高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版

高中数学联赛难度几何题100道
第一题：学习证明角平分 ........... .................................................. .................................................. ......................... 4
第二题：学习证明四点共圆 ..... .................................................. .................................................. ........................... 5
第三题：学习证明角的倍数关系 . .................................................. .................................................. ....................... 6
第四题：证明线与圆相切 ........ .................................................. .................................................. ............................ 7
第五题：证明垂直 ...... .................................................. .................................................. .......................................... 8
第六题：证明线段相等 ................................... .................................................. .................................................. ..... 9
第七题：证明线段为比例中项 ........................ .................................................. .................................................. .. 10
第八题：证明垂直 ............................... .................................................. .................................................. ............... 11
第九题：证明线段相等 ................ .................................................. .................................................. ...................... 12
第十题：证明角平分 .......... .................................................. .................................................. ................................ 13
第十一题：证明垂直 .................................................. .................................................. .......................................... 14
第十二题：证明线段相等 .................................. .................................................. .................................................. 15
第十三题：证明角相等 ................................ .................................................. .................................................. ...... 16
第十四题：证明中点 .......................... .................................................. .................................................. ................ 17
第十五题：证明线段的二次等式 ........... .................................................. .................................................. ........... 18
第十六题：证明角平分 .................... .................................................. .................................................. .................. 19
第十七题：证明中点 .............. .................................................. .................................................. ............................ 20
第十八题：证明角相等 ... .................................................. .................................................. ................................... 21
第十九题：证明中点 .................................... .................................................. .................................................. ...... 22
第二十题：证明线段相等 ........................ .................................................. .................................................. .......... 23
第二十一题：证明垂直 ..................... .................................................. .................................................. ................. 24
第二十二题：证明角相等 ............. .................................................. .................................................. ..................... 25
第二十三题：证明四点共圆 ........ .................................................. .................................................. ...................... 26
第二十四题：证明两圆相切 ....... .................................................. .................................................. ....................... 27
第二十五题：证明线段相等 ...... .................................................. .................................................. ........................ 28
第二十六题：证明四条线段相等 ... .................................................. .................................................. ................... 29
第二十七题：证明线段比例等式 ........ .................................................. .................................................. .............. 30
第二十八题：证明角的倍数关系 ............. .................................................. .................................................. ......... 31
第二十九题：证明三线共点 .................... .................................................. .................................................. .......... 32
第三十题：证明平行 ...................... .................................................. .................................................. .................... 33
第三十一题：证明线段相等 ......... .................................................. .................................................. ..................... 34
第三十二题：证明四点共圆 ........ .................................................. .................................................. ...................... 35
第三十三题：证明三角形相似 ...... .................................................. .................................................. .................... 36
第三十四题：证明角相等 .......... .................................................. .................................................. ........................ 37
第三十五题：证明内心 ....... .................................................. .................................................. ............................... 38
第三十六题：证明角平分 .................................................. .................................................. .................................. 39
第三十七题：证明垂直 ................................... .................................................. .................................................. ... 40
第三十八题：证明面积等式 .......................... .................................................. .................................................. .... 41
第三十九题：证明角平分 .......................... .................................................. .................................................. ........ 42
第四十题：证明角相等 ....................... .................................................. .................................................. ............... 43

第四十一题：证明中点 ......... .................................................. .................................................. ............................. 44
第四十二题：证明中点 .. .................................................. .................................................. .................................... 45
第四十三题：证明角相等 .................................. .................................................. .................................................. 46
第四十四题：证明垂直 ................................ .................................................. .................................................. ...... 47
第四十五题：证明角相等 ........................ .................................................. .................................................. .......... 48
第四十六题：证明垂直 ..................... .................................................. .................................................. ................. 49
第四十七题：证明四点共圆 ............ .................................................. .................................................. .................. 50
第四十八题：证明四点共圆 ........... .................................................. .................................................. ................... 51
第四十九题：证明四点共圆 .......... .................................................. .................................................. .................... 52
第五十题：证明角平分 ........... .................................................. .................................................. ........................... 53
第五十一题：证明线段相等 .. .................................................. .................................................. ............................ 54
第五十二题：证明两圆外切 . .................................................. .................................................. ............................. 55
第五十三题：证明垂直 .. .................................................. .................................................. .................................... 56
第五十四题：证明垂直 ................................... .................................................. .................................................. ... 57
第五十五题：证明垂直 ............................ .................................................. .................................................. .......... 58
第五十六题：证明垂直 ..................... .................................................. .................................................. ................. 59
第五十七题：证中点 ............... .................................................. .................................................. ........................... 60
第五十八题：证明角相等 ... .................................................. .................................................. ............................... 61
第五十九题：证明角相等 .................................................. .................................................. .................................. 62
第六十题：证明四点共圆 .................................. .................................................. .................................................. 63
第六十一题：证明四点共圆 .............................. .................................................. .................................................. 64
第六十二题：证明四点共圆 .............................. .................................................. .................................................. 65
第六十三题：证明角相等 ............................... .................................................. .................................................. ... 66
第六十四题：证明角的倍数关系 ........................ .................................................. ................................................ 67
第六十五题：证明中点 ................................ .................................................. .................................................. ...... 68
第六十六题：伪旁切圆 ......................... .................................................. .................................................. ............. 69
第六十七题：证明垂直 .................. .................................................. .................................................. .................... 70
第六十八题：证明平行 ........... .................................................. .................................................. ........................... 71
第六十九题：证明圆心在某线上 .................................................. .................................................. ...................... 72
第七十题：证明三线共点 ........ .................................................. .................................................. .......................... 73
第七十一题：证明垂直 ..... .................................................. .................................................. ................................. 74
第七十二题：证明垂直 ................................... .................................................. .................................................. ... 75
第七十三题：证明中点 ............................ .................................................. .................................................. .......... 76
第七十四题：证明垂直 ..................... .................................................. .................................................. ................. 77
第七十五题：证明垂直 .............. .................................................. .................................................. ........................ 78
第七十六题：证明三线共点 ..... .................................................. .................................................. ......................... 79
第七十七题：证明平行 ...... .................................................. .................................................. ................................ 80
第七十八题：证明平行 .................................................. .................................................. ...................................... 81
第七十九题：证明三线共点、证明垂直 ............................ .................................................. ................................ 82
第八十题：证明三点共线（牛顿定理） ............................ .................................................. ................................ 83
第八十一题：证明角平分 .................................. .................................................. .................................................. 84
第八十二题：证明角相等 ............................... .................................................. .................................................. ... 85
第八十三题：证明三点共线 .......................... .................................................. .................................................. .... 86
第八十四题：证明四圆共点 ......................... .................................................. .................................................. ..... 87

