高中数学教师专业规划方案-洛必达法则高中数学应用
４
２
中
等
数 学
缴
ｆ
奥瀚
中图
分类号
Ｇ
４
２
４
７
９
文
献标识
码
：：
训
錄
龜
（
２３
３
）
个
球
Ａ
文
章编
号
１
００
５
６
４
１
６
（
２０
１
８
）
１
１
０
０
４２
０
５
一
第 试
绿色
四
个
小球
现每
次从
袋
子
里
取
出
．
，
一
确
认颜色
后
放
回
去
，
一
直
到
连
续
两
次
均取
出
．一
、
填
空题
每小题
８
分
共
６
４
分
（
，
）
红
色
球
时
为止 记
共
取
了
（
次
球
若
每
次
，
一
１
．
已
知
数
列
ｎ
：
取
出
某
色
球
的
概率是相
同
的
则
（
的
期
望为
，
ａ
〇
１
，
ａ
？
２
＝＝
２
＝
１
１
二
、
０
则
满
足
ａ
＜
２
０
８
的
正
整
数
的
最
大
值
？
？
为
２
．
设复数
９＝
（
２
＝
５
ｃｏ
ｓ
０
＋
２
ｉ
ｓ
ｉ
ｎ
若
函
数
）
解答题
共
分
（
５
６
）
９
（
１
６
．
ｉ
分
设
实
系
数
多
项式
）
ｔ
Ｐ
（
ｘ
）
＝
ｘ
２
＋
ｂ
ｘ
Ｇ
Ｒ
＝ １
２
＾
）
，
ｉ
，，
＊ ＊
＊
，
７
ｙ
２
ｉ
互
不相
同
且
对任
意
的
Ａ
，
１
／
（
０
）
ｇ
０ ＜
詈
ａ
ｒ
ｚ
（
衫
的
最
大
值
为
７
则
ａ
ｙ
ｎ
，
１
恰
有
个实
根
求
《
的
最
大
值
０
２
０
分
在
平
面
直
角
坐
标
系
＊
Ｏ
ｙ
中
一．．
（
．
）
，
ｔ
＝
点
列
文
？
ｙ
Ｕ
ｙ
为
两
个
正
实数
序
６
２
３
．
设非
零实
数
ａ
满
足
ａ
＋
、
６
２
＝
２
５
．
若
（
，
ｎ
）
（
？
丨
、
丨
ｎ
丨
函
数
ｙ
＝
４
存
在最大
值
；
列
满
足对
任意
的
〃
多
均有
）
１
，
＾
和
最
小值
ｙ
则
２
，
Ａ５
＋
１
＝
？
１
（ １
，
）
，
４
．
已
知
椭
圆
Ｃ
的
个
焦
点
心
，
轴
长
为
２
直线
圆
Ｃ
的
另
个
焦
点
一
＝
２
长
ｘ
＋
２
与
椭
圆
相
切
则
椭
的
轨迹
方
程为
．
Ｆ
．
４
不
同
证
明
４
４
４
位于直线
的
同
侧
、
已
知
点
ｋ
４
在
直线
上
且
ａ
与
〇
１
８
，
．：
＾
〇
１
８
，，<
br>…
，
。
１
７
Ｊ
．
半
径
为
，
５
．
ｒ
若
半径
为
ｆｔ
的
空
心
球
内
部装有
两
个
的
实
心
球
和
个
半径为
２
的
实
心
ｒ
．
１１
（
２０
．
抛物线
分
在
平
面
直
角
坐
标
系
ｘ
Ｏ
ｙ
中
Ｐ
条
过
点
０
ｙ
假
设
存
在
）
，
＝
，
（
，
ｆ ）
球
则
的
最大
值
