高中数学奥林匹克竞赛训练题(211)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（211）（无答案）



第一试

一、填空题

1.已知为实数，则的最大值为 。
x
2016?x?x?2000

2.顺次联结与的交点，得到一个凸四边形，则此四边形的面积为
x
2
?y
2
?10
y?
4

x
3.设等差数列的前项和为，若，则的最大值为 。
?< br>a
n
?
n
S
n
S
6
?26,a7
?2nS
n

4.若关于的复系数方程有实根，则复数的模的最小值为
x
(1?2i)x
2
?mx?1?2i?0
m

5 .空间一点P到正四面体ABCD的顶点A、B的距离分别为2、3，当正
四面体的棱长位置变化时，点 P到CD所在直线的最大距离
为 。

6.在一次无平局的比赛中 ，当比赛进行到其中一人比另一人多胜2场
时结束，且胜场多者获胜，已知在第奇数场时，甲获胜的概率 为；在
第偶数场时，乙获胜的概率为，则比赛结束时进行场数的数学期望
为 。
33

55
7.设，且在区间上恒成立，则实数的取值范围是 。
1
f(x)?lnx?ax
2
?2x(a?
?
?1,0< br>?
)
f(x)?b
?
0,1
?
b

2
8.若周长为1的三条边上的高可作为一个三角形的三条边长，则的取
至于负者歌于途，行者 休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌 ；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾 欢也。

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环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望 之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉 上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？太守自谓也。

值范围是 。
?ABC
min
?
AB,BC,CA
?

二、解答题

9.当时，求的最小值。
x?
?
1,2017
?
f(x)?
?
ix?i

i?1
2017
10.求函数的最大值。
f(x)?3sin2x?2sinx?43cosx

1 1.设为椭圆的内接三角形，其中，A为椭圆与轴正半轴的交点，直线
AB、AC斜率的乘积为，G为的 重心，求的取值范围。
1
x
2
?ABC
?:?y
2
?1
?
x
?
?ABC
GA?GB?GC

4
4
加试

一、求所有的素数，使得。
p、q
p< br>2
?p?1?q
3

二，已知一个2016×2016方格表，试求最 小的正整数M，使得可以在
方格表中画出M个矩形（其边在网格线上），且方格表中的每个小方格
的边均包含在上述M个矩形之一的边上。

三、已知正实数与非负实数满足
a
1
,a
2
,…,a
n
b
1
,b
2
,…,b
n

（1）
a
1
?a
2
?…? a
n
?b
1
?b
2
?…?b
n
?n

（2）
a
1
a
2
…a
n
?b
1
b
2
…b
n
?
求的最大值。
a
1
a
2
…a
n
?
1

2
?
b1
b
2
b
?
??…?
n
?

a
n
??
a
1
a
2
四、如图1，交于点P，的另一 个交点A，经过点A的一条直线分别与
交于点B、C，AP的延长与交于点D，作DEBC与交于点E， 再作EM、
EN分别与切于点M、N，证明：
EM2-EN2=DE·BC.
O
1
、O
2
与O
3
O
1
与O
2
O
1
、O
2
O
3
O
3
O
1
、O
2


至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来 而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴 酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。
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