第八十五题：证明角平分 .................. .................................................. .................................................. ................ 88
第八十六题：证明线段相等 ............. .................................................. .................................................. ................. 89
第八十七题：证明角相等 ............. .................................................. .................................................. ..................... 90
第八十八题：证明线段相等 ........ .................................................. .................................................. ...................... 91
第八十九题：证明线段相等 ....... .................................................. .................................................. ....................... 92
第九十题：证明线段相等 ....... .................................................. .................................................. ........................... 93
第九十一题：证明中点 .... .................................................. .................................................. .................................. 94
第九十二题：证明四点共圆 ................................. .................................................. ............................................... 95
第九十三题：证明西姆松定理及逆定理 ............................ .................................................. ................................ 96
第九十四题：证明线段的和差关系等式 ............................ .................................................. ................................ 97
第九十五题：证明角相等 .................................. .................................................. .................................................. 98
第九十六题：证明托勒密定理及逆定理 ......................... .................................................. ................................... 99
第九十七题：证明线段的和差关系等式 ............................ .................................................. .............................. 100
第九十八题：证明角相等 .................................................. .................................................. ................................ 101
第九十九题：证明四点共圆 ................................. .................................................. ............................................. 102
第一百题：证明两三角形共内心 ............................... .................................................. ....................................... 103

第一题：证明角平分
已知
PE
、
PF
是⊙
O
的切线，
A
、
B
是一组对径点，
PB
交 ⊙
O
于另一点
C
，直线
AF
、
BE
交于< br>D
点。
求证：
?PCD??PCE
。
P
D
B
E
O
C
F
A

第二题：证明四点共圆
如图，
AB
是⊙
O
的直径，
C
,
D
是圆上异于
A
、
B
,且在
AB
同侧的两点，分别过
C
、
D
作⊙的
O
切线，
它们交于点
E
,线段
AD
与
BC
的交点为
F
, 线段
AB
与
EF
的交点为
M
,求证 ：
E
、
C
、
M
、
D
四点
共圆。
E
C
F
A
OM
D
B

第三题：证明角的倍数关系
如图，
PE
、
PF
是以
AB
为直径圆的切线
E
、
F
是切点，
PB
交圆于
C
点，
AF
、
BE
交 于
D
点，
AB
是
直径。 求证：
?DPE?2?ACD
。
P
C
E
A
D
O
F
B

第四题：证明线与圆相切
已知：
?ABC
中，< br>?A?90?
，
AD
切⊙
ABC
，
AD
交< br>BC
延长线于
D
，
E
是
A
关于
BC
的对称点，
AY?BE
于
Y
，
X
是
AY< br>中点，延长
BX
交⊙
ABC
于
J
，求证：
B D
切
?AJD
外接圆。
A
J
B
X
O
Y
E


















F
C
D

第五题：证明垂直
已知四边形
AB CD
内接于以
BD
为直径的圆，设
A'
为
A
关于< br>BD
为对称点，
B'
是
B
关于
AC
对称点， 直
线
AC
交
DB'
于
Q
，直线
DB
交
CA'
于
P
。求证：
PQ?AC
。
Q
B'
A
D
O
B
P
A'
C

第六题：证明线段相等
已知：
BC
、
BD
是⊙
O
切线，
C
、
D
是切点，
BJA
是割 线，
A
、
J
在圆上，
J
离
B
较近， DE?AO
于
E
，交
AB
于
F
，
AC
交
DE
于
G
，求证：
DF?FG
。
B
J
C
D
F
G
A
OE

第七题：证明线段为比例中项
已知
?ABC
中，
AC?BC
，
M
是
AB
的中点，FG
经过点
M
，且
?CFG
与
?ABC
有相同 的内心。
求证：
AM?FM?GM
。

2
B
G
C
F
M
A

第八题：证明垂直
已 知：
?ABC
为非直角三角形，
AD
平分
?BAC
，
D
在
BC
上，
DF?AC
于
F
，
DE? AB
于
E
，
CE
交
BF
于
P
。求 证：
AP?BC
。
A
E
P
F
B










