【精品】高中数学奥林匹克竞赛训练题(189)(无答案)

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。

【精品】高中数学奥林匹克竞赛训练题（189）（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

1.
若对任意的，均有，则实数的取值范围
是.
x?
?
a,a?2
?
x?a?2x
a

已知.则的最小值为.
(2x?4x
2
?1)(y
2
?4?2)? y?0
x?y
2.
??
??
1
3.
用表示不 超过实数的最大整数.则.
?
x
?
x
??
?
1
2
?
sin
?
??
2014
??
x
2
,f
1
(x)?f(x),f
n
(x)?f(
4 .
已知.则.
f(x)?
2x?1
n个
5.
f(x))
f
6
(x)?

在正方体中，已知棱长为1，点在上，点在上， .则三棱锥的体积
为.
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
E
A
1
D
1
F
CD
A
1
E?2ED
1
, DF?2FCB?FEC
1

从集合中随机地、不放回地取出三个数，然后再从剩下的2011个
6.
数中同样随 机地、不放回地取出三个数.则将为长、宽、高的砖能放进
以为长、宽、高的盒子中的概率
为.
?
1,2,,2014
?
a
1
、a
2
、a
3
b
1
、b
2
、b
3
a
1
?a
2
?a
3
b
1
?b
2
?b
3

世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手， 骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无 马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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每览昔 人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今 之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。

7.
已知椭圆，与轴交于点，过椭圆上一点（不与重合）作椭圆的切线，
过点分 别作轴的垂线，与切线分别交于点.设交于点，关于的对称点为.
x
2
y
2< br>则的轨迹方程为.
??1
x
A、BPPA、B
l
QQ
PSS

54
300100
8.
设，其中，为常数.则.
(1?x?x)150?
?
c
k
x
c
0
,c
1
,,c
300
?
c
3k
?

2k
k?0k?0
二、解答题（共56分）

9.（16分）定义数 列，对任意的，.证明：为正数数
2
a
n
列.
?
a
n
?
:a
1
?1,a
2
?2,a
3
?3< br>n?3
a
n?1
?a
n
?a
n?1
?
a
n

a
n?2
10.（20分）过抛物线的焦点作斜率分别为的 两条不同直线，且，直线
与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，以为直径的公共弦所在的直
线 记为.求点到直线距离的最小
值.
?:x
2
?4y
F
0k
1
、k
2
l
1
、l
2
k
1
+k
2
?2l
1
?
A、B
l
2
?
C、D

11.（20分）设为给定正整数.求的值.
n(n?2)
?
sin
k?1
n?1
n(k?1)?k
?

n(n?1)
加 试

一、（40分）已知，且.证明：，其中，“” 表示轮换对称
和.
a、b、c?R
+
4abc?a?b?c?1
?< br>(a
2
?a)?2
?
ab
?

二、（40分 ）如图1，的内切圆与三边分别切于点，直线与分别交于点.
过点作边的平行线分别与交于点，联结，过 点作的一条垂线与交于点，
世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于 奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之 ，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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