【精品】高中数学奥林匹克竞赛训练题(178)(无答案)

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。

【精品】高中数学奥林匹克竞赛训练题（178）（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

1.
袋内有8只白球和2 只红球，每次从中随机取出一只球，然后放回1
只白球.则第四次恰取完所有红球的概率为.

2.
已知函数，且存在使在上的值域为.则实数的取值范围
为.
f(x)? x?2?k
a、b(a?b)
f(x)
?
a,b
??
a,b
?
k

3.
在正四棱锥中，已知，且侧面与侧面所成二面角大小为.则该四棱
3
?

2
锥外接球的体积为.
P?ABCDAB?3PAD
CPD
4. < br>函数的最小值为.
f(x)?x
2
?4?x
2
?4x?5
5.
方程的解集为.
4sinx(1?cosx)?33

记表示不超过实数的最大整数，则在这100个整数中，不同的整数
?
k
?
6 .
2014
?
的个数为.
?
x
?
x
a< br>k
?
?
??
(k?1,2,,100)

7. 设是集合的两个不同子集，使得集合不是集合的子集，也不是集合
的子集.则不同的有序集合对的组 数为.
A、B
?
a,b,c,d,e
?
ABBA
(A,B)

8.函数的最小值为1，最大值为6.
世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯 乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材， 鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生 为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致 一也。后之览者，亦将有感于斯文。

mx
6
?nx
5
?4 x
4
?(mx
2
?nx)(x
2
?1)?4x
2< br>?4
则.
y?
m?n?

x
6
?1
二、解答题（共56分）

9.（16分）已知函 数记函数的值域为，且实数.证
?
2x
3
?
1
?
? 1,x?
?
,1
?
;
?
x?1
?
2
?
f(x)
A
a、b、c?A
abc?4?ab?bc?ca
< br>明：.
f(x)?
?
?
?
?
13
x?
7
,x?
?
0,
1
?
.
?
?
6
?
2
?
?
?
3
10.（20分）已知点，的周长为 6，动点的轨迹为曲线，是圆上任一点
（不在轴上），分别与曲线切于点.求面积的最大值（为坐标原< br>点）.
M(?1,0),N(1,0)?MNQQ
C
P
x
2< br>?y
2
?4
x
PA、PBCA、B
?OAB
O

11.（20分）设为正整数，数列满足.证明：对任意正整数均为正整
na
n< br>?2(n?1)
2r
(n?1,2,)
n,a
n

数 .
r
?
a
n
?
a
1
?1,a
n? 1
?
n?2
加 试

一、（40分）如图1，在等腰中，，为 斜边的中点，为直角边的中点，
联结，过点作，垂足为.证
明：.
Rt?ABC
?C?90
0
M
AB
N
ACBN
CCH?BN
H
CH
2
?AMMH

二、（40分）对一堆100粒的石子进行如下 操作：每次任选石子数大于
1的一堆任意分成不空的两堆，直到每堆1粒（100堆）为止.证明：
（1）
无论如何操作，必有某个时刻存在20堆，其石子总数为60；

19堆，其石子总数
（2）
可以进行适当地操作使得任何时刻不存在
世有伯乐，然后 有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之 不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也 ！

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