为
／
１
，
＝
的
直
线
与抛
物线
Ｃ
交
于
４
／
，
两
点
且
抛
物
，
１
，
６
．
设
菱形
岑
４４４
的
边
长为 Ｚ
ｐ
为
菱
形
岑
皂
所
在
平
面
内
．
点
则
线
Ｃ
上
总
存
在
点
Ｍ
使
得
直线
与Ａ
Ｍ
ＯＰ
的
外接
圆
相交
另
交点
为
并满足
／
，
（
？
，
｜
＝
Ｚ
＝
９０
。
．
求
正
数
ｔ
的
取
值
范
围
．
乏
］
＜
；
＾
４
７
．
的
最小
值
为
＝
（
；
，
力
ｎ
试
？
？？
ｒ
设
Ｐ
＊
）
Ｋ
５
：
＝
％
＋
１
２
的
五
个
根
为
ｑ
．
、
（
４
０
分
设
＾
）
；
，
《
２
，
，
；
＼
为不
小
于
ｃ
１
２
？
＊
戈
＋
则
，<
br>…
２
１
，
７
５
，＜
（）
Ｑ
Ｑ
（
）
Ｑ
（
（
ｘ
ｒ
ｒｒ
３
）
２
Ｑ
（
）
ｒ
４
）
Ｑ
（
ｒ
５
）
８
．
假
设
个袋
子里
有
红
色 黄色
蓝
色
、、、
＜
〇
求最小
的
常
数
使得
的实
数
满
足
￡
对
切
正
整
数
ｎ
均
有
￥
ｇ
在
ｍ
，
＝
．
，
＝
ｉ
ｌ
，
；
．
１
＝
１
２
０
１
８
年第
１
１
期
４
３
二
＝
、 （
４０
分
）
设
０
为
锐
角
Ａ
Ａ
ｌｆ
Ｃ
的
外
心
，
＝
＞
Ａ
〇
２
－
４
ｙ
（
ｙ
－
ｂ
）
＾
０
．
ｖ
４
５
＞
４Ｃ
，
分别
过点
ｆｉ
、
Ｃ
作
？
０
的
切
线
，
交
于
于
是
４
，
；
Ｋ
２
、
；
Ｋ
ｉ
为
－
ｙ
（
ｙ
６
）
＝
０
的
两
个
点
ｉｆ
Ｄ
，
．
联结
４０
并
延
长
与
Ｃ
交
于
点
为
根
，
此时
，
５Ｃ
，
与个交点％Ａ
＝
ｊ
＋６ａ＝４
２
２
＞
△
的
外接
圆
与
？
０
的
第
二
个交
点为
从
而
，
ｙ
２
与
７
ｉ
总是
存
在
的
？
证
明
：
直线
／
＾
平分线
段
Ｍ
故
ｍ
＝
；
＋
４
（
／
ｉ
ｙ
２
）
ｙ ｙ
Ｚ
）
．
２
Ｖ
ｉ
２
三
、
５
０
设
正
无
ａ
、
分
理
数
芦
满
足
对
于
＝
＝
＞
／
ｂ
２
－
５
．
任
（ ）
（
ｂ
２
２
５
）
意
正
实数
＊
，
均有
２
４
．
＋
３
２
＝
４
ｌ
＜
？
＜
ｌ
ａ
ｘ
［ ［ ］ ］
＊
＋
ｌ
［
ａｘ
］ ］
（
）
（
ｙ
）
（
＾
［
ｐ
，
①
，
＝
其
中
１
＜
ｙ
＜
３
）
．
，
［
＊
］
表
示不
超
过
实数
＊
的
最大整
数
．
证
设楠
圆
Ｃ
与
直
线
／
的
切
点为
Ｍ
，
Ｇ
关
于
明
：
ａ
＝
尽
直
线
／
的对
称
点为
四
ｕｕ
、
（
５
０
分
）
设
ｒ
ｉ
为
正
整
数
，
ｕ
， ，
２
，
…
ｎ
为
