数学奥林匹克竞赛相关知识

2020年10月7日发(作者：花纯儒)

奥林匹克数学竞赛
国际奥林匹克数学竞赛
奖项名称: 国际奥林匹克数学竞赛
其他名称: International Mathematics Olympiad
创办时间: 1959年
主办单位: 由参赛国轮流主办
奖项介绍：
国际奥林匹克数学竞赛是国际中学生数学大赛，在世界上影响非常之大 。国际奥
林匹克竞赛的目的是：发现鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育
交 流创造条件，增进各国师生间的友好关系。这一竞赛1959年由东欧国家发起，得
到联合国教科文组织 的资助。第一届竞赛由罗马尼亚主办，1959年7月22日至30
日在布加勒斯特举行，保加利亚、捷 克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联共
7个国家参加竞赛。以后国际奥林匹克数学竞赛都是每年 7月举行（中间只在1980
年断过一次），参赛国从1967年开始逐渐从东欧扩展到西欧、亚洲、美 洲，最后扩
大到全世界。目前参加这项赛事的代表队有80余支。美国1974年参加竞赛，中国1985年参加竞赛。经过40多年的发展，国际数学奥林匹克的运转逐步制度化、规范
化， 有了一整套约定俗成的常规，并为历届东道主所遵循。
国际奥林匹克数学竞赛由参赛国轮流主办 ，经费由东道国提供，但旅费由参赛国
自理。参赛选手必须是不超过20岁的中学生，每支代表队有学生 6人，另派2名数
学家为领队。试题由各参赛国提供，然后由东道国精选后提交给主试委员会表决，产< br>生6道试题。东道国不提供试题。试题确定之后，写成英、法、德、俄文等工作语言，
由领队译成 本国文字。主试委员会由各国的领队及主办国指定的主席组成。这个主席
通常是该国的数学权威。主试委 员会的职责有7条：1）、选定试题；2）、确定评分
标准；3）、用工作语言准确表达试题，并翻译、 核准译成各参加国文字的试题；4）、
比赛期间，确定如何回答学生用书面提出的关于试题的疑问；5） 、解决个别领队与
协调员之间在评分上的不同意见；6）、决定奖牌的个数与分数线。
考试分两天进行，每天连续进行4.5小时，考3道题目。同一代表队的6名选手
被分配到6个不同的考 场，独立答题。答卷由本国领队评判，然后与组织者指定的协
调员协商，如有分歧，再请主试委员会仲裁 。每道题7分，满分为42分。
竞赛设一等奖（金牌）、二等奖（银牌）、三等奖（铜牌），比 例大致为1：2：
3；获奖者总数不能超过参赛学生的半数。各届获奖的标准与当届考试的成绩有关。
数学赛事
数学竞赛是发现人才的有效手段之一。一些重大数学竞赛的优胜者，大多在 他们
后来的事业中卓有建树。因此，世界发达国家都十分重视数学竞赛活动。十余年来，
我国中 学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越来越大，特别是我国中学生在影响最大、
水平最高的国际数学奥林匹 克竞赛中，多次荣登榜首，成绩令世人瞩目，充分显示了
中华民族的聪明才智和数学才能。
了解国际赛史，熟悉国内赛况，认识数赛意义是必要的，也是有益的。

