高中数学奥林匹克竞赛讲座 17数学归纳法

竞赛讲座17
-数学归纳法
基础知识
数学归纳法是用于证明与正 整数
n
有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数
学竞赛中占有很重要的地 位．
1．数学归纳法的基本形式
（1）第一数学归纳法
设
P(n)
是一个与正整数有关的命题，如果
①当
n?n
0
（
n
0
?N
）时，
P(n)
成立；
② 假设
n?k(k?n
0
,k?N)
成立，由此推得
n?k?1
时，
P(n)
也成立，那么，根据①
②对一切正整数
n?n
0时，
P(n)
成立．
（2）第二数学归纳法
设
P(n)
是一个与正整数有关的命题，如果
①当
n?n
0
（
n
0
?N
）时，
P(n)
成立；
② 假设
n?k(k?n
0
,k?N)
成立，由此推得
n?k?1
时，
P(n)
也成立，那么，根据①
②对一切正整数
n?n
0时，
P(n)
成立．
2．数学归纳法的其他形式
（1）跳跃数学归纳法
①当
n?1,2,3,?,l
时，
P(1) ,P(2),P(3),?,P(l)
成立，
②假设
n?k
时
P( k)
成立，由此推得
n?k?l
时，
P(n)
也成立，那么，根据① ②对一
切正整数
n?1
时，
P(n)
成立．
（2）反向数学归纳法
设
P(n)
是一个与正整数有关的命题，如果
①
P(n)
对无限多个正整数
n
成立；
②假设
n ?k
时，命题
P(k)
成立，则当
n?k?1
时命题
P(k ?1)
也成立，那么根据①②
对一切正整数
n?1
时，
P(n)成立．

- 1 -

3．应用数学归纳法的技巧
（ 1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数
n
都成立，但命题本身对
n ?0
也成立，而且验证起来比验证
n?1
时容易，因此用验证
n?0
成立代替验证
n?1
，同理，其
他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就 可以．因而为了便于起步，有意前移
起点．
（2）起点增多：有些命题在由
n?k< br>向
n?k?1
跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，
此时往往需要补充验证某 些特殊情形，因此需要适当增多起点．
（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改 变跨度，但注意起点也应
相应增多．
（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“ 假设
n?k
时命题成立”不可，
需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法 中的某一形式，灵活选择使用．
（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命 题帮助证明，或者
需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．
5．归纳、猜想和证明
在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也 可能是错误的，
这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想， 其
正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、
解 决问题极好的方法．
例题分析
例1．用数学归纳法证明：
111
(1? 1)(1?)(1?)
?
(1?)?
3
3n?1
（
n?N< br>*
,
n?
1
）
473n?2
3332
*< br>例2．已知对任意
n?N
，
n?1
，
a
n
? 0
且
a
1
?a
2
???a
n
?(a
1
?a
2
???a
n
)
，
求证：
an
?n
．
例3．如果正整数
n
不是6的倍数，则
1986?1
不是7的倍数．
例4．设
a
1
,a
2
,
?
,a
n
都是正数，证明
n
a
1
?a
2
?
?
?a
n
n
?a
1
a
2
?
a
n< br>．
n
例5．已知函数
f(x)
的定义域为
[a,b]
，对于区间
[a,b]
内的任意两数
c,d
均有
f(
c? d1
)?[f(c)?f(d)]
．求证：对于任意
x
1
,x
2
,?,x
n
?[a,b]
，均有
22
f(
x
1
?x
2
?
?
?x
n
1
)?[f (x
1
)?f(x
2
)?
?
?f(x
n
) ]
．
nn
例6试证：对一切大于等于1的自然数
n
都有
1
?cos
?
?cos2
?
???cosn
?
?< br>2
sin
2n?1
?
2
．
?
2sin2
n2
例7试证：对一切自然数
n
（
n?1
）都有2?2?n
．

- 2 -

例8．证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形．
例9．设< br>0?a?1
，
a
1
?1?a
，
a
n?1?
1
?a
，求证：对一切
n?N
均有
a
n?1

a
n
例10．已知
a
1
?a
2
?1
，
a
n?2
例11．设
f(n)?1?
2n? 1
a
n?1
?(?1)
，求证：对一切
n?N
，
a
n
都是整数．
?
a
n
111
????
， 是否存在关于正整数
n
的函数
g(n)
使等式
23n
f(1 )?f(2)???f(n?1)?g(n)[f(n)?1]
对于
n?2
的一切自然 数都成立？并证明你的
结论．
a
2
?12
，
a
3
?20
，例12．设整数数列
{a
n
}
满足
a1
?1
，且
a
n?3
?2a
n?2
?2an?1
?a
n
．证
明：任意正整数
n
，
1?4 a
n
a
n?1
是一个整数的平方．
例13．设
x
1
,x
2
,
?
,x
n
为正数（
n?2），证明：
22
2
x
n
x
n
x
12
x
2
?1
?
2
?
?
?
2< br>?
2
?n?1
．
x
1
2
?x
2< br>x
3
x
2
?x
3
x
4
x
n ?1
?x
n
x
1
x
n
?x
1
x< br>2
例14．已知
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?
1
*
（
n?N,n?1
），求证：a
9000
?30
．
2
a
n
2
a< br>n
1
例15．整数列
{a
n
}
（
n?N,n ?1
）满足
a
1
?2,a
2
?7
，且有
? ?a
n?1
?
求
?2
．
2a
n?1
*证：
n?2
时，
a
n
是奇数．
训练题
1． 证明
n?N
时，
1?2?2?2?
?
?2
235n?1能被31整除．
2．设
n
不小于6的自然数，证明：可以将一个正三角形分成< br>n
个较小的正三角形．
111
??
?
?
n?1
?2

24
2
111
4．设
n
为自然数，求证：
1?
2
?< br>2
?
?
?
2
?2
．
23n
3．用 数学归纳法证明：
1?
5．对于自然数
n
（
n?3
），求证 ：
n
6．已知
a
1
?a
2
?1
，
a
n?2
n
n?1
?(n?1)
n
．
2n?1< br>a
n
*
?1
?(?1)
，求证：对于一切
n?N，
a
n
是整数．
?
a
n
7．设有
2
个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若甲戴

- 3 -

盆望天的球数
p
不小于乙堆的球数
q
，则从甲堆 拿
q
个球放堆乙堆，这样算是挪动一次．证
明：可以经过有限次挪动把所有的球合并成 一堆．
4(a
n?1
?a
n?2
)?3a
n
?5 n
2
?24n?20
（
n?3
）
a
1
?3
，
a
2
?8
，8．已知数列
{a
n
}满足：，
2n
试证：
a
n
?n?2
．

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