【精品】高中数学奥林匹克竞赛训练题(173)(无答案)

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。

【精品】高中数学奥林匹克竞赛训练题（173）（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

1.
已知直线，在上任取 一点.若过点且以双曲线的焦点作椭圆的焦点，
则具有最短长轴的椭圆方程为.
l:y?x?3
l
PP
12x
2
?4y
2
?3

2.
在四棱锥中，已知四边形为矩形，且，与交于点，为边的中点.则
平面所成的角 与
为.
P?ABCDABCD
AB?4,BC?3,PA?PB?PC?PD?5AC
BD
OM
PCOM
PBC

3.
在名学 生中，已知任意三人中有两个互相认识，任意四人中有两人
互相不认识.则的最大值为.
mm< br>
132n?1
k
4.
设（为奇数）.则的最大公因数为.
n?0,n?2m
m
C
2n
,C
2n
,,C
2n< br>
5.
若为大于1的正整数，则.
n
cos
已知正实数满足 .则的最大值
2
?
4
?
6
?
?cos?cos?< br>nnn
?cos
2n
?
?

n
6.
为.
x、y、z
xyz?xy?yz?zx?x?y?z?3u?xyz(x?y?z)
7.
设方程的10个复根分别为.
11
??
x
1< br>x
1
x
2
x
2
?
1
?

x
5
x
5

则.
x
10
?(13 x?1)
10
?0
x
1
,x
2
,,x
10
世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之 间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其 真无马邪？其真不知马也！
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每览昔人兴感之由，若合一契， 未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时 人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。

8. 将编号为的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离
相等，记项链上所有相邻珍珠编号 之差的绝对值之和为.则取得最小值
的方法的概率为.
1,2,,9
TT

二、解答题（共56分）

9.
明
（
：
16
.
分）已
a
1
?2
6

n
知
n
列数满足，.证
?
a
n
?
3
a
k
3n
2
?5n
?(n?Z
+
)
?
2
k(k ?1)(k?2)4(n?3n?2)
k?1
log
3
n
1?an
1n
?
?
?
23
k?1
a
k
10.（20分）设随圆的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭
圆交于点
l
C
.若，
x
2
y
2
且.
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
F
1
、F
2
F
1
?
ab
S
?ABF
1
?
3808

45
3
A、B
cos
?
?,3FA
1
?5BF< br>1
5
（1）
求椭圆的方程；
C

（2）
若是 椭圆右准线上的两个动点，且，求的内切圆圆心的轨迹方
程.
P、Q
C
PQ? 10
?F
1
PQ
M

11.（20分）设，且，其中，为给 定的正实数，令.求的值
域.
x
i
?R
+
(i?1,2,, n,n?2),m?N,m?2
?
x
i
?T
k、a、T、m
W?
?
m
kx
i
?a
W

i?1
i?1
n
n
加 试

一、
（ 40分）在中，已知为斜边上的高，分别为的内心，于点，直线与
世有伯乐，然后有千里马。千里马常有 ，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽 其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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