，
则
Ｃ
、
、
，
不
大
于
２
ｆｃ
多
３
Ａ
Ｇ
Ｚ
的
正
整
数
定
义
Ｍ
三
点共线
且
４
（
Ｆ
２
，
＋）
？
＝
Ｉ
Ｆ
Ｆ
Ｉ
＼
Ｆ
Ｍ
＼
＋
＼
ｍ
ｆ
＼
＝
；
２
［
２
个
非负
整
数
ｔ
的
“
表 达方式
”
为满 足
＊
＝
Ｆ
Ｍ
＋
ＭＦ
＝
２
一
２
！
＋
ａ
２
ｕ
２
＋
…
＋
ａ
ｎ
ｕ
？
的
一
个
非
Ａ
于是
３
，
点
２
在
以
Ｆ
；
（
，
２
，
，
？
证
明
若
非
负
整
数
：
存
负
整
在表
数序
列
达
方
Ｆ
半径
１
，
）
为
圆
心
、
２
为
的
圆
弧
上
．
ａ
…
ａ
．
＊
式
，
则
存在其
个表
达
方式
，
使得
Ｆ
％
，
２
Ｚ
同
侧
，
，
，
由
点
在直线
的
知
点
２
一
…
ａ
一
ａ
？
中
非零
的
数
少
于
Ａ
：
＋
１
个
．
的
轨
迹
方
程
为
２
２
参
考
答
案
＊
＋
ｌ
＋
－
３
＝
４
ｌ
－
＜
＊
＜
１
１
＜
＜
３
．
（
）
（
ｙ
）
（
，
ｙ
）
第
试
５
．
＾
Ｒ
．
一
＝
＾
４
—
考
虑
这
四
个球
的
球
心
在
同
平
面
上
一
、
１
＊
７
．
当
时
，
设半径为
、
及
两
个半径
为
的
球
的
？
／
？
２
ｒ
／
Ｓ
＝
３
Ｓ
＝
ａ
ｎ
＝
２５
？
ｘ
ｎｎ
球
心
分别
为
，
其
中
，
又
Ｓ
＝＝ １
。
ａ
。
则
＝
，
３
．
００
＝
３
厂
，
２
／
？
＝
（
＾
０
３
＝
＝
〇〇
３
／
？
ｒ
．
＝
－
ｎ
１
＝
只
需满
足
０
２
〇
３
多
２
ｒ
即
可
．
由
２
ｘ
３
＜
２
０
１
８
＞
ｎ
＜
８
．
延长
，
与
交
于
点
则
２
３
〇
〇
见
ｓ
ｉ
ｎ
Ｚ
〇
〇
Ｍ
＝
２
ｔ
设
＝
ｆ
ｔ
ａ
ｎ
Ｇ
（
〇
ｌ
，
］ ）
？
则
＾
＾
＾
卜
ｈ
＾
＞
ｃ
ｏ
ｓ
／
Ｌ
０
０
Ｍ
３
ｔ
ａｎ
０
ａ
ｒ
ｚ
（
ｇ
）
＝
４
２
１
２
＋
２
２
９
ｒ
（
ｉｆ
２
ｒ
）
－
（
Ｒ
ｒ
）
６
ｒ
－
Ｒ
ｌ
＋
ｔ
ｔ
＋２
ｔ
－
＝ ＝
ｊ
ｊ
６
ｒ
（
Ｒ
－
２
ｒ
）
３
Ｒ
－
６
ｒ
当
＝
时
，
上
式等号成
立
＊ １
４
２
１
．
＾
＝
＞
Ｒ
．
３
４
．
５
．
＊
—
．
ａｘ
＋
ｂ
６
１
＝
＞
ｘ
２
－
ａｘ
＋
２
ｙ
ｙ
ｂ
Ｑ
？
＋
１
设菱形
中
心
为
ａ
则
４４
中
等
数
学
Ｓ
Ｍ
Ｐ
Ａ
方
面
，
当
ｎ
，
一
＝
３
时
取
＇
ｊ
ｌ
（
＜４
ｉ
ｊ
莓
＝
ｘ
２
４
Ｐ
ｘ
＝
ｘ
２
４
ｘ
＋
６
＝
Ｃ
２
〇
Ａ
Ｐ
ｘ
（
）
，
２
（
）
，
ｌ
ＰＱ
２
１
