高中数学奥林匹克竞赛训练题(177)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（177）（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

1.
在复数范围内，方程的两根为.若，
则.
x
2
?px ?1?0(p?R)
?
、
?
?
?
?
?1
p ?

2.
已知对任意的实数均有.则的最大值为是.
x
acosx ?bcos2x??1
a?b

已知数列满足.若数列的前1000项之和为1000，则前2014项的和
3.
为 .
?
a
n
?
n?1
a
n?2
?a
n?1
?a
n

4.
已知函数，实数满足.
则.
f(x)?x
3
?6x
2
?17x?5
a、b
f(a)?3 ,f(b)?23
a?b?

5.
圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形， 为底面中心，为的中点，
动点在圆锥底面内（包括圆周）.若，则点形成的轨迹的长度
为.SAB
O
M
SO
PAM?MPP

6.
在平 面直角坐标系中，定义点与之间的“直角距离”为.若点到的
直角距离相等，其中，实数满足，则所有满 足条件的点的轨迹的长度
之和
为.
P(x
1
,y
1
)Q(x
2
,y
2
)
d(P,Q)?x
1
?x2
?y
1
?y
2
C(x,y)A(1,3)、B(6,9)x、y
0?x、y?10
C

至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后 者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而 前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者， 琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。 作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？太守自谓也。

7.
方程的正整数解有组（表 示整数的最大公约
数）.
x?y
2
?(x,y)
3
?xy( x,y)
(x,y)
x、y

8.
某中学每层楼有35盏楼灯.现为了节约用电同时又要保证楼道的照
明需要，要求：

（1）
相邻的两盏楼灯不能同时开；

（2）
任意连续三盏楼灯不能同时关.

若请你设计不同的照明方式，你最多能设计种不同的照明方式.

二、解答题（共56分）

9.（16分）已知多项式，其中，为实数.证明：对任意 的实数，方程总
有一个相同的实数
根.
f(x)?2ax
4
?(2? 7a)x
3
?(5a?3)x
2
?(11?7a)x?3a?5
aa
f(x)?0

10.
（20分）已知（为非零常数）为抛物线上一点，过 作两条倾斜角互
补的直线与抛物线交于另两点.
P(2a
2
,4a)
a
y
2
?8x
PA、B

（1）
证明：直线的斜率为定值；
AB

（2）
若点位于轴 上方，位于轴下方，求面积的最小上
界.
P
x
A、B
x
?P AB

11.（20
围.
a、b
分）已知正实数满足.求的取值范< br>14
22
??1,a?2b?15
a?b

a
2
b
2
加 试

至于负者歌于途，行者休 于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌； 山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢 也。

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