

2 3

222
y?2x(x?1)?y?1
?PBC
S
?PBC

y
B、C
为。
P
二、解答题（共56分）

9。（16分）求所有的正实数，使得对于任意正实数，均有 。
k

10。 （20分）已知实数，满足，其中，。若，且，求以下表达式的值。
n?1,2,L,2015
a
0
?b
2015

11。（20分）为多项式的三个根，满足，且 复平面上的三点恰构成一
个直角三角形。求该直角三形的斜边的长度。
z
1
、 z
2
、z
3

z
1
?z
2
?z< br>3
?250
222
加 试

一、（40分）如图1，的 内切圆分别与边切于点，与交于点，设点关
于直线的对称点分别。证明：直线三线共点。
?AB CBC、CA、AB
D、E、F
ADBEPP
EF、FD、DE

二、（40分）在锐角中，证明：

三、（50分）求最大的正整数，使得对于任意 整数，若，均有。
na
(a,n)?1
a
2
?1(modn)

四、(50分)在一次数学竞赛中，某些选手是朋友关系。记所有选手的
集合为，对集合的 子集，若可以将这些人两两分组，且每组中两名选
手均是朋友关系，则称子集“可两两分组”。已知集合 不可两两分
组，且对于任意选手，若不是朋友关系，则可两两分组，且中没有一
个人与其他所有 人均为朋友关系。证明：对任意选手，若为朋友关
系，为朋友关系，则也为朋友关系。
XXYY X
A、B?XA、B
X﹨
?
A,B
?
X
a、b、c ?Xa、bb、c
a、c


3 3