＇
〇Ａ
ｉ
ｉ
Ｋ
４＜
２
ｉ
＾
ｊ
＾Ａ
Ｐ
ｘ
＝
ｘ
Ｓｘ
＋
１
２
．
３ （
）
＝
６
ｐ
５
２
１
５
＝
－
ｌ
．
则
２
／
⑷
＝
２
“
－
ｌ
）
，
中
当
点
ｐ
在菱形
心
时
，
上
式等
号
成
立
．
Ｐ
ｘ
＋
Ｐ
２
ｌ
３
（
ｘ
）
＝
２
（
ｘ
（）
－
）
７
＼
．
５
．
＝
２
Ｐ
３ （
ｘ
）
＋
Ｐ
２ （
ｘ
）
２
（
ｘ
３
）
，
由
题
意
，
知
户
０
）
＝
１
１
（
＊
－
／
））
．
满
足题设
条件
．
；
＝
１
一
方
面
，
当
ｎ
＞
４
时
，
设
则
芬
＝
值
ｒ
＋
ｉ
只
（
－
ｉ
另
Ｐ
ｘ
２
＋
Ｐ
ｘ
＝
２
ｘ
ｔ
（
？
（
〇
）
（
；
）
０
）
） （
ｉ
（
）
，
）
（
） ｊ
（
＾
）
＝
ＰＰ
ｉｉ
，
Ｒ
Ｊ
＝
其
中
１
，
４
，
７
＝
２
，
３
．
（
）
（
）
５ ２ ｓ
２
＝
ｉ
－
ｉ
＋
ｌ
－
ｉ
－ －
＋
１
则
对
任意
的
实
数
＊
，
均
有
（
） （
ｉ
（
） （
）
）
＝
（
＋２
） （
ｉ
＋
２
）
＝
ｉ
５
．
＝
２
２
２
］
Ｐ
ｉ
（
ｘ
）
２
（
ｘ
ｔ
ｌ
２
）
＋
２
（
ｘ
－
ｔ
４
ｉ
）
８
＝
．
２
０
ｔ ｌ
．
２
＝
２
－
设所求期
望为
，
第
ｘ
）
＋
２
（
ｘ
１
４
２ ）
一
次取
出
的
球
的
颜
２
（
ｔ
１
３
．
￡
色
分
别为
红
黄
蓝
绿
的
取法
的
次数
（
的
期
于
是
（
２
＋
（
４
３
＝
，１
〖
１
３
＋
（
４
２
，
且
、、、
’
＊
＝
望为
Ｅ
１
２
＋
４
３
尤
３
＋
尤
４２
－
１
Ｅ
（
ａ
） 、
Ｅ
（
６
）
、
Ｅ
（
Ｃ
ｉ
）
、
（
＜
）
．
尤
＝＝
Ｊ
＝
＜
＾
或
＾
’
＝
尤
（
１
２４
３
）（
１
３
，
４２
）（
１
２
，
４３
）
， １
３
）
则
Ｅ
（
６
）
Ｅ
（
ｃ
）
Ｅ
故
（
ｄ
）
．
．
因
为第
次
取
出
的
球
的
颜
色为
红
、
黄
、
蓝
＝＝
（
纟
１
，
２
，
３
，
４
）
有
相
同的
，
矛盾
一
＞
尽
（
＊
）
或绿
的
概
率
是相
同的
所
此
，
求
ｎ
的
最
大
值
为
３
．
，
以
，
因
所
ｂ
１
０
？
Ｅ
（
ａ
）
＋
Ｅ
（）
＋
Ｅ
（
ｃ
）
＋
Ｅ
（
ｄ
）
．
因
为
０
、
４
、
奚
Ｑ
１
８
三
点
共线
及
｜
？
！
、
ｔ ＝
４
Ｉ
ｙ
？
丨
为
两
个
正
实
数序
列
，
所
以
，
存
在
正
实
数
Ｅ
，
（
ｇ
）
＋
３
Ｅ
（
６
）
①
＊
使
得
先
考
虑第
次
取
Ｌ
①
一
出
的
球
是
