2005年第4届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2005年女子数学奥林匹克
第一天
2005年8月12日上午8∶00～12∶00 长春

我们进行数学竞赛的 目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科
学的得力助手，因而提高数学，也为学好 其他科学打好基础.
——华罗庚
1. 如图，设点
P
在△
ABC
的外接圆上，直线
CP和
AC
相交于点
E
，直线
BP
和
AC
相交于点
F
,边
AC
的垂直平分线交边
AB
于点
J
，边
AB
的垂直平分线交

边
AC
于点
K,
求证：
JE
CE
2
AJ·
=.
2
AK·KF
BF







?
?
?
1
?
1
?
1
? ?
??
5x??12y??13z?
????
,
组的所有实数解.
??
2.求方程
?
x
?
y
?
z
? ?
?
?
?

?
xy?yz?zx?1
?




3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6
个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？




4.求出所有的正实数
a
，使得存在正整数
n
及
n
个互不 相交的无限集合
A
1
，
A
2
，?，
A
n< br>满
足
A
1
∪
A
2
∪?∪
A
n
=Z，而且对于每个
A
i
中的任意两数
b
>
c< br>，都有
b
-
c
≥
a
.



i

2005年女子数学奥林匹克

1

第二天
2005年8月13日上午8∶00～12∶00 长春
数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活
动。
——华罗庚
5.设正实数x，y满足
x
+
y
3
=x-y,求证：
3
x
2
?4y
2
＜1.




6.设正整数
n
≥3，如果在平面上有
n
个格点
P?，
P
n
满足：当
P
i
P
j
为有理数时 ，存
1
，P
2
，
在
P
k
，使得
P
i
P
k
和
P
j
P
k
均为无理数; 当
P
i
P
j
为无理数时，存在
P
k
,使得
P
i
P
k
和
P
j
P
k
均 为有理数，那么称
n
是“好数”.
(1)求最小的好数；
(2)问：2005是否为好数？


7.设
m
，
n
是整数，
m
>
n
≥2,
S
={1,2,?,< br>m
},
T
={
a
1
,
a
2
?,
a
n
}是
S
的一个子集.已知
T
中的任
两个数都不能同时整除
S
中的任何一个数，求证：
111m?n
????＜.

a
1
a
2
a
n
m




8.给定实数
a
,
b
,
a
>
b
>0,将长为
a
宽为
b
的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正 方形的
边至少为多长？









【题1】证：如图，连接
BK
，
CJ.

∠
E
=∠
ABP
—∠
BPE
，

2

而由
A
，
B
，
P< br>，
C
四点共圆，知∠
BPE
=∠
A
，
故 ∠
E
=
ABP
—∠
A
，
又由
KA
=
KB
，知∠
A
=∠
ABK,

故 ∠
E
=∠
ABP
—∠
ABK
=∠
KBF
. ①
同理 ∠
F
=∠
JCE
. ②
由①，②得 △
JEC
∽△
KBF
.
由此，
CEJEJE
??,
③
BFKBAK
CEJCAJ
??.
④
BFKFKF
将③，④两式的左端和右端分别相乘即得结论.



【题2】解法一：
①式可化为
xyz
. ③
??
51?x
2
121?y
2
131?z
2
??? ???
显然
x
，
y
，
z
同号.首先求正数解. < br>存在α，β，γ∈(0，π)，使得
x
=tan
?
?
γ
，
y
=tan，
z
=tan，则
2
22
sinα=
③即
2x2z
2y
, sinβ=, sinγ=,
1?x
2
1?z
2
1?y< br>2
sin
α
sin
?
sin
?
??
. ④
51213
②式可化为
1x?y
?
,
z1?xy
即
cot
?
2
?tan
?
?
?
2
.
注意
z
≠0,
xy
≠1，因为α，β，γ∈(0，π)，所以
α
?
βπγ
??
,
222
即 α+β+γ=π.
从而α，β，γ是某个三角形
ABC
的三个内角.
由④ 和正弦定理知，α,β,γ所对的边
a
，
b
，
c
的比是5∶ 12∶13，所以，
512
，sinβ?，sinγ?1
.
1313
?
1
?
23
γ
从而
x
=tan=或5，
y
=tan
?或
，
z
=tan
?1
.
232
2
5
2
sinα?

3

将
z
=1代入②式，易知
x
和
y
均小于1.所以
?
?
1
，
2
，1
?
?
?
53
?
是唯一正数解.
故原方程组有两组解：
?< br>?
1
，
2
，1
?
?
和
?
?
?
1
，?
2
?
?
53
??
53< br>，?1
?
?
.
解法二：显然
x
，
y
，
z
同号.
由②得
x
=
1?yz
y?z
，代入①得

12
?
?
?
y
2
?1
?
?
?? ??
?
y
?
?
?
?5
?
?
1?y zy?z
?
?
1?yz
?
2
?
?
y?z< br>?
2
y
2
?1z
2
?1
?
y?z< br>?
1?yz
?
?
?
?5.
?
y?z
??
1?yz
?
?5
?
y?z
??
1?yz
?
，
即 5(
z
2
+1)
y
=12(y
+
z
)(1-
y
z),
同理 5(
y< br>2
+1)
z
=13(
y
+
z
)(1-
yz
).
整理得
12
y
2
z
+17
yz
2
=7
y
+12
z
,
18
y
2
z
+13
yz
2
=13
y
+8
z,
两式相加，得
30
yz
(
y
+
z
)=20(
y
+
z
),
∴
yz
=
2
3
,y?
2
3z
,代入①解得
z
=±1.
故原方程组有两组解：
?
?
1
?
5
,
2
3
,1
?
?
?
和
?
?
?
?
1
5
,?
2
3
,?1
?
?
?
.

