2018教师证高中数学-数形结合思想在高中数学应用举例
第三章 概 率(B)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.从一批产品(其中正品、次品
都多于2件)中任取2件,观察正品件数和次品件数,
下列事件是互斥事件的是( )
①恰好有1件次品和恰好有两件次品;
②至少有1件次品和全是次品;
③至少有1件正品和至少有1件次品;
④至少1件次品和全是正品.
A.①②B.①③C.③④D.①④
2.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3
cm,把一枚半径为1 cm的硬币
任意抛掷在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是(
)
1112
A.B.C.D.
4323
3.某班有50名学生,其中男、
女各25名,若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同
班同学,假定每两名学生碰面的概率相等,那么甲
碰到异性同学的概率大还是碰到同性
同学的概率大( )
A.异性 B.同性
C.同样大 D.无法确定
1
?
ππ
?
4.在区间?
-,
?
上随机取一个数
x
,cos
x
的值介于0到之间的概率为( )
2
?
22
?
1212
A.B.C.D.
3π23
5.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三
次投
篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定
1,2,3,4表示命中,
5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投
篮的结果.经随机模拟产生
了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113
537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A.0.35
B.0.25 C.0.20 D.0.15
6.12本相同的书中,有10本语文书,2本英语书,从中任意抽取3本的必然事件是( )
A.3本都是语文书 B.至少有一本是英语书
C.3本都是英语书
D.至少有一本是语文书
7.某人射击4枪,命中3枪,3枪中有且只有2枪连中的概率是( )
31
A.B.
44
11
C.D.
32
8.从数
字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40
的概率为( )
12
A. B.
55
34
C.D.
55
9.已
知集合
A
={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合
A中选取不相同的两
个数,构成平面直角坐标系上的点,观察点的位置,则事件
A
=
{点落在
x
轴上}与事件
B
={点落在
y
轴上}的概率关系
为( )
A.
P
(
A
)>
P
(
B
)
B.
P
(
A
)<
P
(
B
)
C.
P
(
A
)=
P
(
B
)
D.
P
(
A
)、
P
(
B
)大小不确定
10.如图所示,△
ABC
为圆
O
的内接三角形,
AC
=
BC
,
AB
为圆
O
的直径,向该圆内随机
投一点,则该点落在△
ABC
内的概率是( )
12
A.B.
ππ
41
C.D.
π2π
2
11.若以连续两次掷骰子分
别得到的点数
m
,
n
作为点
P
的坐标(
m
,
n
),则点
P
在圆
x
2
+
y
=
25外的概率是( )
57
A.B.
3612
51
C.D.
123
12.如图所示,两个圆盘都是六等分,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域
的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
4221
A.B.C.D.
9933
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知半径为
a
的球内有一内接正方体,若球内任取一点,则该点在正方体内的概率
为________.
14.在平面直角坐标系
xOy
中,设
D
是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于
2的点构成的
区域,
E
是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向
D
中随机投一点,则落入
E
中的
概率为________.
15.在半径为
1的圆的一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过
圆内接等边三角形边长的概率是
________.
16.在体积为
V
的三棱锥
S
-
AB
C
的棱
AB
上任取一点
P
,则三棱锥
S
-
APC
的体积大于
3
的概率是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
2
17.(10分)已知函数
f
(
x
)=-
x
+
ax
-
b
. <
br>若
a
,
b
都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求上述函
数有零点的概率.
V
18.(12分)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹,炸中第一个
军火库的概率为0.025,
其余两个各为0.1,只要炸中一个,另两个也发生爆炸,求军火库发生爆
炸的概率.
19.(12分)如右图所示,
OA<
br>=1,在以
O
为圆心,
OA
为半径的半圆弧上任取一点
B,求
1
使△
AOB
的面积大于等于的概率.
4
20.(12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏,
他们
将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽
一张.
(1
)设(
i
,
j
)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字,写出甲、乙二人抽到的
牌的所有情
况;
(2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少?
(3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此
游戏是否公平
,说明你的理由.
21.(12分)现有8名奥运会志愿者,其中志愿者
A
1
、A
2
、
A
3
通晓日语,
B
1
、
B
2
、
B
3
通晓
俄语,
C
1
、
C
2
通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小
组.
(1)求
A
1
被选中的概率;
(2)求
B
1
和
C
1
不全被选中的概率.