国际赛史
在世界上，以数为内容的竞赛有着悠久的历史：古希腊时就有解几何难题的比赛；
我国战国 时期齐威王与大将田忌的赛马，实是一种对策论思想的比赛；到了16、17
世纪，不少数学家喜欢提出 一些问题向其他数学家挑战，有时还举行一些公开的比赛，
方程的几次公开比赛，赛题中就有最著名的费 尔玛大定理：在整数n≥3时，方程没有
正整数解；……
近代的数学竞赛，仍然是解题的 竞赛，但主要在学生（尤其是高中生）之间进行。
目的是为了发现与培育人才。
现代意义 上的数学竞赛是从匈牙利开始的。1894年，为纪念数理学会主席埃沃
斯荣任教育大臣，数理学会通过 一项决议：举行以埃沃斯命名的，由高中学生参加的
数学竞赛，每年十月举行，每次出三题，限4小时完 成，允许使用任何参考书，试题
以奥妙而奇特的形式见长，一般都有富创造特点的简明解答。在埃沃斯的 领导下，这
一数学竞赛对匈牙利的数学发展起了很大的作用，许多卓有成就的数学家、科学家是
历届埃沃斯竞赛的优胜者，如1897年弗叶尔、1898年冯卡门等。
受到匈牙利的影响，数学 竞赛在东欧各国蓬勃开展：1902年罗马尼亚，1934年
前苏联，1949年保加利亚，1950年 波兰，1951年前捷克斯洛伐克，……相继进行
了数学竞赛。
把中学生的数学竞赛命名 为“数学奥林匹克”的是前苏联，采用这一名称的原因是
数学竞赛与体育竞赛有着许多相似之处，两者都 崇尚奥林匹克精神。竞赛的成果使人
们意外地发现，数学竞赛的强国往往也是体育竞赛的强国，这给了人 们一定的启示。
1934年在列宁格勒，1935年在莫斯科，有关的国立大学分别组织了地区性 的数
学竞赛，并称之为“中学数学奥林匹克”。当时，莫斯科的著名数学家都参加了这一工
作。 前苏联的数学奥林匹克分为五级：学校奥林匹克，县奥林匹克，地区奥林匹克，
共和国奥林匹克，全国奥 林匹克，再选出参加国际数学奥林匹克的六名代表。
对国际间组织数学竞赛最热心的是罗马尼亚的 教授罗曼。经过他的积级策划，1
959年7月，第一届国际数学奥林匹克（简称IMO）在罗马尼亚古 都布拉索举行，拉
开了国际数学竞赛的帷幕。当时参加竞赛的学生共52名，分别来自东欧的罗马尼亚、
保加利亚、匈牙利、波兰、前捷克斯洛伐克、前德意志民主共和国和前苏联等7个国
家。每个国 家有8名队员，前苏联只派了4名队员。以后（除1980年由于东道主蒙
古经费困难而暂停）每年举行 一次，到1990年在我国举办第31届时，已发展到54
个国家和地区的308名选手。到1995年 在加拿大举办第36届时，双增加到73个国
家和地区，400多名选手。
IMO的运转方式已经制度化，其竞赛章程规定：
（1）一年一度的IMO的东道国由参赛国（或 地区）轮流担任，所需经费由东道
国负担，整个活动由东道国出任主席，由各国领队组成的主试委员会主 持，试题和解
答由参赛国提供，每国3—5题（也可不提供），东道国不提供试题，而由东道国组
成选题委员会，对各国提供的试题进行评议与初选，主要考虑试题是否与以往的试题
重复，并把试题按 代数、数论、几何、组合数学、组合几何等分类，确定试题难度（A、

B、C三级），选 择30题左右。如果这些题有新解法的话，还要求提供原解法以外的
解答，译成英文供主试委员选用。
（2）每个参赛团组织一个参赛队，成员不超过8人，其中队员不超过6人（是
中学或同等 级学校学生），正、副领队各1人，考试分两天两试，每试3题，每试4.
5小时，每题7分，所以每个 选手的最高得分是42分。
（3）IMO的官方用语为英、法、德、俄语，而参赛国大约需要26 种文字，届
时由各领队把试卷译成本国语言，并经协调委员会认可。度卷先由各国的正、副领队
评判，再与协调委员会协商（每个协调员负责一个试题的评分），如有分歧，由主试
委员会仲裁，协商工 作是在信任与友好的气氛中进行的。
（4）IMO的获奖人数约占参赛人数的一半，评奖根据分数 段评出一、二、三等
奖获得者，其比例平均为1:2:3。此外，主试委员会还可因在某个试题上作出了 非常
漂亮（指思路简捷巧妙，有独创性）或在数学上有意义的解答的学生给予特别奖。
为 避免再次出现1980年那样的中断，IMO设立一个专门的委员会（有的译为场
所委员会）负责确定各 届的东道主。
按IMO的规定，每一届的东道主必须向上一届的所有参赛国发出邀请，而新参加的国家则应当向东道主表明参加的意愿，再由东道主发出邀请。
东欧外的国家中，第一个加 入的是芬兰（1965年第7届），接着法国、英国、
意大利、瑞典、荷兰等也都在60年代陆续加入。 1974年，美国、越南加入。此后，
参加国逐年增加，并遍布欧、美、亚、非及大洋洲，IMO才成为 名副其实的全球性的
数学大赛。
1988年第29届，根据香港的建议，IMO首次设立 了荣誉奖，奖给那些虽然未得
金、银、铜牌，但至少有一道题得满分的选手。这一措施，大大调动了各参 赛国及其
参赛选手的积极性。
IMO的精神就是奥林匹克精神：“重要的不在于取胜，而 在于参加。”据此，自1
983年第24届以来，虽然每一个代表队（6个人为组员）都计算自己的总分 ，且知
道按总分的顺序排在多少名，但组织委员会不向团体优胜者颁奖，因为IMO只是个
人的 竞赛，不是团体的竞赛。
1981年第22届，美国是IMO的东道主。美国数学奥林匹克委员会 主席格雷策
发信邀请我国参加，中国数学会复信同意参加，后因故未能成行，只派了当时在美的
访问学者作为观察员参加了。
到了1984年，在宁波召开的中国数学会首次普及工作会议上，确 定1985年派
两名选手参加第26届IMO，以了解情况、取得经验。由于选拔时间仓促，只指派了< br>北京、上海各1名优秀学生参加。结果有1人得三等奖，两人平均成绩与以色列第1
7位，两人总 分则排在32位。1986年起，我国均派6名选手参赛。
我国选手的辉煌成绩，极大地激发了千 百万中学生学习科学文化知识的热情，也
极大地增强了中国人的民族自豪感。
国内赛况

