2020四套数学奥林匹克高中训练题及答案

数学奥林匹克高中训练题（一）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题22)集合
{n|?11
?log
1
2??,n?N}
的真子集的个数是(A)．
23
n
(A) 7 (B)8 (C)31 (D)32
2．(训练题22)从1到9这九个自然数 中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．
(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个
3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．
(A)
{1,2,3,4,5,6}
(B)
{0,1,2,3,4,5,6}
(C)
{0,1,3,4,5,6}
(D)
{0,1,2,3,5,6}

4．(训练题22) 函数
y?f(x),y?g(x)
的定义域及值域都是
R
，且都存在反函数，则
y?f(g(f(x)))
的反函数是(B)．
(A)
y?f(g(f
?1
?1?1
(x)))
(B)
y?f
?1
(g(f(x)))
(C)
y?f
?1
(g
?1
(f(x)))
(D)
y?f(g
?1
(f
?1
(x)))

oo
5．(训练题22) 若
?
?cos40?sin40
,则?
?2
?
?3
?
?
(A)
23
?9< br>?
9
?1
等于(D)．
1112
cos20
o
(B)
sin40
o
(C)
cos40
o
(D)
sin20
o

18999
sinxsinx
2
sinx
2
,(),
2
的大小关系是(B)． 6．(训练题22) 当
0?x?1
时，
xxx
sinxsinx
2
sinx
2
sinx
2
sinxsinx
2
?() ?)??
(A) (B)
(

2
xxxxx x
2
sinx
2
sinxsinx
2
sinx
2< br>sinx
2
sinx
?()
(D)
2
?()?
(C)
2
?

xxxxxx
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题22) 已 知
f(x)?x
2
,g(x)??x?5,g
?1
(x)
表 示
g(x)
的反函数，设
F(x)?f(g(x))?g(f(x))
．则< br>1
2
?1?1
F(x)
的最小值是
70
．
3
2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2
的整数共有 840 个．

3．(训练题22) 四面体
P?ABC
中，
PC?面ABC,AB?8,BC?6,PC?9,?ABC?120
，则二面
角
B?AP?C
的余弦值是
o
11111
．
148
4．(训练题22) 设
P?{不少于3的自然数}
，在
P
上定义函数
f
如下：若
n?P,f(n)
表示不是
n的
约数的最小自然数，则
f(360360)?
16 ．
5．(训练题22)
n
为不超过1996的正整数，如果有一个
?
，使
(sin
?
?icos
?
)?sinn
?
? icosn
?
成
立，则满足上述条件的
n
值共有 498 个．
6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色 ．先染1；再染两个偶数2,4；
再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连 续偶数10，12，14，16；再染此
后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此 规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，
9，10，12，14，16，17，…，则红色 子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ．
n
第二试
一、(训练题22)(本题满分25分) 点
M
是正三角形内一点，证明：由线段MA,MB
和
MC
为边组成
的三角形面积不超过原正三角形面积的
1
．
3
22
二、(训练题22)(本题满分25分) 若
2x? y?1
，试求函数
u?y?2y?x?4x
的最小值．
?
9

5
三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数< br>x
和
y
，使得如下
不等式成立
0?
x?y
? 2?3
．
1?x?y?2xy
四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上 九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我
们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个 点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：
这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是 红边．

数学奥林匹克高中训练题（二）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题23)
1996?1除以
1996?1997
所得的余数是(D)．
(A)
1
(B)
1995
(C) 1996 (D)
1997

2．(训练题23)若在抛物线
y?ax(a?0)的上方可作一个半径为
r
的圆与抛物线相切于原点
O
，且该
圆与 抛物线没有别的公共点，则
r
的最大值是(A)．
(A)
2
3
1
1
(B) (C)
a
(D)
2a

2a
a
3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线 段），则正确
的命题是(B)．
(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．
(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角．
(C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形． < br>(D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定．
4．(训练题23)若
0?x?
11
的取值范围是(D)．
?2sinxcosx
1
(A)
?
??,??
?
(B)
?
0,??
?
(C)
(,??)
(D)
?
1,??
?

2
，则
tanx?cotx ?
(A)
?
5．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不 相邻，则其可能的排法个数是(A)．
10!?7!
8!?7!7!?6!10!?3!
(B) (C) (D)
3!
5!4!7!
6．(训 练题23)使得
nsin1?5cos1?1
成立的最小正整数
n
是(B)．
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题23)设
a? R
，若函数
y?f(x),y?10?3
关于直线
y?x
对称，且< br>y?f(x)
与
x
y?lg(x
2
?x?a)
有公共 点，则
a
的取值范围是
a??6
．
2 ．(训练题23)设
a,b?R,i??1
且存在
z?C
，适合
?< br>?
?2
?
1
?
z?zz?a?bi
则
ab< br>的最大值等于 ．
8
z?1
?
?
3．(训练题2 3)设
0?
?
?90
，若
1?3tan(60?
?
)?
''''
?
1
oo
，则
?
等于
30或50
．
sin
?
4．(训练题23)设
ABCD?ABCD
是棱长为1的正方体，则上底面
ABCD
的内切圆上的点
P
与过顶

点
A,B,C,D
的圆上的点
Q
之间的最小距离
d?

''''
3?2
．
2
5．(训练题23)如图，在直角坐标系
xOy
中，有一条周期性折线（函 数）
l
1
:y?f(x).
现把该曲线绕
原点
O
按 逆时针方向旋转
45
得到另一条曲线
l
2
，则这两条曲线与
y
轴及直线
x?n
?
n?N
?
围成的图
?
形的面积等于
(1?[

nnn
])(2n?[])?
．
2
22
A
-3
A
-1
y

A
1
A
3
A
5
A
7
x

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

5

6

7

8

6．(训练题 23)设
a,b
都是正整数，且
a?b2?(1?2)
100
则a?b
的个位数等于 4 ．
第二试
一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上，点集
S?{z?C:z?z?1 ?0}
中，除去某一个
3
点外的所有的点都在圆环
135
?z?中．
34
2
二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线
y?2 px(p?0),
其焦点为
F
.试问：是否存在过
F
点的弦
，以及
y
）轴正半轴上的一点
P
，使得
P,A,B
三点AB
（
A,B
均在抛物线上，且
A
在第一象限内）
构成 一个以
P
为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线
AB
的方
程．
y?
4
3p
(x?)

4 2
P
0
，
P
1
，
P
2
?
，使得
P
3k?1
为三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定
?A
1
A
2
A
3
及点
P
0
，构造点列
1

点
P
3k
绕中心
A
1
顺时针 旋转
150
时所到达的位置，而
P
3k?2
和
P
3 k?3
为点
P
3k?1
和
P
3k?2
分别绕中心< br>A
2
和
?
A
3
顺时针旋转
105
?
时所到达的位置，
k?0,1,2,3,?
.若对某个
n?N
，有< br>P
3n
?P
0
，试求
?A
1
A
2< br>A
3
的
各个内角的度数及三个顶点
A
1
,A
2
,A
3
的排列方向．
四、(训练题23)(本题满分35分)设
0?
?
1
?
?
2
???
?
n
，< br>0?b
1
?b
2
???b
n
，且
n
?
a?
?
b
又
ii
i?1i?1
i
nn< br>存在
k(1?k?n)
使得当
i?k
时有
b
i
?a
i
，当
i?k
时，有
b
i
?a
i< br>.求证：
?
a?
?
b
i
i?1i?1
n．