红
色
的
，
若
第
二
＝
＾
ｙ
ｉ
３
２
０
１
８
次
取
出
的
球是
红
色
的
，
则
操作结束
；
若
不然
，
注意
到
，
第
一
个
为
红
球
，
第
二
个球
的
颜
色为
黄
、
蓝
或绿
，
尚
忽
略
第 个
红
球
剩下
的
取
球方式
可
以
视
为
种
ｕ
＝
上
２
＝
１
心
４
＋
２
．
一
，
一
Ｖ
＜
＋
新
的
取
法
即
第
个球
的
颜
色
是黄
蓝
或
（
一
、
则
丨
４
丨
为
绿
等
差
数
列
．
，
）
则
于是
冰
任
意
的
２
矣
ｉ
矣
２
０
１
７
，
设
ｉ
Ｈ
Ｌ
ｎ
Ｅ
（
Ａ
）
＝
ｘ２
±
＋
ｐ
，
②
再考虑第
一
次取
出
的
球是黄
、
萆或绿
，
忽
略
得
４
＝
〇
：
；
＊
？
＋
你
》
＾
。
１
８
，
即
第
一
个球
，
剩
下
的
取球方式
可
以
视为
一
种
新
的
取
Ｘ＊
法
即
第
个球
的
颜
色可
以
是
红
、
黄
蓝
或绿
ｉ
—
ａ
／
〇
￡ｉ
＊
ｉ
＋
Ａ
２
０
１
８
．
（
一
、）
，
则
类似
地
Ｖ
＾
＝
，
ａ
ｉ
Ｖ
９
Ｔ
＋
Ａ
Ｖ
Ｖ
２
Ｏ
Ｉ
８
？
Ｅ
（
Ｂ
由
）
＝
Ｅ
＋
１
式
①
有
．
③
由
式
①
、
②
、
③
解
得
五
＝
２
０
＋
．
Ａ
Ｖ
＾
２
〇
ｉ
８
）
？
二
、
９
．
／Ｉ
的
最
大
值
为
３
．
由
柯
西
不
等
式
得
２０
１
８
年第
１
１
期
４
５
ａ
＋ａ＋
（
￡
（
ｉ
ｇ
）
＾
）
＾
Ａ
＾
２ 〇
令
ｓ ＝
４
＋
１
．
则
问
题
转
化
为
求
关
于
ｓ
的
＾
〇＾
＋
＾
方
程
（
￡
；
１
Ａ
２
０
１
８
）
＝
ｆ
ｓ
２２
＝
＋
°
（
）
＝
ｓ
－
２
ｓ
＋
ｔ
＾
－
ｔ
Ｘ
＋
ｔ
＾
０
（
（
Ａ
）
（
＾
ｉ
＼
Ａ
２ ０
１
８
）
）
多
（
＋
Ａ
ｘ
有大
于
１
的
实
根
．
故
＾
／
２
０
１
８
）
Ａ
＝＞
／
（
！
）
＜〇
＾
ａ
Ｘ
（
＋
ｘ
＾
％
０
１
８
或
Ａ
＝
２
ｆ
２
４
２
ｆ
—
ｔ
＾
０
ｊ
（
）
（
）
，
＾
ａ
ｘ
＋
ｘ
（
；
ａ
／
＾
Ｐ
ｉ
」
２ 〇
ｉ
８
）
？
Ｕ
＞
ｉ
．
由
于
岑
与 ４
。
１
８
不
同
，
于是
，
上
述等号不
２
或
＆
解
得
ｆ
３
＊
＋
ｌ
＜
０
ｔ
＞
ｌ
，
即
能成
立
，
即
＞
＊
对任意
的
２
系
ｋ
２
０
１
７
均成
Ｖ
ｉ
ｔ
＞
２
？
立
故
４
，
七
，
？ ？ ？
。
１
７
位
于
直线
ｄ
的
同
一
侧
．
１１
．
依
题意
，
设
财
（
＊
。
，
４
）
（
％
＃
〇
）
，
直线
从
而
＊
，
?