题3】解：存在，如下图所示。
题4】解： 若0<
a
<2,
n
充分大时，
2
n?1
>
a
n
,令
4
【


【

Ai
?{2
i?1
mm为奇数},i?
1,2，?,
n
- 1,
A
n
?{2
n?1
的倍数}，则该分拆满足要求。
2
}，若
a
≥2,设
A
1
,
A
2
,?
A
n
满足要求，令
M
={1，2，?，下证
A
i
?M
≤
2
={
x
1
,x
2
,? ，x
m
},x
1
＜x
2
＜?＜x
m
,则< br>
nn?i
.设
A
i
?M

2
n< br>＞x
m
?x
1
?(x
m
?x
m?1
)?(x
m?1
?x
m?2
)???(x
2
-x
1
)?(m?1)2
i
.
∴
m
-1<
2
n?i
,即
m
<
2
n?i
+1,故
m
≤< br>2
n?i
.
A
i
?M,i?
1,2,?,
n
为
M
的一个分拆，故
2?M?
?
A
i
?M?
?
2
n?i
?2
n
?1,
矛盾.
n
i?1i?1
nn
∴ 所求的
a
为所有小于2的正实数.

【题5】证：由平均不等式
5y
3
?x
2
y? 2
5x
2
y
4
＞
4xy
2
,
所以
x
2
?4y
2
?
x?y?
＜x
3
?y
3
,
??
x
3
?y
3
从而
x?4y＜?1
.
x?y
22


【题6】解：我们断言最小的好数为5，且2005是好数.
在三点组(
P
i
,P
j
,P
k
)中，若
P
i
P
j
为有理数(或无理数)，
P
i
P
k
和
P
j
P
k
为无理数(或有理
数)，我们称(
P
i
,P
j
,P
k
)为一个好组.
(1)
n
=3显然不是好数.
n
=4也不是好数.若不然，假设< br>P
不妨设
P
1
,P
2
,P
3
)1
,P
2
,P
3
,P
4
满足条件，
1
P
2
为有理数及(
P
为一好组，则(
P
2
,P
3
,P
4
)为一好组.显然(
P
2
,P
4
,P
1
)和(
P
2
,P
4
,P3
)均不是好组.所以
P
1
,P
2
,P
3,P
4
不能满足条件.矛盾!
n
=5是好数.以下五个格点满足条件：
A
5
={(0，0)，(1，0)，(5，3)，(8，7)，(0，7)}.

5

(2)设
A
={(1，0)，(2，0)，?，(669，0)}.
B
={(1，1)，(2，1)，?，(668，1)}.
C
={(1，2)，(2，2)，?，(668，2)}.
S
2005
?A?B?C
.
对任意正整数
n
，易 证
n?1
和
n?4
不是完全平方数.不难证明，对于集合
S
2005
中
任两点
P
i
,P
j
,P
iP
j
为有理数当且仅当
P
i
P
j
与某一坐标轴 平行.所以，2005是好数.
注：当
n
=6时，
22
A
6
?A
5
?{(-24，0)}
；
当
n
=7时，
A
7
?A
6
?{(-24，7)}
.
则可验证
n
=6和7均为好数.
当
n
≥8时，可像
n
=2005那样排成三行，表明
n
≥8时，所有的
n
都是好数.

【题7】证：构造
T
i
?b?Sa
i
b,i?1 ,2?，n.
则
??
?
m
?
T
i
?
??
, ?
a
i
?
由于
T
中任意两个数都不能同时整除
S
中的一个数，所以当
i
≠
j
时，
T
i
?T
j
??
.
?
m
?
T?
则
?
i
?
??
≤
m
.
i?1i?1
?
a
i
?
nn
又因为
m
?
m
?
＜
??
?1
,
a
i
?
a
i
?
6

m
n
所以
?
＜
?
i?1
a
i
i?1
nn
?
m
? ?
m
?
n
(
??
?1)?
?
??
?
?
1?m?n
,
i?1
?
a
i
?i?1
?
a
i
?
nn
1m
即
m
?
?
?
＜m?n
,
i?1
a
i
i?1
a
i
n
所以
?
a
i?1
1
i
＜
m?n
.
m

【题8】解：设长方形为
ABCD
，
AB
=< br>a
,
BC
=
b
，中心为
O
.
以< br>O
为原点，建立直角坐标系，
x
轴、
y
轴分别与正方形的边平 形.
情形1：线段
BC
与坐标轴不相交.不妨设
BC
在第一象限内 ，∠
BOX≤
1).此时正方形的边长≥
BD
cos∠
BOX≥BD
cos
1
(90°-∠
BOC
)(图
2
90??? BOC

2
=
BD
cos45°cos
11
2∠
BOC
+
BD
sin45°sin∠
BOC
=(a
+
b
).
22
2
所以此时所在正方形边长至少为< br>2
(
a
+
b
).
2

情形2：线 段
BC
与坐标轴相交.不妨设
BC
与
x
轴相交，不妨设∠< br>COX≤
此时正方形的边长≥
AC
cos∠
COX≥AC
co s
所以此时所在正方形边长至少为
a
.
比较情形1，2中结论知：
若
a
<(
2?1)b
,则正方形的边长至少为
a
.
1
∠
COB
(图2).
2
?COB
=
a
.
2
若
a
≥(
2
+1)
b
,则正方形的边长至少为



2
(
a
+
b
).
2
7

8