【配套K12】2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(199)(无答案)

小初高试卷类教案类
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（199）（无答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.三元函数
f(x,y, z)?x
2
?2y
2
?3z
2
?2xy?4yz?2zx? 6x?10y?12z
的最小值为
2.设复数
z
1
?( 6?a)?(4?b)i
，
z
2
?(3?2a)?(2?3b)i
，
z
3
?(3?a)?(3?2b)i
其中，
a、b?R
。当
z
1
?z
2
?z
3
取到最小值时，
3a? 4b?
。
3.设过原点的直线
l
与函数
y? sinx(x?0)
的图像有且仅有三个交点，
a
为交点横坐标中的
(1?a
2
)sin2a
?
。 最大者，则
2a< br>4.已知
P(1,4,5)
为空间直角坐标系
O?xyz
内一定点，过
P
作一平面与三坐标轴的正半轴分
别交于
A、B、C
三点，则所有这 样的四面体
O?ABC
的体积V的最小值为 。
?
x? 0,
?
5.设
?
为满足
?
y?0,
的点
( x,y)
构成的区域，则区域
?
的面积为 （
?
x
?
表
?
x?y?x?y?5
????
?
示不超过实数
x
的最大整数）。
6.形如
y?
b
(a、b?0)
的函 数图像类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，并把其与
y
x?a
轴的交点关于原点的 对称点称为“囧点”。以囧点为圆心凡是与囧函数有公共点的圆，称为
“囧圆”。当
a?b?1
时，所有的囧圆中面积的最小值为 。
7.已知20块质量为整数克 的砝码可称出1，1，…，2014克的物品，砝码只能放在天平一端，
则最大砝码质量的最小值为 克。
8.六名男生和
a
名女生随机站成一排，每名男生均至少与另一名男生相邻，至 少有四名男生站
在一起的概率为
p
，若
P?

二、解答题（共56分）
1
,
则
a
的最小值为 。
100
K12分别是小学初中高中

小初高试卷类教案类
9.（16分）已知
a、b?0,a?b?1
.求
y?
?
a?










?
?
1
??
1
?
b?
???< br>的最小值。
2015a
??
2015b
?
10.（20分） 第一个月有一对大兔，每月繁殖出3只雄兔、2只雌兔，小雌兔隔月长大后也同
样繁殖出3只雄兔、2只 雌兔。问：第
n(n?Z
?
)
个月后共有多少只兔子？











x
2
y
2
11.（20分）设
P
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上任一点，
F
1
、F
2为椭圆的左、右焦点，直
ab
K12分别是小学初中高中

小初高试卷类教案类
线
PF
1
、PF
2< br>与椭圆的另一个交点分别为
M、N
。证明：









加试
PF
1
F1
M
?
PF
2
F
2
N
为定值。 一、（40分）如图1，凸四边形ABCD的对角线交于点M,P、Q分别为
?AMD、?CMB< br>的重心，
R、S分别为
?DMC、?MAB
的垂心。证明：
PQ?RS
.















K12分别是小学初中高中

小初高试卷类教案类




二、（40分）给定任正数
k(k?2)
和正整数
n(n?3)
。求最大下数
?
，使得只要正数
a
1
,a
2
,…a
n
满足
(a
1
?a
2
??a
n
)
?















mn2
三、（50分）求方程
P?P?1?k
的所有正整数解，其中，
p
为奇素数，
n?m?3n
。
?
111
?
?? ?
?
?
?
，则必有
a
1
?a
2
? ka
3

a
n
??
a
1
a
2






K12分别是小学初中高中

小初高试卷类教案类












四、（50分）给定正整数
n(n?2)
。从1，2，…，3n中任取m个数均必有四个两两不同的数
a、b、c、d，使
a?b?c?d
。求m的最小值。
K12分别是小学初中高中