D
H
C

第九题：证明线段相等
过圆O
外一点
P
作圆
O
的两条切线
PC
、
PD
，切点分别为
C
、
D
，过劣弧
CD
上一点E
作圆
O
的另一
条切线分别交
PC
、
PD于
A
、
B
，连结
OE
交
CD
于点N
，连结
PN
交
AB
于点
M
。
求证：
MA?MB
。
B
E
M
P
D
N
O
A
C

第十题：证明角平分
已知
PA
、
PB< br>是⊙
O
切线，
DE
是过
C
的切线，
D
、
E
分别在
AP
、
PB
上，
CF?AB
于
F
，连接
DF
、
EF
。求证：
?DFC??EF C

P
E
C
D
A
F
O
B

第十一题：证明垂直
设
PAB
是圆
O< br>的割线，
PC
是切线，
CD
是圆
O
的直径，
DB
、
OP
相交于
E
。求证：
AC?CE
。
D
E
O
B
A
P

C

第十二题：证明线段相等
设
C
、
D
是以< br>O
为圆心
AB
为直径的半圆上两点，过
B
做圆
O的切线交
CD
于
P
，直线
PO
交直线
CA、
AD
分别于
E
、
F
。求证:
OE?OF
。
F
D
C
P
A
O
B
E

第十三题：证明角相等
如图，
?ABC
中，
D、
E
分别为
AB
、
AC
上一点，且
DEBC< br>，
BE
、
CD
交于点
F
，
?BDF
的外接
圆⊙
O
，与
?CEF
的外接圆⊙
P
交于点< br>G
，求证：
?BAF??CAG
。
A
D
F
P
O
B
G
E
C

第十四题：证明中点
如图，⊙
O< br>、⊙
P
交于
A
、
B
两点，
BO
、< br>PA
延长线交于点
C
，
CD
、
CE
分别切⊙
O
、⊙
P
于
D
、
E
，
连接
DE
交
AB
于
F
，求证：
F
为
DE中点。
C
E
A
F
P
O
D
B

第十五题：证明线段的二次等式
如图，半径不相等的两圆⊙
O
、⊙
P
交于
A
、
B
两点，过
A
的直线< br>CD
分别交⊙
O
、⊙
P
于
C
、
D< br>，
CB
延长线交⊙
P
于
F
，
DB
延 长线交⊙
O
于
E
，过
A
作
CD
垂线交EF
中垂线于
G
，求证：
AG
2
?EG
2?AC?AD

D
A
C
O
B
E
P
F
G

第十六题：证明角平分
如图，
?A BC
内接于⊙
O
，
D
为
BC
中点，
AD< br>交⊙
O
于
E
，过
E
作
EFBC
，交 ⊙
O
于
F
，过
C
作
CG?AC
，交
AE
于
G
。求证：
?AGC??FGC
。
A
O
D
B
G
E



C
F

第十七题：证明中点
如图，
?AB C
内切圆⊙
I
切
BC
于
D
，过
I
作
IEAD
交
BC
于
E
，过
E
作⊙
I
切线，分别交
AB
、
AC
于
F
、
G< br>。求证：
E
为
FG
中点。
F
B
D
E
I
A









G
C

第十八题：证明角相等
如图，如图，⊙
P
、⊙
Q< br>交于
A
、
B
两点，它们的外公切线
CD
分别切⊙P
、⊙Q于
C
、
D
，
E
为
BA
延
长线上一点，求证：
EC
交⊙
P
于
F
，?FCH??GDH
。
ED
交⊙
Q
于
G
，AH
平分
?FAG
交
FG
于
H
。
E< br>C
F
A
P
H
B
D
Q
G

第十九题：证明中点
如图，⊙
O< br>为
?ABC
外接圆，
I
、
E
分别为
?ABC
的内心和一个旁心，
?BAC
的外角平分线交
BC
延长
线于
D
，
IF?DE
于
F
，交⊙
O
于
G
。求证：
G
为
IF
中点。
A
O
B
I
C
G
D
F
E

第二十题：证明线段相等
如图，在锐角
?ABC
中，
?B??C
，
F
是
BC
的中点，
BE
、
CD
是高。
G
、
H
分别是
FD
、
FE的中
点，若过
A
且平行于
BC
的直线交
GH
于
I
。求证：
IA?IF

A
I
E
D
H
G
B








F
C

第二十一题：证明垂直
如图，
D
是
?ABC
边
BC
上一点，
?DAC??ABD
，⊙
O
过点
B
、
D
分别交
AB
、
AD
于
E
、
F
，直
线
BF
交
DE
于
G
，M
是
AG
中点。求证：
CM?AO
。
A
E
M
F
G
O
B
D
C

第二十二题：证明角相等 如图，如图，
CD
为⊙
O
直径，
PC
、
PE< br>分别切⊙
O
于
C
、
E
，割线
PBA
交⊙
O
于
A
、
B
，
AC
、
BD< br>交于点
F
，
DE
交
AB
于
G
，求证 ：
?GFE??ADE
。
P
E
B
G
A
F
DC
O

第二十三题：证明四点共圆
如图，
O
为
?ABC
外心，
D
、
E
分别为
AB
、< br>AC
上一点，
OF?DE
于
F
，
L
、
M
、
N
分别为
DE
、
BE
、
CD
中点。求证：
F
、
L
、
M
、
N
四点共圆 。
A
D
F
L
E
O
M
N
B