我国的数学竞赛起步不算晚。解放后，在华罗庚教授等老一辈数学家的倡导下，从1956年起，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、
成都等省、市 都恢复了中学数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办
的高中数学联赛；1979年，我 国大陆上的29个省、市、自治区全部举办了中学数学
竞赛。此后，全国各地开展数学竞赛的热情有了空 前的高涨。1980年，在大连召开
的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会 及各省、市、自
治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联< br>合竞赛”。同时，我国数学界也在积极准备派出选手参加国际数学奥林匹克的角逐。1
985年， 开始举办全国初中数学联赛；1986年，开始举办“华罗庚金杯”少年数学邀请
赛；1991年，开始 举办全国小学数学联赛。
现在，我国的高中数学竞赛分三级：每年10月中旬的全国联赛；次年一 月的C
MO（冬令营）；次年三月开始的国家集训队的训练与选拔。
对我国中学影响较大 的还有美国中学生数学竞赛。该赛也分三轮进行：美国中学
数学竞赛（AHSME），考试形式是30道 选择题，要求90分钟内完成；美国数学邀
请赛（AIMS），考15道空题，答案均为不超过999的 正整数，要求3个小时内完成；
美国数学奥林匹克（USAMO），这是美国国内水平最高的数学赛活动 ，每次考5道
题，3.5小时内完成。
为使我国的数学竞赛活动能广泛而有序、深入而持 久地开做好各级各类数学竞赛
的培训选拔工作，国内采取了一系列有效措施。首先是创造数学竞赛的良好 场景；中
小学组织各年的教学兴趣小组活动，做到定时间、定地点、定辅导教师、定辅内容；
对 一些数学“苗子”开办数学奥林匹克业余学校，有计划给以强化性的辅导与培训。其
次是增强数学竞赛的 辅导力量；各级数学奥林匹克教练员队伍，不断提高这支队伍的
辅导与教练素质。再次是优化数学竞赛的 辅导体系；编写与出版基础性的数学竞赛培
训教材或辅导读物，收集与整理国内外数学竞赛资料，研究与 提炼数学竞赛题的解题
思想方法及技能技巧，健全与完善数学竞赛的选拔机制及辅导方式。
“全国小学数学奥林匹克”（创办于1991年），它是一个“普及型、大众化”的活动，
分为初赛（每 年3月）、夏令营（每年暑期）。
“全国初中数学联赛”（创办于1984年），采用“轮流做东 ”的形式由各省、市、自
治区数学竞赛组织机构具体承办，每年4月举行，分为一试和二试。
“全国高中数学联赛”（创办于1981年），承办方式与初中联赛相同，每年10月
举行，分为一试和 二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加
由中国数学会主办的“中国数学奥林匹 克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”（每年元
月）。
在“普及的基础上不断提高”的 方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是
连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的 成绩，使广大中小学师生和数
学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入一个新的阶段，为了 使全国数
学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练
员 的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。