22.(12分)已知实数
a
,
b
∈{-2,-1,1,2}. <
br>(1)求直线
y
=
ax
+
b
不经过第四象限的概率;
22
(2)求直线
y
=
ax
+
b
与圆x
+
y
=1有公共点的概率.
第三章 概 率(B)
1.D 2.B
24
3.A [记“甲碰到同性同学”为事件
A
,
“甲碰到异性同学”为事件
B
,则
P
(
A
)=,
4
9
25
P
(
B
)=,故
P
(
A
)
<
P
(
B
),即学生甲碰到异性同学的概率大.]
49
π
??
ππ
?
ππ1π
?
π
4.A
[在区间[-,],0
<
?
x
∈
?
-
,-
?
∪
?
,
?
,其区间长度为,
3
??
32
?
2223
?
2
π
3
1
ππ
??
-,
又已知区间
??
的长度为π,由几何概型知
P=
π
=
3
]
?
22
?
5.B [由
题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有:191、271、932、
51
81
2、393,共5组随机数,故所求概率为==0.25.]
204
6.D
[由于只有2本英语书,从中任意抽取3本,其中至少有一本是语文书.]
21
7.D
[4枪命中3枪共有4种可能,其中有且只有2枪连中有2种可能,所以
P
==]
42
8.B [可能构成的两位数的总数为5×4=20(种),因为是“任取”两个数,所以
每个
数被取到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于40的两位数有以4开头
82
的:41,42,43,45共4种;以5开头的:51,52,53,54共4种,所以
P<
br>==.]
205
9.C [横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的.]
10.A [连接
OC
,设圆
O
的半径为
R
,记“
所投点落在△
ABC
内”为事件
A
,则
P
(
A)=
1
·
AB
·
OC
2
1
=.]
2
π
R
π
11.B [本题中涉及两个变量的平方和,类似于两个变
量的和或积的情况,可以用列表
217
22
法,使
x
+
y<
br>>25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果.即=.]
3612
12.A [可
求得同时落在奇数所在区域的情况有4×4=16(种),而总的情况有6×6=
164
36(
种),于是由古典概型概率公式,得
P
==.]
369
23
13.
3π
解析 因为球半径为
a
,则正方体的对角线长为2
a
,
设正方体的边长为
x
,则2
a
=3
x
,
3
2
aV
正方体
x
23
∴
x
=,由几何概型知,所求
的概率
P
===.
V
球
4
3
3π
3π
a
3
π
14.
16
解析 如图所示,区域
D
表示边长为4的正方形的内部(含边界),区域
E
表示单位圆及
其内部,
π×1π
因此
P
==.
4×416
1
15.
2
解析
2
记
“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件
A
,如图所示,不妨在过等边三角形
BC
D
的顶点
B
的直径
BE
上任取一点
F
作垂直于直径
的弦,当弦为
CD
时,就是等边三角形的
边长,弦长大于
CD
的充要
条件是圆心
O
到弦的距离小于
OF
,由几何概型的概率公式得
1
×2
2
1
P
(
A
)==.
22
2
16.
3
V
S
-
APC
1
>,如图所示,三棱锥
S
-
ABC
与三棱锥
S
-
APC
的高相同,因
V
S
-
ABC
3
V
S
-
APC
S
△
APC
PM
1
PMAPAP
12
此==>(
PM
,
BN
为其高
线),又=,故>,故所求概率为(长度之
V
S
-
ABC
S
△
ABC
BN
3
BNABAB
33
解析
由题意可知
比).
17.解
a
,
b
都是从0,1,2,
3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为
N
=5×5=25
222
个.
函数有零点的条件为Δ=
a
-4
b
≥0,即
a
≥4
b
.因为事件“
a
≥4
b
”包含(0,0),
(1,0),
(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4
,3),(4,4),
12
2
共12个.所以事件“
a
≥4
b
”的概率为
P
=.
25
18.解 设
A
、B
、
C
分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件.
则
P
(
A
)=0.025,
P
(
B
)=
P<
br>(
C
)=0.1,
设
D
表示军火库爆炸这个事件,则有 <
br>D
=
A
∪
B
∪
C
,其中
A
、
B
、
C
是互斥事件,
∴
P
(
D
)=
P
(
A
∪
B
∪
C
)=
P<
br>(
A
)+
P
(
B
)+
P
(
C
)=0.025+0.1+0.1=0.225.
19.解 如下图所示,作
OC
⊥
OA
,
C
在半圆弧上,过
OC
中点
D<
br>作
OA
的平行线交半圆弧
1
于
E
、
F
,所以在
EF
上取一点
B
,则
S
△
AOB
≥.