C

第二十四题：证明两圆相切
如图，
?ABC
内切圆⊙
I
切
BC
于
D
，
AE?BC
于
E
，
F
为
AE
中点，
DF
交⊙
I
于
G
，作
?BCG
的
外接圆⊙
O
，求证：⊙
O、⊙
I
相切于点
G
。
A
G
F
I
O
B
D
E
C

第二十五题：证明线段相等
如图，
?ABC
内接于⊙
O
，内切圆⊙
I
分别切
AB
、
AC
于
J
、
K
，
AO
交⊙
O
于
D
，连接< br>DI
，延长
CA
到
F
，使得
AF?BJ
，过
F
作
DI
的垂线交
BA
延长线于
G
，求证 ：
AG?CK
。
F
G
A
J
K
O
B
I
C
D

第二十六题：证明四条线段相等
如图，⊙
O
为
?ABC
外接圆，
AD
平分
?BA C
交⊙
O
于
D
，
OEBD
交
AB
于
E
，
OFCD
交
AC
于
F
，
H
为
?ABC
垂心，
HGAD
交
BC
于
G< br>，求证：
BE?GE?GF?CF
。
A
F
E
O
H
B
G
C
D

第二十七题：证明线段比例等式
如图，四边形
ABCD
中，
AB?AC
，
?ABD
外接圆⊙
O
1
交
AC
于
F
，
?ACD
外接圆⊙
O
2
交
AB
于
E
，
BF
、
CE
交 于点
G
，求证：
BGBD
。
?
CGCD
A
E
O
1
O
2
G
F
B
C
D

第二十八题：证明角的倍数关系 如图，
O
为
?ABC
外心，
D
为
?ABC内一点，使得
?DAB??DCB
，
?DAC??DCB
，
E< br>为
AD
中
点，过
E
作
EF?AD
交
CB
延长线于
F
，连接
FA
、
FD
、
FO
，求证：
?AFD?2?OFC
。

A
E
D
O
F














B
C

第二十九题：证明三线共点
如图，⊙
O
的内接四边形
ABCD
，
AB
、
DC
交于点< br>E
，
AD
、
BC
交于点
F
，
?EF C
的外接圆⊙
P
交
⊙
O
于
G
，
A G
交
EF
于
H
，
HC
交⊙
O
于< br>I
，求证
AI
、
GC
、
FE
三线共点。 < br>A
O
I
B
N
E
H
F
C
G< br>D
P

第三十题：证明平行
如 图，
?ABC
中，
D
为
BC
中点，
O
为外 心，
H
为垂心，
E
、
F
分别为
AB
、AC
上一点，使得
AE?AF
，
且
D
、
H、
E
三点共线，
P
为
?AEF
外心，求证：
O PHD
。
A
P
O
H
E
F
B


D
C

第三十一题：证明线段相等
如图 ，四边形
ABCD
内接于⊙
O
，
E
为四边形内一点，使得< br>?EAB??ECO
，
?EBA??EDC
，过点
E
的直线< br>FG
平分
?BEC
，交⊙
O
于
F
、
G
两点，求证：
EF?EG
。
A
F
D
O
E
C
G
B

第三十二题：证明四点共圆
如图，在
?ABC
中 ，
AD
、
BE
、
CF
是三条高线，点
P
为
?ABC
内部一点，
P
关于
BC
、
CA
、
AB
的
对称点分别为
L
、
M
、
N
，线段
AP
的中点为
G
，求证：
D
、
E
、
G
、
F
四点共圆的充要条件为
A
、
M
、< br>L
、
N
四点共圆。
A
G
F
N
P< br>E
M
B
D
C
L

第三十三题：证明三角形相似
如图，⊙
O
1
、⊙< br>O
2
半径分别为
r
1
、
r
2
，⊙< br>O
1
、⊙
O
2
交于
A
、
B
两点，
P
为平面上一点，
PC
切⊙
O
1
于
C
，
PD
切⊙
O
2
于
D
，且
PC
r
1
?
，求证：
?PCA
∽
?PBD
。
PDr
2
P
C
A
D
O
2
O
1
B

第三十四题：证明角相等
如 图，平行四边形
ABCD
中，
E
为
BD
上一点，使得
?ECB??ACD
，
AC
交
?ABD
外接圆⊙
O
于
F
，
连接
EF
，求证：
?BFE??AFD
。
A
E
D
O
B
C
F

第三十五题：证明内心
如图，
I< br>是
?ABC
内心，
E
为
BC
中点，
F
为弧
BC
中点，
EF
中点为
N
，
BI
中 点为
M
，
MN
交
BC
于
D
，连接
AD
，求证：
M
为
?ABD
内心。
A
O
M
E
B
D
N
F



I
C

第三十六题：证明角平分
如图， ⊙
O
为
?ABC
的外接圆，
AF
平分
?BAC交⊙
O
于
F
，
H
为
?ABC
的垂心，
CE?AB
于
E
，
BD?AC
于
D
，?ADE
的外接圆⊙
P
交⊙
O
于
G
。
GF
交
BC
于
I
，求证：
IH
平分
?BH C
。
A
E
P
H
D
G
O
B
I
C
F

第三十七题：证明垂直
在
?ABC
中，
O
为外心，三条高
AD
、
BE
、
CF
交于点
H
，直线
ED
和
AB
交于点
M
，直线
F D
和
AC
交于点
N
，求证：（1）
OB?DF
；（ 2）
OC?DE
；（3）
OH?MN
。
N
M
A
F
H
E
O
B