本大纲是在国家教委制 定的“全日制中学数学教学大纲”的精神和基础上制定的。
《教学大纲》在教学目的一栏中指出；“要培 养学生对数学的兴趣，激励学生为实现
四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学 生，要通过课外活动
或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……， 着
重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综
合、归纳 、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独
立思考和自学的能力”。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中
对同样的知 识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，
有更高的要求。而“课堂教学。 为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大
纲所列的课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际 情况，分阶段、分层次让学生逐步
地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提 高。
一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲 》中所
规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，
其 中概率和微积分初步不考。
二试
1.平面几何
基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形 三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角形三顶
点距离的平方和最小的点——重心。三角形内到三边 距离之积最大的点——重心。
几何不等式。
简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法*。
平面凸集、凸包及应用。
2.代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。
n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合。简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论 问题，除初中大纲中斯包括的内容外，还应包括无穷递降法，同
余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类 ，高斯函数[x]，费马小定理，欧拉函数*，
孙子定理*，格点及其质。
3.立体几何
多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4.平面解析几何
直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
因的幂和根轴。
5.其
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
注：全国高中数学联赛的二试命题的基本原则是向国际数学奥 林匹克*拢，总的
精神是比高中数学大纲的要求略有提高，在知识方面略有扩展，适当增加一些课堂上< br>没有的内容作为课外活动或奥校的讲授内容。
对教师和教练员的要求是逐步地掌握以上所列内容，并根据学生的具体情况适当
地讲授。
有*号的内容二试中暂不考，但在冬令营中可能考。

浅谈 小学数学 奥林匹克辅导



【摘要】小学数学奥林匹克越来越受到学校、家长及社会的重视。尤其在扩展学
生的视 野,培养学习兴趣、发展数学才能等方面都有着不可替代的积极作用。
【关键词】小学数学；兴趣培养；奥林匹克；方法
随着人们认识水平的提高，小学数学奥 林匹克越来越受到学校、家长及社会的
重视。尤其在扩展学生的视野,培养学习兴趣、发展数学才能等方 面都有着不可替代
的积极作用。下面从培养学生兴趣的角度谈谈小学数学奥林匹克辅导的点滴体会。
一、兴趣培养的意义
爱因斯坦曾经说过：兴趣是最好的老师。学生对数学奥林匹克的兴趣是其 学好数
学奥林匹克的内在动力。心理学研究指出：学生的学习兴趣能唤起学生的求知欲，推
动学 生克服学习上的困难。从历史的角度看，一位科学家只有对这门学科产生浓厚的
兴趣，才能废寝忘食，孜 孜不倦地深入钻研，才能有所作为。如：伽利略原先是学医
的，由于对物理实验发生兴趣，专心研究终于 发现摆钟原理，成为著名的物理学家。
我国数学家陈景润，也因为中学老师的一次生动的启示让他对数学 皇冠上的明珠才产
生了浓厚的兴趣，发奋研究，终于在世界数学领域创立了"陈氏定理&qu ot;。可
以说只有喜欢数学奥林匹克，才有可能学好数学奥林匹克。
二、兴趣培养的方法
1、注重学生的选择。从学生奥林匹克竞赛辅导的实践看，作为参加数学奥林匹
克学习的学生， 一般选择班级中学有余力学生为宜。人数控制在10％－15％。他们
平时的数学成绩可作为选择的参考 依据，更重要的是注重他们对数学本身的兴趣，以
及平时表现出对数学学习的主动性和解决数学问题的独 创性。
2、注重内容的选择。
（1）内容具有超前性。事实上无论是小学数学奥林匹克竞赛 还是全国初中生数
学竞赛、全国高中数学联赛的所涉及的知识内容都具有一定的超前性。全国小学数学< br>奥林匹克竞赛和华罗庚金杯赛的内容就有涉及初中一年级的知识。另一方面，小学生
对未知的知识 领域充满好奇，事实上也只有学生感到新鲜的内容才可能吸引学生的学
习兴趣，况且对参加数学奥林匹克 的学生来说课本的内容本身就是"吃不饱&qu
ot;的。由此，竞赛数学中常常是低年级上 高年级的内容，甚至课本以外的知识。这也
是小学数学奥林匹辅导区别于课堂教学，激发学生兴趣的重要 手段。
（2）内容具有知识性。小学数学奥林匹辅导并不是课堂教学的延续，它不受小
学数学 教学大纲的限制，有着丰富的内容选择。这就要求辅导教师要力求通过辅导，
丰富学生的知识，扩展学生 的知识面，在体现数学的特点的同时，注意渗透数学的思
想和方法。如集合的思想、对应的思想、统计的 思想等。开阔学生的解题思路。例如
"假设法"、"图解法" ;、"穷举法"、"代数法&q




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