？
芯
〇
〇
２
＝
ｔ
ｌ
：
ｙ
ｋｘ
＋
．
将直
线
Ｚ
的
方
程与拋物
线方
程联
立
得
加
试
ｘ
２
记
ｋｘ
＝
ｔ
０
．
，
丨
〇
，
（
２
，
４
）
则
５
一
＊
、
所
求
Ｃ
的
最
小
值
为
含
．
．
ｘ ＋
ｘ
＝＝
ｘ
２
ｋ
９
ｘ
ｘ
ｘ
２
Ｌ
一
方
面
，
由
々
，
％
，
？ ？ ？
，
％
为不
小
于
１
的
由
Ｚ
Ａ
Ｍ
ｉｆ
＝
９０
。
实数
，
知
对任
意
的
１
矣
ｎ
，
均
有
＝
＞
Ｍ
Ａ
－
Ｍ
Ｂ
２
＋
１
（
＾
ｘ
２０
）
（
ｔ
）
＾
＝
（
尤
１
％
＋
＊
－
）
（
卜
４
Ｘ
４
４
＝
）
〇
ｉ
－
４
＝
１
：
）
（
丨
２
＋
丨
〇
）
０
＾
＋
１
） （
Ｘ
２
２
）
多
０
？
＋
（
％
＋
Ａ
〇
ｉ
１
＾
ｘｘ＋
＋
ｘ
＋
ｘ
ｘ
＋
ｘ
１
＝
ｌ
（
ｘ
２
）０
ｘ
２
０
上
式
展
开
整
理
并
注意到ｉ
；
ｗ
＝
〇
，
有
＝
； ＝
ａ
；
〇
＋
ｋｘ
０
－
ｉ
＋
１
０
１
＾
４
／
／
ｘ
（
ｉ２
ｉ
Ｖ
＝
ｌ
ｊ
故
ｃ
￥
＝
｜
．
设
的
外
心
为
ｒ
．
于
是
，
另
方
面
当
＝
９
时
取
ａ
＝
一
，
／
ｉ
，
％
２
＝
…
＝
由
Ｚ
Ｐ
Ｍ
（
？
＝
９
０
°
，
知
点
ｒ
在直线
／
上
．
尤
＝
８
＝
１
，
尤
９
２
，
则
又
点
ｒ
在
ｃ
ｍ
的
垂
直平分
线
上
，
故
＊
Ｘ
４
＝
０
且
Ｘ
４
＝ １
２
＝
去
ｘ
＾
４
１
（
〇
＼
９
＝
＾
２
）
，
）
，
ｉ
＝
ｌｉ
＝ ｌ
Ｊ
２
７
（
）
０
１
满
足
条件
．
＾
Ｘ
＝
！
Ｘ
＋
１
？
即
＾
Ｔ
＾
（ ｌ
）
则
Ａ
综
上
，
所
求
ｃ
的
最
小
值
为
Ｊ
＋
？
ｔ
Ｊ
ｐ
－
ｔ
②
Ｘ
Ｘ
Ｔ
Ｐ
Ｘ
〇 （
ｘ
ｌ
？
＋
１
）
二
、
如
图
１
，
过点
４
作
Ｓ
Ｃ
的
垂
线
，
与
？
０
由
式
①
、
②
整
理
得
于
点
Ｐ
，
在
２
交
于
点圮
设
直线
／
＾
与
Ｍ
Ｚ
）
交
＊
＝
．
（
〇
ｔ
＋
１
ｔ
．
作
边
ｂ
ｃ
的
中
位线
ｓ
ｒ
）
△
ｚ
＞
ｉｆ
ｃ
中
４６
中
等
数 学
ｐ
②
＼
＾
１
．
ａ
ＬＬ
ａ
＝
ｋ
［
左
在式
①
中
取
％
＝
奮
ｓ
＞
〇
充
分
小
）
ａ
（
，
３
（
使
得
％
＞
０
，
于
是
，
＜
＝
［
（
Ａ
：
１
）
）
８
］
０
．
③
由
式
②
、
③
，
知
对
任
意
充
分
小
的正
数
１
图
１
均
有
由
分
别
／
３
＃
＞
Ｐ
＊
?