D
C

第三十八题：证明面积等式 < br>如图，
?ABC
和
?ADE
均为等腰直角三角形，
?BAC? ?AED?90?
，连接
BD
、
CE
，取
CE
的中 点
F
，
连接
DF
、
BF
，求证：
S
?BDF
=
1
?
S
?ABC
?S
?ADE
?3S
?ACE
?
。
2
C
F
E
A
D









B

第三十九题：证明角平分
如图，
?ABC
中，旁切圆⊙P
分别切
CB
、
CA
延长线于
D
、
E
，旁切圆⊙
Q
分别切
BC
、
BA
延长线于
F
、
G
，
DE
、
FG
分别交
PQ
于
M
、
N
，
BN
、
CM
交于点
L
，求证：
AL
平分
?BAC
。
E
G
P
M
A
N
Q
L
D








B
C
F

第四十题：证明角相等
如图，平 行四边形
ABCD
中，
E
、
F
分别为
AD
、
CD
上一点，
AF
、
CE
交于点
G
，< br>?AEG
的外接圆
⊙
O
与
?CFG
的外接圆⊙
P
交于点
H
，连接
BG
、
DH
，求证：
?GBA??HDA
。

A
E
G
O
P
H
F
D
B















C

第四十一题：证明中点
如图，
PA
、
PB
分别切⊙
O
于
A
、
B
，
PCD
为⊙
O
一条割线，过
C
作
CFPB
，交
AB
于
E
，交
BD
于
F
，求证：
E
为
CF中点。
A
P
C
E
O
D
F
B

第四十二题：证明中点
如图，
H
为
?ABC
垂心，
D
为
BC
中点，过
H
作
EF?DH
分别交
AB
、
AC
于
E
、
F
，求证：< br>H
为
EF
中点。
A
E
H
B
D
C
F

第四十三题：证明角相等
如图，锐角
?ABC
中 ，
AB?AC
，且
D
、
E
在边
BC
上，满 足
BD?CE
，若在
?ABC
内存在点
P
满足
PD AE
，且
?PAB??EAC
，求证：
?PBA??PCA
。
A
P
B







D
E
C

第四十四题：证明垂直
如图，< br>AB
为半圆
O
的直径，
OC?AB
，
C
在圆 上，
P
是
BA
延长线上一点，
PD
切⊙
O
于
D
，
PE
平
分
?DPB
，分别交
AC< br>、
BC
于
E
、
F
，求证：
?EOF?90?
。

C
D
F
E
P
A
O
B

第四十五题：证明角相等
如图，
PA
为⊙
O
的切线，
PBC
为⊙
O
的割线，
AD?OP
于点
D
，
?ADC
的外接圆与
BC
的另一个交点为
E
，求证：
?BAE??ACB
。
A
I
P
B
E
C
O
D

第四十六题：证明垂直
如图，平行四边形
ABCD
中，CE?AB
于
E
，
CF?AD
于
F
，
EF
交
BD
于
G
，求证：
GC?AC
。
G
A
F
D
E
B














C

第四十七题：证明四点共圆
如图，
?ABC< br>内接于⊙
O
，
AD?BC
于
D
，
AD
交
CO
于
E
，
FO
交
BC
于
H
，
CG?AO
F
为
AE
中点，
于
G
，求证：
B
、
H
、
O
、
G
四点共圆。
A
F
G
O
E
B
H
D
C

第四十八题：证明四点共圆
如图 ，
I
是
?ABC
内心，
A
关于
BI
的对称 点是
K
，
E
为
BC
中点，
F
为
B C
中点
EF
中点为
N
，
BI
中
点为
M
，
MN
交
BC
于
D
，求证：
A
、
K
、
D
、
M
四点共圆。
A
O
M
E
B
D
N
F





I
C
K

第四十九题：证明四点共圆
如图，
H
为
?ABC< br>的垂心，
D
为
CH
中点，
BE?AD
于
E< br>，证明：
B
、
C
、
E
、
H
四点共圆 。
A
H
E
D
B



C

第五十题：证明角平分
O
2
外切与点
M
。已知
?ABC
，内心为
I
，圆
O
1< br>与边
AB
、
BC
相切，圆
O
2
过
A
、且
O
1
、求证：
C
，
?AMC
的平分线 过点
I
。
A
B
O
1
M
I
O
2
C

第五十一题：证明线段相等 < br>如图，⊙
O
为
?ABC
外接圆，
D
为弧
BA C
中点，
E
为弧
BC
中点，
CF?AB
于
F
，连接
EF
，过
F
作
FG?EF
交
DA
延长线于
G
，求证：
CG?CD
。
D
A
F
O
G
B
C
E

第五十二题：证明两圆外切
如图，如图，
A< br>、
B
、
C
为⊙
O
上三点，过
C
作< br>DC?AC
交
AB
延长线于
D
，过
D
作DE?AO
交⊙
O
于
F
，交
AC
于
E
，过
B
、
E
、
F
三点的圆为⊙
P
，过
C
、
D
、
F
三点的圆为⊙
Q
，求证： ⊙
P
与
⊙
Q
外切于点
F
。
D
Q
B
P
A
O
E
C
F

第五十三题：证明垂直
如图，如图，
?ABC
中，
D
、
E
、
F
分别为
BC
、< br>CA
、
AB
中点，过
E
作
EM?AC
交AD
于
M
，过
F
作
FN?AB
交
AD
于
N
，
EM
、
FN
交于点
O
，< br>CM
、
BN
交于点
K
，求证：
OK?AK
。
A
F
M
O
N
K
E
B








