高中数学奥林匹克竞赛训练题(187)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（187）（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

1.
若实数集合与恰有一个公共元素，则中的所有元素之积
为.
A??
2x,3y
?
B?
?
6,xy
?
AB

2.
已知关于的方程的两根分别属于区间与. 则实数的取值范围
是.
x
x
2
?4xlog
2
a?3(log
2
a)2
?0
(1,3)
(6,??)
a

3.
设复数.则的
2
最小值

13?z
1
?iz
2
为.
z
1
?sin
?
?2i,z
2
? 1?cos
?
i(
?
?R)
f?

z
1< br>?iz
2
?
10
k
??
10
?
k< br>4.
若等比数列中，，则 .
?
a
n
?
a
1
?1,a
3
?3
?
?
C
10
a
k?1
?
?
?
(?1)
k
C
10
a
k?1
?
?

?
k?0
??
k?0
?
5.
设为元实数集，各元 素之和为；为元实数集，各元素之和为.定义.
令各自取遍中向量（允许）并计算.则这些数量积之和等 于（结果用表
示）.
A
ma
B
n
b
C?
?
xx?(s,t),s?A,t?B
?
x、y
C
x?y
xy
a、b、m、n

6.
x、y?C
?
xy
已知双 曲线以为渐近线，且经过直线与的交点，其中，.则双曲线
的实轴长的最大可能值为.
2x?y ?0
x?y?3?0
2x?y?3t?0
?2?t?5

7. 如图1，在中国象棋规则下，点处的“兵”可通过某条路径到达点
至于负者歌于途，行者休于树，前 者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌 ，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。
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环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深 秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁 亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？太守自谓也。

（兵在过河前每步只能走到其前方 相邻的交叉点处，过河之后每步则
可走到前方、左方、右方相邻的交叉点处，但不能后退，“河”是指图
1棋盘中第5、6条横线之间的部分）.在兵的行进过程中，若棋盘的每
个交叉点均不被兵重复 走到，是称此路径为“元重复路径”.那么，不
同的无重复路径的条数为.
AB

8.
在中，的对边分别为， 且.则的
31
?ABC

3 2
面积
为.
?ABC?A、?B、?Ca、b、c
a?5,b?4,cos( A?B)?
二、解答题（共56分）

9.（16分）已知三棱锥底面各棱长均为1、 高为，其内切球的球心为，
半径为.求底面内与点距离不大于的点所形成的平面区域的面
积.< br>P?ABC
2
O
r
ABC
O2r

10.（ 20分）一束直线的每条均过平面内的抛物线的焦点，与抛物线交
于点.若的斜率为
式.
l
1
,l
2
,
1，的斜率为，求的解析
A
i?1
B
i?1
?1
l
2014

xOy
C:y
2
?x
l
i
(i?1)
C
A
i
、 B
i
l
1
l
i
(i?2)
1?
11.（2 0分）求所有三次多项式，使得对一切，均
有.
P(x)x、y?0P(x?y)P(x)?P (y)

加 试

一、（40分）如图2，与的半径相等，交于两点. 内接于，且其垂心在
上，点使得四边形为平行四边形.证明：三线共
点.
O
1
O
2
X、Y?ABC
O
1
H
O
2
Z
CXZYAB、XY、HZ


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至于负者歌于 途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉 香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗 者，众宾欢也。