四
点共
圆
知
ａ
ａ
Ｍ
Ｚ
Ａ
Ｆ
Ｍ
＝
Ｚ
Ａ
Ｅ
Ｍ
＝
Ｚ
Ａ
Ｂ
Ｃ
＋
Ｚ
Ｂ
Ａ
Ｏ
故
为整
数
．
＝
ｚ
ａ
Ａ
Ｂ
Ｃ
＋
Ｚ
Ｃ
Ａ
Ｈ
＝
ｚ
Ａ
Ｂ
Ｈ
＝
Ｚ
Ａ
Ｆ
Ｈ
．
结合
点
Ｍ
、
＂
在
同
侧
知
三
从
而
为有
理
数
，
，
＃
．
点
共
线
．
旦
于是
设
丄
＝
再
结合
（
ｒ
ｓ
６
Ｚ
ｒ
，
、
＋
，
（
，
ｓ
）
Ｂ
Ｃ
丄
Ｄ
Ｍ
知
＝
ｌ
）
．
ａ
ｓ
Ｚ
Ｐ
ＭＮ
＝
ｚ
Ｈ
Ａ
Ｎ
＝
ｚ
Ｈ
Ｆ
Ｎ
．
在
式
①
中以
ｉ
代替
＆
有
故
Ｐ
Ｍ
与△
Ｍ
／
Ｖ
Ｆ
的
外接
圆
切
于
点
Ｍ
ａ
．
于
是
ｒ
ｘ
，
／
Ｗ
＊
Ｐ
Ｆ
＝
Ｐ
Ｍ
２
，
即
点
Ｐ
在
？
０
与
点
ｒ
ａ
＾
Ｍ
ａ
＼
ｎ
］ ］ ＼
ｒ
④
Ｌ
ｌ
＝
％
」
？
［＼
圆 的
根
轴
上
ｓ
＼
ｓ
．
又
Ｍ
Ｚ
＾
Ｓ
ｒ
分别
为
Ａ
ｉｆ
Ｃ
Ｚ
，
《
）
的
高
线
中
位
注
意到
为无
、
理
数
，
／
为
正
整
数
．
线
ｒ
则
ａ
不
为有
理
数
．
，
故
Ｂ
Ｓ
１
２
＝
Ｓ
Ｍ
Ｔ
Ｍ
２
２
＝
Ｔ
Ｃ
．
，，
，
于
是
由
狄
里
克莱定
理
知
存
在
正
整数
ｆ
，
结合
ｉｆ
ｓ
、
ｃｒ
均
为
？
〇
的
切
线
，
知
点
ｓ
、
ｒ
使
得
＜
／
〇
？
｜
｜
？
＜
Ｃ
ｔ
（
这
里
用
到
了
＝
々
＜
０
！
，
ｍ
ＳＳ
均在
？
〇
与
点
圆
的
根
轴
上
．
３
?
（
〇
，
） ）
．
１
故点
ｐ
在 直线
ｒ
ｓ
上
，
尸
ｍ
／
ｇ
ｐ
为
ｚ
的
中
点
则故在式
④
中
取
ｘ
＝
Ｍ
１
，
并注意
到
．
综
上
＾
＝
ｅ
〇
ｉ
．
，
原
命
题得
证
．
（
，
）
ａ
ｓ
＞
故
左边
ａ
三
假设
—
（
＂
、
以
芦
［
１
）
］
［
妨
ａ
］
，
￡
１
不
妨设
〇
尽
＝ ＝
在式
①
中
取
ｘ
ｚ
，
则
＾
［
ａｒ
ｔ
］
１
，
ａ
＝
０
＾
ｌ
［
／
３
］
／
３
ｅ
（
０
，
）
．
右
边
＝
ａ
ｒ
＝
ｔ
［
ａ
ｒ
ｔ
］
９
ｓ
记
灸
＝
＿
（
ｒ
＊
ｉ
表
示
不小于实数
＊
的
最
矛盾
？
小
整
数
于
是
ａ
为
因
此
，
假设
不
成
立
，
即
ａ
＝
尽
）
．
正
整
数
．
四
、
对
一
个存
在
表
达
方
式
的
非
负
整
数
ｈ
在
式①
中
取
有
ａ
设
其表
达
方
式
中
非
零数
最少
的
一
种为
Ａ
，
ａ
２
，
２０
８
１
年第
期
１
１
４
７
本
期 问
题
高
５
９７
设
ａ
、
．
中
去掉
５０
个
使得
在
剩下
的
正
整
数
中