D
C

第五十四题：证明垂直
如图，
?ABC
中，
D为
BC
中点，⊙
O
过
A
、
C
两点，且 切
DA
于
A
，延长
BA
交⊙
O
于
E
，
CE
延长
线交
DA
于
F
，求证：FO?BC
。
F
E
A
O
B






D
C

第五十五题：证明垂直
如图，
AB
为⊙
O
直径，
CB
切⊙
O
于
B
，
D
为弧
AB
上任一点，
CD
交⊙
O
于
F
，
AD< br>、
OC
交于点
E
，
连接
EB
、
FB
，证明：
EB?FB
。
E
C
D
F
A
O
B

第五十六题：证明垂直
如图，正方形
ABCD
与 正方莆
EFGH
，
EF
交
AB
于
J
，FG
交
BC
于
K
，
GH
交
CD
于
L
，
HE
交
DA
于
I
，求证：
IK?JL
。
H
A
I
D
L
EG
JB
K
C
F

第五十七题：证中点
如图，
PA
、
PB
分 别切⊙
O
于
A
、
B
两点，
C
为劣弧
AB
上一点，
OC
交
AB
于
D
，过
C< br>点的切线分别
交
PA
、
PB
于
E
、
F
，
PD
交
EF
于
G
，求证：
G
为
EF
中点。
P
E
G
C
F
AB
D
O

第五十八题：证明角相等
如图，⊙
P
、⊙
Q
交于
A
、
B
两点，它们的外公切线
CD
分别切 ⊙
P
、⊙
Q
于
C
、
D
，
E
为
BA
延长线
上一点，
EC
交⊙
P
于
F
，
ED
交⊙
Q
于
G
，
FG
分别交 ⊙
Q
、⊙
P
于
M
、
N
，求证：
?FCM??GDN
。
E
D
C
A
F
P
M< br>B
N
Q
G

第五十九题：证明角相等
如图，等腰
?ABC
中 ，
AB?AC
，
E
为
AC
中点，
D
为BC
上一点，使得
BD?2CD
，
DF?BE
于
F，
连结
CF
，求证：
?EFC??ABC
。
A
E
F
B



D
C

第六十题：证明四点共圆
如图，
?ABC
中，
D< br>、
E
分别为
AB
、
AC
上一点，且
DEBC
，
BE
、
CD
交于点
F
，
O
、< br>P
、
Q
、
R
分别为
?ADF
、
?A EF
、
?BDF
、
?CEF
外心，求证：
O
、P
、
Q
、
R
四点共圆。

A
P
O
D
E
F
B
Q
R


C

第六十一题：证明四点共圆
如图，
?ABC
旁切圆⊙
I
分别切
BC
、
AB
、
AC
于
D
、
E
、
F
，
ED
、FD
分别交
AI
于
M
、
N
，
G
为
BC
中点，
H
为
A
在
BC
上的垂足， 求证：
G
、
N
、
H
、
M
四点共圆。 A
M
B
E
N
D
G
H
C
FI

第六十二题：证明四点共圆
如图，四边形
ABCD
内接于⊙
O
，
AB
、
DC
交于点
E
，
AD
、
BC
交于点
F
，点
G
为
EF
中点，
AG
交
⊙
O
于
K
，求证：
C
、
K
、
F
、
E
四点共圆。
A
O
D
B
C
E
G
F



K

第六十三题：证明角相等
如图，
AB
为半⊙
O
直径，
CA?AB
于
A
，
DB?AB于
B
，
EC
、
ED
分别为半⊙
O
的两 条切线，
OF?CD
于
F
，连接
EF
，求证：
?E FD??FOB
。
E
C
F
D
A






O
B

第六十四题：证明角的倍数关系
如图，
AB
、
AC
分别切⊙
O
于
A
、
B
，
D
为AB
延长线上一点，
?ADC
的外接圆⊙
P
交⊙
O于
E
，
BF?CD
于
F
，求证：
?DEF?2 ?ADC
。
A
B
P
C
D
F
O
E

第六十五题：证明中点
如图，在⊙
O
中，直径< br>AB
垂直于弦
CD
，
E
是
OC
的中点，AE
的延长线交⊙
O
于点
F
，
DF
交
BC
于
点
G
。求证：
G
是
BC
的中点。

A
O
E
C
D
F
G
B

第六十六题：伪旁切圆
如图，
?ABC
外接圆为⊙
O
，内切圆⊙
I
分别切三边于
D
、
E
、
F
，⊙
P
与⊙
O
外切于
J
，且 分别切
AB
、
AC
于
G
、
H
，连接
AD
并延长交⊙
P
于
K
，求证：
AJ?AK
，且
?BAJ??CAD
。
A
F
O
I
E
D< br>C
B
J
K
G
H
P

第六十七题：证明垂直
如图，⊙
O
为
?ABC外接圆，
D
、
E
分别为
AB
、
AC
中 点，
H
为
?ABC
垂心，
DH
延长线交⊙
O
于
F
，
EH
延长线交⊙
O
于
G
，
DE
、
GF
交于点
I
，连接
AI
，求证：
AI?AO
。
A
D
O
E
I
H
F
B
C
G

