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高中数学奥林匹克竞赛训练题(200)(无答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 10:53
tags:高中数学奥

数学思想是学好高中数学的关键-高中数学个人业务总结职称

2020年10月7日发(作者:窦次山)


环滁皆山也。其西南诸峰,林壑尤美,望之蔚然而深秀者,琅琊也。山行六七里,渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者,酿泉也。峰回路转,有亭翼然临于泉上者,醉翁亭也。作亭者谁?山之僧智仙也。名之者谁? 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题(200)(无答案)



第一试

一、填空题(每小题8分,共64分)

1.设函数的定义域为,值域为。则区间长度的最小值为 。
y?log
2x
?
m,n
??
0,2
??
m,n
?

2
2.已知向量满足且。则的最小值为
a、b
a?b?ab?2,
(a?c)(b?c)?0
2b?c

3.若复数满足,则的最大值为 。
z
z?2
z
2
?z?1
2z?1?3i

4.设函数。若在区间上具有单调性,且,则的最小正周期为 。
?
??
??
?
??
2
?
?
f(x)?Asin(< br>?
x?
?
)(A?0,
?
?0)f(x)
?
,
?
f
??
?f
??
??f
6223
?? ????
?
?
?
??
f
?
x
?

?
6
?
5.已知方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不
同的抛物线共有 条。
ay?b
2
x
2
?c
a、b、c?
?
?3,?2,…,3
?
a、b、c

6.已知高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形,点均在半径为1的
同一球面上。则侧棱SA长度的 最大值为 。
2
S?ABCDS、A、B、C、D

4
7.设函数。定义如下:。记为的所有根的算术平均值,则 。
f(x)?x
2
?x?1f
(n)
(x)f
(1)
(x) ?f(x),f
(n)
(x)?f(f
(n?1)
(x))
r
n
f
(n)
(x)?0
r
2015
?

8.已知数列。记,则= 。
?
a
n
?
:a
n
?1?
至于负者歌于途,行者休于树,前者呼,后者应,伛偻提携,往来而不 绝者,滁人游也。临溪而渔,溪深而鱼肥。酿泉为酒,泉香而酒洌;山肴野蔌,杂然而前陈者,太守宴也。宴酣之 乐,非丝非竹,射者中,弈者胜,觥筹交错,起坐而喧哗者,众宾欢也。
2
2
2
2
n?1
n
?1
T
n
?a
0
a
1
…a
n
lim
T
n

n???

- 1 - 3


环滁皆山也。其西南诸峰,林壑尤美,望之蔚然而深秀者, 琅琊也。山行六七里,渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间者,酿泉也。峰回路转,有亭翼然临于泉上者,醉翁亭也。 作亭者谁?山之僧智仙也。名之者谁?太守自谓也。

二、解答题(共56分)
9.(16分)设常数,函数存在反函数。若关于的不等式对所有的恒成
立,求实数的取值范围。< br>a?R
f(x)?(a?x)x
f
?1
(x)
x
f< br>?1
(x
2
?m)?f(x)
x?
?
?2,2
?
m

10.(20分)已知椭圆为原点,若动点A在椭圆C上,动点B在直线上,
x
2
且,证明:点O到直线AB的距离为定值。
C:?y
2
?1,O
y?2
OA?OB

2
11.(20分)已知知数列记为数 列的前项和。求所有的正实数数对,使

?
a
n
?
:1,1 ,2,1,2,3,…,1,2,…,n,…,
S
n
?
a
n
?
n
?
?

?
?
lim
n???
S
n
?
?

?
n
加试

一、(4 0分)用表示不超过实数的最大整数,已知为互素的正大整数。
证明:
?
x
?
x
p、q
pq?1
k?0
?
(?1)
?
k
??
k
?
??
?
??
?
p
??< br>q
?
?
0,pq为偶数

?
?
?
1 ,pq为奇数
二、(40分)在锐角中,已知AD为角平分线,M为边BC的中点,点P、
Q在 线段AD上,且,证明:当点P、Q变化时,的外心在一条定直线上。
?ABC
?ABP??C BQ?PQM

三、(50分)给定正整数数组,若对任意的,均有则集合称为“A—好
的”。定义为最大的正整数,使得集合可以分成两个集合满足且为A—
好的,为B—好的。若数组n,
h
AB
A?(a
1
,a
2
,…,a
k
)x
1
,x
2
,…,x
k
?Ma
1< br>x?ax
1
?…?a
2k
x
k
?M
2
,M(M?Z
?
)
f(
S?
?
,?n…,1
?< br>n
S
1

,
S
2
S
1
S< br>h
?S,
2
S
k

S??,
1
S< br>1
S
2
A?(a
1
,a
2
,…,a
k
),
k
B?(b
1
,b
2
,?,b
k< br>)(k?2)
满足且。
?
a
i
?
?
b
i
?s,
mina
i
?minb
i
?1

i?1i?1
1?i?k1?i?k
至于负者歌于途,行者休于树,前者呼,后者应,伛偻提 携,往来而不绝者,滁人游也。临溪而渔,溪深而鱼肥。酿泉为酒,泉香而酒洌;山肴野蔌,杂然而前陈者,太守 宴也。宴酣之乐,非丝非竹,射者中,弈者胜,觥筹交错,起坐而喧哗者,众宾欢也。

- 2 - 3

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