4
11
连结
OE
、
OF,因为
OD
=
OC
=
OF
,
22
O
C
⊥
EF
,所以∠
DOF
=60°,所以∠
EOF
=120°,所以
l
EF
=
1202
π·1=π.
180
3
2
π
l
EF
3
2
所以
P
===
.
π·1π3
20.解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示,其他用
相应的数字表
示)为(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′)
,(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,
2),(4′,3),(4′,4),共12种不
同情况.
(2)甲抽到红桃3,乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′,因此乙抽到的牌的牌面数
字
2
比3大的概率为.
3
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3
,2),(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3),
55
共5种,故甲胜的概率
P
1
=,同理乙胜的概率
P
2
=.因为
P
1
=
P
2
,所以此游戏公平.
1212
21.解
(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的
基本事件为
(
A
1
,
B
1
,
C
1
),(
A
1
,
B
1
,
C
2
),(
A<
br>1
,
B
2
,
C
1
),(
A
1
,
B
2
,
C
2
),(
A
1,
B
3
,
C
1
),(
A
1
,
B
3
,
C
2
),
(
A
2
,
B
1
,
C
1
),(
A
2
,B
1
,
C
2
),(
A
2
,
B
2
,
C
1
),(
A
2
,
B
2
,
C
2
),(
A
2
,
B
3<
br>,
C
1
),(
A
2
,
B
3
,
C
2
),
(
A
3
,
B<
br>1
,
C
1
),(
A
3
,
B
1
,
C
2
),(
A
3
,
B
2,
C
1
),(
A
3
,
B
2
,
C
2
),(
A
3
,
B
3
,
C
1
),(
A
3
,
B
3
,
C<
br>2
),
共18个基本事件.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的
发生
是等可能的.
用
M
表示“
A
1
恰被选中”这一事件,则
M={(
A
1
,
B
1
,
C
1
)
,(
A
1
,
B
1
,
C
2
),(<
br>A
1
,
B
2
,
C
1
),(
A
1
,
B
2
,
C
2
),(
A1
,
B
3
,
C
1
),(
A
1
,
B
3
,
C
2
)},
61
事件
M
由6个基本事件组成,因而
P
(
M
)==.
1
83
(2)用
N
表示“
B
1
、
C
1
不全被选中”这一事件,则其对立事件
N
表示“
B
1
、
C
1
全被选中”
这一事件,由于
N
={(
A
1
,
B
1
,
C
1
),(
A
2
,<
br>B
1
,
C
1
),(
A
3
,
B
1
,
C
1
)},事件
N
由3个基本
事件
组成,
3115
=,由对立事件的概率公式得:
P
(
N
)
=1-
P
(
N
)=1-=.
18666
22.解 由于实
数对(
a
,
b
)的所有取值为:(-2,-2),(-2,-1),(-2,
1),(-2,2),
(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-2)
,(1,-1),(1,1),(1,2),
(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2),
共16种.
22
设“直线
y
=
ax
+
b
不经过第四象限”为事件
A
,“直线
y
=
ax
+
b
与圆
x
+
y
=1有公
共点”为事件
B
.
所以
P
(
N
)=
?
?
a
≥0,<
br>(1)若直线
y
=
ax
+
b
不经过第四象限,则必须
满足
?
?
?
b
≥0,
即满足条件的实数对(a
,
b
)有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种.∴P
(
A
)==.故直线
y
=
ax
+
b
不经过
1
第四象限的概率为.
4
(2)若直线
y
=
ax
+
b
与圆
x
+
y
=1有公共点,则
必须满足
22
41
164
|
b
|
2
a+1
若
a
=-2,则
b
=-2,-1,1,2符合要求,此时实
数对(
a
,
b
)有4种不同取值;
若
a
=-1,
则
b
=-1,1符合要求,此时实数对(
a
,
b
)有2种不
同取值;
若
a
=1,则
b
=-1,1符合要求,此时实数对(a
,
b
)有2种不同取值,
若
a
=2,则
b
=-2,-1,1,2符合要求,此时实数对(
a
,
b
)有4种不同
取值.
123
∴满足条件的实数对(
a
,
b
)共有12种
不同取值.∴
P
(
B
)==.
164
3
22故直线
y
=
ax
+
b
与圆
x
+
y
=1有公共点的概率为.
4
≤1,即
b
≤
a
+1.
22