第六十八题：证明平行
如图，
?ABC
内接于⊙
O
，
AC?BC
，
?ACB
平分线
CH
交⊙
O
于
H
，
E
、
F
分别为
AC
、< br>BC
上一
点，
EFAB
，
EF
交
CH
于
K
，
?EFH
的外接圆⊙
P
交⊙
O
于
G
，
GK
交⊙
O
于
D
，求证：
C DAB
。
DC
O
E
P
A
G
H





K
F
B

第六十九题：证明圆心在某线上
如图，⊙< br>O
、⊙
P
交于
A
、
B
两点，过
O< br>的直线依次交⊙
P
于
C
、
D
，过
P
的直线信用证次交⊙
O
于
E
、
（1）四边形
CEDF
的外接圆圆心在直线
AB
上。（2）
AB
、
CD
、
F
，若
C
、
E
、
D
、
F
四点共 圆，求证：
EF
三线共点。
A
O
C
F
B
E
P
D

第七十题：证明三线共点
如图，
?ABC
中，
D
为
BC
上一点，
E
、F
分别为
?ABD
和
?ACD
内心，以
E
为圆 心，
ED
为半径作⊙
E
，以
F
为圆心，
FD
为半径作⊙
F
，⊙
E
与⊙
F
交于点
G
， ⊙
E
分别交
AB
、
BC
于
J
、
K
，⊙
F
分
别交
AC
、
BC
于
M< br>、
N
，求证：
JK
、
MN
、
GD
三 线共点。
A
G
M
J
B
K
F
E
D N
C
L

第七十一题：证明垂直 如图，
?ABC
中，
AD
、
BE
、
CF
是
?ABC
的三条高线，
H
为
?ABC
的垂心，
O
为
?ABC
的外心，
ED
交
AB
于
M
，
FD
交
AC
于
N
，求证：
OH?MN< br>。
A
O
F
H
B
D
E
C
N
M

第七十二题：证明垂直
如图，四边形
ABCD
中，
AC
、
BD
交于点
G
，
E
、
F
分 别为
AB
、
CD
中点，
H
、
I
分别为?AGD
和
?BGC
的垂心，求证：
EF?HI
。
D
F
C
G
I
H
A











E
B

第七十三题：证明中点
如图，
?A BC
中，
O
为外心，
H
为垂心，
BD?AC
于D
，
CE?AB
于
E
，
AG?OH
，交
DE
于
F
，
交
BC
于
G
，求证：
F
为
AG
中点。
A
E
F
O
D
H
B






G
C

第七十四题：证明垂直
如图，平行四边形
ABCD
中，AC
、
BD
交于点
O
，
CE?BD
于
E
，
DF?AC
于
F
，
FE
交
BA
延长
线于
G
，求证：
GO?AD
。
G
A
E
O
B
F
C
D

第七十五题：证明垂直
如图，
Rt?ABC
中，
? BAC?90?
，
E
、
D
分别
AB
、
AC
上一点，
BD
、
CE
交于点
F
，
?ABC
的外
接圆⊙
O
交
?AED
的外接圆⊙
P
于
G
，求证：
AG?GF
。
A
G
E
P
D
F
O
BC

第七十六题：证明三线共点
如图，
?ABC
中，
D
、
E
、
F
分别为
BC
、
CA< br>、
AB
上一点，且
AD
、
BE
、
CF
交于一点
P
，
G
、
H
、
I
分别为
BC
、
CA
、
AB
中点，
J
、
K
、
L
分别为
DE
、
EF
、
FD
中点，求 证：
GK
、
HL
、
IJ
三线
共点。
A< br>I
K
F
L
P
J
H
E
B






DG
C

第七十七题：证明平行
如图，五边形
ABCDE
中，
ABDE
，
AEBC
，
BD
、
CE
交于点
P
，
M
、
N
分别为
BE
、
CD
中
点，连接
MN
，求证：
MNAP
。
A
E
M
B
P
N
C

D

第七十八题：证明平行
如图，四边形
ABCD
中 ，
E
、
F
分别为
AD
、
BC
中点，
G
为平面上一点，使得
BGCD
，
CGAB
，
AC
、
BD
交于点
H
，求证：
EFGH
。

A
E
D
G
H
B






F
C

第七十九题：证明三线共点、证明垂直
如图，
?ABC
中，
AD
平分
?BAC
交
BC
于
D
，
DE
平分
?ADB
交
AB
于
E
，
DF平分
?ADC
交
AC
于
（1）求证：
H
、A
、
I
三点共线；（2）
F
，
EF
交
AD
于
G
，
CG
交
DE
于
H
，< br>BG
交
DF
延长线于
I
，
求证：
AD?HI
。
H
A
I
E
G
F
B




D
C

第八十题：证明三点共线（牛顿定理）
如图，完全四边形
ABCDE F
中，
L
、
M
、
N
分别为
AC
、
BD
、
EF
中点，则
L
、
M
、
N
三点共线。
A
L
M
B
C
D
E





N
F

第八十一题：证明角平分
如图，⊙
O
为
?ABC< br>外接圆，
I
为内心，⊙
J
分别切
AB
、
AC
于
D
、
E
，与⊙
O
内切于
F
，求 证：
IF
平分
?BFC
。
A
D
O
J
B
C
I
E
F

第八十二题：证明角相等
如图，
O
为
?ABC
外心，过
O
的直线分别交
AB
、
AC
于
D
、
E
，
F
、
G
分别为
BE
、
CD
中点，求证：
?FOG??A
。
A
D
O
E
G
C