任意
两
个
，
，
不
同
的
数
均有
ａ
＆
求
去
掉
的
所有
正
整数
之和
丨<
br>＝
，
６
、
ｃ
＾
０
ａ ＋
ｉ
＋
ｃ
５
记
，
？
Ｓ
＝
２
ａ
＋
２ａ
６
＋ａ
６
ｃ
求
Ｓ
的
最
大
值
高
５９８
已
知
Ｐ
为
锐
角
Ａ
Ａ
Ｂ
Ｃ
内
点
一
Ｐ
，
关
于边
Ｓ
Ｃ
的
中
点
的
对
称
点为
Ｐ
关
于边 的
对
称
点为
仏
处
的
中
点
记为
足
类
似
定
义
点
足
及
点
尸
在边
ｉｆＣ
Ｃ
Ａ
Ｂ
上的
射
ａ
：
，
仪
的
最
大可
能
值
高
６０
０
设Ｕ 人是
《
个
由
正
整
数
构成
的
集合
其
中
每
个
集
合
矣
》
．
２
，
…，
，
一
）
中
的
元素
可
以
排
列
成
个
公差
为
４
的
递增等差
一
＾
？
数列
且
，
、
．
、
４
＆
，
＝
Ｚ
＋
定
义
／
．
（
ｍ
表
示
ｍ
〇
Ｇ
）
（ １ ）
＇
、
Ｚ
影
分
别为 札 证
明
Ａ Ａ
仄
与
Ａ見札
坟
中
心
对
称
、
：
的
不
同
素
因
子
的
个
数 定
义
／
＋
）
，
．
／
？
＜
＝
０
．
证
明
存
在
：
１
及
１
矣
之
＜
ｉ
２
＜
…
＜
．
夂
矣
《
，
高
５
９
９
在
１
２
１
００
，，
…，
这
００
个
正
整数
１
使
得
…
，
ａ
ｎ
，
并
记
４
＝
Ｕ
〇
＞
０
则
ａ
；
１
，
；
（
Ｇ
４
）
两
两
ｖ
ｍ
ｉ
ｎ
ａ
｛
＝
； ！
．
ｉ
６
Ｃ
２
不
同
．
接
下
来
证
明
Ｍ
＜
ｃｆ
＋
：
则
２
《
＝
ｉ
＾
Ａ
１
．
假
设
ｍ
多
办
＋
则
由
＊
多
３
知
ｍ
多
４
于是 存
在
６
４
矣
Ｖ
这是
因
为
ｈ
Ｇ
两
两不同且不
大
于
２
．
反
证
法
＝
ａ
：
ｕ
＋
２
６ Ｃ
＋
２
ａ
ｕ
＋
Ｓ
ａ
ｕ
ｉｉｉｉ
ｉ
（
［
ｉ
￥
Ｃ
２
ｖ
）
ｕ
ｉ
＾
（
３
ｉ
．．
，
＝
（
ａ
＋
ｖ
ｒ
）
ｕ
＋
２
° ＋
ｉ
ｉ
＋
，
／
，ｌ
ｉ
－
１
（
ｙ
?
Ｃ
（
＊
／
！
）
，
）
．
＂
Ｘ
考虑
和
式
为
这
２
）
〇
；
）
（
＋
＾
＾
）
ｉ
Ｚ
ａ
ｕ
）
ｉ
ｉ
－
＾
Ｂ
〇
ｉ
（
４
若
５
０
视这
个
大
于
％
个数
由
抽屉原
理
，
＝
ａ
＋
ｗ
，
ｉ
；
＝
７
；
）
．
，
知
存
在尽
ｆｉ
Ｑ
４
、
２
＼
｜
；
１
扁
—
；
）
故
记
＼
Ｗ
ａ
；
，
ｉ
＾
ｃ
ｉ
；
艮
满足
，
ｉ
Ｇ
Ｃ
２
；
２
ｉ
（
－
ｕ
ｍ
〇
ｄ
ｕ
故设
２
ｗ
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