F
B

第八十三题：证明三点共线
如图，
?ABC
内接于⊙
O
，
L
为⊙
O
上一点，
EL?CL
交
AB
于
E
，
FL?BL
交
A C
于
F
，求证：
E
、
O
、
F
三点 共线。
A
E
O
F
B
L




C

第八十四题：证明四圆共点
已知四边形ABCD
中，
E
、
F
分别为边
AD
、
BC
上的点，且
AEBF
，射线
FE
与
BA
、CD
分别交
?
EDFC
于点
S
、
T
。
?SAE
、
?SBF
、
?TDE
、
?TCF的外接圆分别为⊙
O
1
、⊙
O
2
、⊙
O
3
、⊙
O
4
。
求证：（1）⊙
O
1
、 ⊙
O
2
、⊙
O
3
、⊙
O
4
四圆共 点。
（2）四边形
O
1
O
2
O
3
O4
相似于四边形
ABCD
。
T
X
O
3
O
1
S
O
4
O
2
E
A
D
B

F
C

第八十五题：证明角平分
如 图，
?ABC
中，
AB?AC
，
BD?AC
于
D< br>，
CE?AB
于
E
，
F
为
BC
中点 ，
AG?AF
交
DE
延
长线于
G
，连接
G F
，求证：
AF
平分
?GFC
。
G
A
E
D
B






F
C

第八十六题：证明线段相等
如图 ，
?ABC
内接于⊙
O
，
H
为
?ABC
垂 心，
D
为
BC
中点，连接
DH
，过
H
作< br>EF?DH
，分别交
AB
、
AC
于
E
、F
，连接
DE
、
DF
，求证：
DE?DF
。
A
E
O
H
F
B
D
C

第八十七题：证明角相等
如图，求证：
O
为
?ABC
外心，
CH
交
AB
于
D
，
DE?OD
交
AC
于
E，
?EHD??A
。
H
为
?ABC
垂心，
A< br>E
D
O
H
B







C

第八十八题：证明线段相等
如图 ，
AD
为
?ABC
的高，
M
为
BC
中点， 过
M
的一条直线分别交
AB
、
AC
于
E
、
F
，使得
AE?AF
，
O
为
?AEF
外心 ，求证：
OM?OD
。
A
O
C
D
E
M
F
B

第八十九题：证明线段相等
如图，
?ABC
内接于⊙
O
，
BC
的中垂线分别交⊙
O
于
D
、
E
，交
BC
于
F
，过
F作
AD
的平行线，在
该平行线上任取一点
G
，连接
EG
，过
G
作
MN?EG
，分别交
AB
、
AC
于
M
、
N
，求证：
GM?GN
。
EA
N
M
O
B
C
G
F
D

第九十题：证明线段相等
如图，
?ABC
内接于⊙
O
，
AD
平分
?BAC
交⊙
O
于
D
，
E
为
BC
中点，
F
为平面上一点，使得
EF?AD
，连接
DF
，过
F
作
MN?DF
，分别交
AB
、
AC
于
M
、
N
，求证：
FM?FN
。
A
M
O
E
B
F
C
D
N

第九十一题：证明中点
如图，⊙
O
为
?ABC
外接圆，
BC
为⊙
O
直径，
D
为弧
BC
上一点（与
A
在
BC
异侧），
D E?BC
于
E
，
DF?BA
于
F
，
EF< br>交
AD
于
G
，求证：
G
为
AD
中点 。
A
F
G
B
O
E
C
D

第九十二题：证明四点共圆
如图，
O
为
?ABC< br>外心，
D
为
BC
上一点，
BD
中垂线交
AB
于
F
，
CD
中垂线交
AC
于
E
， 求证：
A
、
F
、
O
、
E
四点共圆。
A
E
F
O
B







D
C

第九十三题：证明西姆松定理及逆定理
(1) 如图，
?ABC内接于⊙
O
，
P
为⊙
O
上一点，
PD?BC< br>于
D
，
PE?CA
于
E
，
PF?AB
于
F
，
求证：
D
、
E
、
F
三点 共线。
(2)
?ABC
内接于⊙
O
，
P
为平面上 一点，
PD?BC
于
D
，
PE?CA
于
E
，
PF?AB
于
F
，若
D
、
E
、
F
三点共线，则
P
、
A
、
B
、
C
四点共圆。
P
E
A
F
O
B
D
C

第九十四题：证明线段的和差关系等式
如图，⊙
O
的三条弦
AB
、
CD
、
EF
交于点
P
，且两两夹角 为
60?
，求证：
AP?EP?DP?CP?BP?FP
。
A
F
C
P
E
O
D
B

第九十五题：证明角相等
如图， 已知
PA
、
PB
分别切⊙
O
于
A
、
B
两点，
PCD
为⊙
O
的一条割线，
E
有
AB
中点，求证：
?ACD??BCE
。
A
D
C
PE
O
B

第九十六题：证明托勒密定理及逆定理
（1）如图，
ABCD
为⊙
O
内接四边形，求证：
AB?CD?AD?BC?AC?BD
。 （2）四边形
ABCD
满足
AB?CD?AD?BC?AC?BD
，求证 ：
A
、
B
、
C
、
D
四点共圆。

A
B
O
C
D

第九十七题：证明线段的和差关系等式
如图，
?ABC
中，
O
为外心，
I
为内心，
OI?AI
， 求证：
AB?AC?2BC
。
A
I
O
B










C